四川巴中市普通高中2023级“一诊”考试数学试题（2026届高三）

巴中市普通高中2023级“一诊”考试 数学试题 (满分150分120分钟完卷) 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置。 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂，黑；非选择题答题时必须 用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题 无效，在试题卷上答题无效。 3.考试结束后，考生将答题卡交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈NI0≤x≤3}，B={xx2-x-6<0},则A∩B= A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{-1,0,1,2} 2.已知复数=满足(1+1)-=2，则三= A.1-i B.-1+i C.-1-i D.1+i 3.若e,e,是夹角120的单位向量，a=2e1+e2,则a A.V5 B.2 C.V3 D.V2 4.欧拉函数p(n)(n∈N)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数 的个数，例p(1)=1,o(3)=2,则0(10)= A.4 B.5 C.6 D.7 5.两直线)=和)=-分别与抛物线=4相交于不同于原点的A、B两点， 则直线AB恒过的点是 A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 6.设S是等比数列{a}的前n项之和，S,S,S,成等差数列，则十a= a 1 B.2 C.2 D.3 7.已知正四面体A-BCD,M为AD之中点，N为BC之中点，则异面直线CM与AN 所成角的余弦值为 B号 1 D.3 数学·第1页（共4页) 8.若定义在R上的函数f(x)满足f(3x-1)为奇函数，f(2x+1)为偶函数，且 f1)=1,则2f(2m-1)= A.-1 B.0 C.1 D.2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9,若P(AB)=子P(A)=行P(B)=行，则关于事件A、B的关系正确的是 A.事件A与B互斥 B.事件A与B不互斥 C.事件A与B不相互独立 D.事件A与B相互独立 10.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC的中点，将△AED, △BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点P,则 A.PD⊥EF B.三棱锥P-EFD的体积为 C.三棱锥P-EFD的外接球的表面积为6π D.点P到平面FD的距离为 Ⅱ已知双尚线若 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l,12,P为双曲线上一 点，则 A.b越大，则双曲线的离心率越大 B.过点P与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C.点P到两渐近线的距离之积为定值 D.过点P作双曲线的切线交渐近线于M,N两点，则P为MN的中点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.一个火车站有8股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的 火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种 13.若直线+Y=1(a>0,b>0)是圆x+y八-2x-2y-7=0的一条对称轴，则 a b 4a+b的最小值是 14.若不等式e-x-a-ln(x-1)≥nx+a恒成立，则a的取值范围 数学·第2页（共4页) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=V2 ()若∠ABC=军求A的值： (2)若∠ABC-子D为线段AC上一点，且 SA,3,求BD的值。 16.(15分)有6个红色小球和4个黑色小球（除颜色不同外，其余都相同），将其中 2个红色小球和3个黑色小球放入一个不透明的箱子中，剩余的4个红色小球和1 个黑色小球放在箱外.现从箱子中随机取出1个小球，若取出红色小球，则把它 放回箱子中；若取出黑色小球，则该黑色小球不再放回，并将箱子外1个红色小 球放人箱中.按此操作若干次，直到将箱中的黑色小球全部置换为红色小球为 止. (1)求在操作3次后箱中黑色小球剩余0个的概率； (2)记在操作3次后箱中黑色小球的个数为随机变量X,求X的分布列及数学期望； (3)在第1次取到红色小球的条件下，求再操作4次恰好完成置换的概率， 17.(15分)如图①所示将边长为V2的正方形ABCD,沿AC翻折如图②所示，点 E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，在折叠过程中，二面角D-CA-B的范 π2π 围为3 图① 图② (1)求证：四边形EFGH为矩形； (2)求点A到平面BCD距离的最大值. 数学·第3页（共4页) 18.(17分)函数f(x)=5sinx-sin5x. (1)求曲线)=f(x)在点（牙，f(平）》处的切线方程： (2)求函数y-f(x)在0，上的最大值： (3)设0≤x≤1，求证：simπ， 2 x+1x+2 19.（17分)已知动点C(x,y)与定点F(2,0)的距离和C到定直线1：x=4的距离之 比是常数V② 2 (1)求点C的轨迹E; (2)M,N为轨迹E上不同的两，点， ①若直线MN斜率存在且过点P(1,0),又A(-2√2,0)，直线x=1分别与直线 AM,AN交于点B,D,PBPD是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说 明理由 ②若OMLON,求OM+1O 1 一的最大值与最小值： 数学·第4页（共4页)巴中市普通高中2023级“一诊”数学试题 参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D C A D C A B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14 答案 120 9 (-0∞，1] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：（1)在△ABC中，由余弦定理得 2=a2+c2-2 accosB-=9+2-2×3×V2×2 =5,所以b=√53分 又由正弦定理得.Q b sin A sin∠ABC, 3√2 则sinA-asin∠ABC-2 =3/10 …6分 b 5 10 (2)在△ABC中，D为线段AC上一点，且0=5，设点D到AB,BC的距离 SACBD 3 分别为h,h2. 则S4如 AB-h 2h SACBD 3h2 3 2,所以h=h2, 方BCh 则BD为∠ABC的角平分线… …9分 所以SA=SAADD+SAD,则号AB:BCsin号=号AB·BDsin若+号BD. BCsin-答 即：吉×v万x3x号-x:5Dx合+号×3-BDx号 2 …12分 所以BD=9W6-6W5 .…13分 7 16.(15分) 解：(1)设操作3次后箱中黑色小球剩余0个的概率为P, 由E意知P-号×号×合=岛 …2分 (2)由题意可知，X的所有取值为0,1,2,3 则P(X=0)=125 6 P(X=1)= 3 十3 2 × 6 × 35 25 54 125 PX-2-号 3 × 3 + 252 53 253 57 5 0 × 5 5 5 6 = 125’ PX==号 ×号 8 5 125’ 所以X的分布列为： X 0 2 3 ⊙ 6 54 57 8 125 125 125 125 所以x)=0×品-1×酷+2×既+3×品 192 -1259 …9分 (3)记A=事件第1次取到红色小球，事件B=再操作4次恰好完成置换， 由题意得，则P(A)= 2 …l0分 第1次取到取到红色小球，则再操作4次，须将箱中黑色小球全部置换为红色小球， ①若第二次也取出红色小球，则第三次、第四次、第五次均须取出黑色小球， 其做率为号×号×号××- ②若第二次取出黑色小球，则第三次取出红色小球，第四次和第五次均须取出黑色 小球，其机率为号×号×号×号×号-0， ③若第二次取出黑色小球，则第三次取出黑色小球，第四次取出红色小球，第五次 取出器色小球，其概率为号×号×号×青×号-号 综上所述，PAB)=+的+袋- …13分 108 所以P(BA)= P(AB) 55 .54 P(A) 51, 5 即在第1次取到红色小球的条件下，再操作4次恰好完成置换的概率为5115分 54 17.（15分) (1)证明：因为在图②中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点， 所以EF∥AC,GH∥AC,FG∥BD,EH∥BD,即EF∥GH且FG∥BD 则四边形EFGH为平行四边形… …2分 又因为四边形ABCD是正方形，所以在图①中有OD⊥AC,OB⊥AC, 折叠后在图②中OD⊥AC,OB⊥AC且OB∩OD=O,所以AC⊥平面OBD, 又因为BDC平面OBD,所以AC⊥BD,则EF⊥FG5分 综上可知：四边形EFGH为矩形…6分 (2)解：因为OB⊥OA,则以O为空间直角坐标系原点，分别以OB,OA方向为x 轴，y轴. 设二面角D-CA-B为0，由题意得，O(0,0,0),A(0,1,0),B1,0,0), C(0,-1,0)D(cos0,0,sin0), 所以AB=(1,-1,0),BD=(-1+cos0,0,sin0),BC=(-1,-1,0), 设平面BCD的法向量元=(x,y,z), 则历：（-1+o0e+n0=0,令红=1，得元-1,1,1m9分 1BC元=-x-y=0 所以点A到平面BCD距离 d=成·A 2 2 制 V2+s2 2 (1-cos0)2 sin 1 2+ sin20 即：d= 2 ,(因为1-c0s0≠0)…11分 /2x (1-cos0)2 1-cos 1-c0s20 2++cos0 令-o0s9,因为0[号，答1，则e[分号]令y=2t+-1+品 2 1+t 易如函数)-1+异在[-宁，宁]上的单词递诚函数， …13分 所以当t一号时，a=子，d=于 2=2W2 2 7 3 综上可知，点A到平面BCD距离的最大值为2 7 …15分 18.(17分) 解：(1)f(c)=5(cosD-Cos5D小… …1分 f川置)=5cos7os乎)=5x9+9 =5√2…2分 又f(经)=5sm置-sin平-5x号9+9 2 2 =3/23分 所以切线方程为：y-3v2=52(c-吾)，即：y=5反x+12552红 4分 (2)令f'm)=0,cosx=cos5a,又x∈[0，号]，r=号 …6分 0≤x<芬时，f(x)>0,f)单调递增： 吾<x≤受时，f)<0fo)单调递减… …8分 所以函数y=f()在[0,5]上的最大值为： aias-f管）=sin号-sn爱-a+9 2 2 =3月…10分 )令t中[分1，则a-是-1. 则原不等式转化为：si血t≥之司 1-11+子 +1+ 2,1≤t≤1 2 1 令h()=sint-1千t+1,克≤t≤1，下证：h(t).mm≥0…l12分 则=ea1+’·令g同=g,则g-一nt 2 (1+t9≤0 故g=h在号≤6≤1上单调递减…l4分 又M(号)=xcos号 2 1+ >0,h'(1)=元cosr+ =9 2 (1+12 +号<0 即存在t∈(2,1，使(t)=0, 所以h(t)在号≤t≤上单调递增，在≤t≤1上单调递减： hm=mimh分)，h1}-mim号，0}-0- …16分 故：0≤x≤1，i≥+2 …7分 19.(17分) 解析(1)由已知，有： 2-号，化简符：号 =12分 x-4 即点C的轨迹E为：以原点为中心，以22为长半轴，以2为短半轴的椭圆 且椭圆方程为：号+兰 =1… …4分 4 (2)由题意，直线MN斜率不能为0： 设直线MN:x=my+1,M(c1,),N(x2,) 联立2+28=0，消c得，(m2+2+2mg-7=0, x=my+1 从+y2=- 2m 由于点P(1,0)在E内部，△>0恒成立，得： m2+2 7 …6分 h=一 m2+2 直线AM的方程：y=。 G+2/2(x+2VW2)= mM+1+2W2(x+2W2)令x=1, 得： yB m%+1+2W2(1+22) 1 同理：yD= 2 mbt1t2/万1+2W2）…………8分 PB·lPD=yeyD= m4+1+2W2(1+2W2) mgh+1+2W2(1+2W2) 2 (1+2W2} m2+(1+2W2)m(+22)+(1+2W2 (1+2W22（ 7 m2+2/ m+2+(1+2W2)m(- 2m m2+2 +(1+2W2)2 7(1+2W22 7m2+2(1+2W2)m2-(1+2W2)2(m2+2) -子（定值 .…10分 (3)若直线OM,ON其中一个斜率不存在， 则知点疗+-2 …11分 4 直线OM,ON斜率均存在，设直线OM方程：y=kc,M(,1) 联立2十2-8=0，消y得，22+1=8，解得：x,= 2w2 y-kx √2k2+1 2V2k 同理，设直线ON方程：y=一右，N(,,解得：m= Wk2+2 则有：lOM=1+x= 2W2v1+2 2k2+1 ION- √2+2 所以 1 1+2k2 2+2 3 IOMP T IONP =8(1+2) 8(1+k2)8 …13分 1=16 sind 又10M∈，2w21,5≤as0≤9，而g<cosg- 1-tan20 2 3 3 1+tan2 2 -顶<an号≤6,2，令t=tan号=vg-a,62 2 2 d点+六-9eog+wj9 1-tan20 2tan号 1+tam号 1+tar2号 =6.1-+2t=6.1-+2t=6.(2.+1 4 1+2 4 1+t2 4 1+2 -1 =. 4 15分 1+ -2 令- 由复合函数单调性可知，ft)在[√-√2，√2-1]上单调递增，在 [-1,6,2上单调递减； 2 j0-j反1-9 fOm=minrs-2,f6,2}=2 2+√2 综上所述： IOMTON 的最大值与最小值分别为：号，22.…17分 4■十 ■ 巴中市普通高中2023级“一诊”考试 数学答题卡 姓名 班级 贴条形码区 考号 (正面朝上切勿贴出虚线框外】 缺考标记：☐ 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级和考号填写清楚，并认真核对。 注 2.选择题填涂时，必须用2B铅笔按■图示规范填涂；非选择题必须用0.5毫 填涂样例 正确填涂 米黑色签字笔作答，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.必须在题目所指示的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、 错误填涂 试题卷上答题无效。 [×]f[● 今 4.保持答题卡卷面清洁、完整，严禁折叠。 、 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][c][D 5[A][B][c][D 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 3[A][B][c][D 7[A][B][c][D] ■4[A][B][c][D] 8[A][B][c][D] 二、 多项选择题（每小题6分，共18分） 9[A]【B][c][D] ■10[A][B][C][D] ■11[A][B][c][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 此区域不答题 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学.第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四、解答题：共77分 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学·第2页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ ■ 数学·第3页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.（15分) G B B E 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学·第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学·第5页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 ■ 数学·第6页（共6页）