精品解析：四川省遂宁市2026届高三一诊考试数学试题

遂宁市高中2026届高三一诊考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，通过移项计算得出复数. 【详解】由，得. 故选：C. 2. 已知平面向量与平行，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】因为与平行，所以，解得. 故选：A 3. 已知集合，，，且，则集合中元素个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集和并集的定义求解即可. 【详解】，则， 所以集合中元素个数有个. 故选：D. 4. 二项式的展开式中，含项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求项的系数． 【详解】由于二项式， 则其通项， 令，则， 则， 所以含项系数为. 故选：B 5. 求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可. 【详解】由题知抛物线的焦点坐标为， 所以到直线的距离为, 所以，所求圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：A 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把题干所给条件转化为的方程组，解方程组即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，所以. 由题意可得，解得或， 当，时，， 当，时，. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 8. 将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移(）个单位长度后得到函数的图象，若方程对任意的都无解，则的值不能为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】无解，设，且，分，，三种情况，结合辅助角公式得到故的值域为，所以或，得到答案. 【详解】，且， 对任意的都无解，即无解， 设，且， 当时， ， 当时，， 当时， ， 故的值域为，所以或. 故的值不能为2. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点成中心对称 B. 当时，有两个极值点 C. 对于任意有三个零点 D. 当时，在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】计算即可判断A，求导得，令，即，求判别式即可判断B，先判断的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断在上的单调性即可判断D. 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 11. 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点．为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再根据椭圆的性质结合离心率公式、点到直线距离公式、椭圆的参数方程分析判断选项正误． 【详解】 圆经过椭圆的左、右两个焦点，设， ，解得， 的面积为2，，解得， 在圆上，，解得，故， 在椭圆上， ，解得，， 椭圆的方程为： 选项A：，，故A错误； 选项B：， 直线的方程为，一般式为， 原点到直线的距离为，故B正确； 选项C：，， 是椭圆上点，， ，故C正确； 选项D：设，则直线方程为，令，得，故， 直线过，方程为，令，得， 故， ，， ， 椭圆方程，令， 则， ， ， 令，则， ， ，即， ， ，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上. 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. ________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得． 【详解】. 故答案为：4 13. 在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得（为常数），从而可求出函数的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数分和两种情况讨论求出函数的极大值，再结合已知构造关于的函数，再利用导数即可得解. 【详解】由，得， 因为，所以， 所以（为常数）， 又，则，即，所以， 所以，所以， 所以， 则， 由，得， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增，所以无极大值； 当时，令， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 所以，，所以， 则当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为 ， 所以， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为.其中 （1）当为锐角三角形，且，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1）14 （2）8 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理求出，结合和角公式求出，再利用面积公式可求答案； （2）化切为弦，可得，利用余弦定理可求答案. 【小问1详解】 因为，，，由正弦定理， 因为B为锐角，则， 则. . 【小问2详解】 由化简得：； ，因为，所以，所以； 由余弦定理，代入，，，可以解得或（舍去）， 故. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），12.4万台 （2）（ⅰ） 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联； （3） 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以， 所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． 【小问2详解】 （ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问3详解】 从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 17. 如图，在三棱柱 中，，点在平面上的射影为的中点 （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图所示，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面 上的射影为的中点，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以， 因为，且平面，所以 平面， 又因为 平面，所以 ， 因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由为的中点，证得，再由 平面 ，证得，利用线面垂直的判定定理，证得 平面，得到 ，结合，即可证得. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由，则， 则，，，， 所以，，， 且， 设平面的法向量为，则， 取 ，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为. 18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. （1）求的方程和的方程； （2）若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由直线与轴的交点，可得，由到渐近线距离可得，据此可得双曲线方程；设为抛物线的焦点，由可得抛物线方程； （2）假设存在常数满足条件，设直线，将与双曲线方程联立，由韦达定理及题设可得，设，将代入抛物线方程，由韦达定理及题设可得，则，据此可得答案. 【小问1详解】 因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为 【小问2详解】 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值 19. 已知函数，记为函数在定义域内的导函数. （1）求函数在上的最小值. （2）设，记的最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】（1）0 （2）（ⅰ）2；（ⅱ）101个. 【解析】 【分析】（1）先求导得，设，利用导数研究单调性进而求解； （2）（ⅰ）由，令，则，则， 设，利用导数研究单调性得函数取最小值，进而得最小值， 设，，利用导数求的最值，进而得在上恒成立，最后结合等比数列前项和公式即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，进而得，得，求函数的周期，利用导数研究函数的单调性结合零点存在定理，结合函数的周期性即可求解. 【小问1详解】 由，且； ，；设， 因为，所以在上单增，即 单增， 又因为，所以时，单减， 时，单增； 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，令，则，， 则，设，， 则， 当时，，又， 所以，所以，所以函数在上单调递减， 当时，，又，所以，所以，所以函数 在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为，所以最小值为，所以， 设，，则在上恒成立， 故在上单调递减，所以， 故在上恒成立， ； 又因为， 对任意，恒成立时， 所以的最小正整数值； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，，即，所以， 所以， 因为， 所以函数为周期函数，为函数的周期， 当时，，，所以， 当时，，，，， 函数在上没有零点， 当时，，，所以， 函数在上没有零点， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又，，所以存在，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点， 又因为，故在上有2个零点， 结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为101个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁市高中2026届高三一诊考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量与平行，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 3. 已知集合，，，且，则集合中元素个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 二项式的展开式中，含项系数为（ ） A. B. C. D. 5. 求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移(）个单位长度后得到函数的图象，若方程对任意的都无解，则的值不能为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点成中心对称 B. 当时，有两个极值点 C. 对于任意有三个零点 D. 当时，在上存在最大值 11. 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点．为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上. 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. ________. 13. 在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 14. 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为.其中 （1）当为锐角三角形，且，求的面积； （2）若，求. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱柱 中，，点在平面上的射影为的中点 （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. （1）求的方程和的方程； （2）若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，记为函数在定义域内的导函数. （1）求函数在上的最小值. （2）设，记的最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $