精品解析：四川省遂宁市2026届高三一诊考试数学试题

遂宁市高中2026届高三一诊考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，通过移项计算得出复数. 【详解】由，得. 故选：C. 2. 已知平面向量与平行，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】因为与平行，所以，解得. 故选：A 3. 已知集合，，，且，则集合中元素个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集和并集的定义求解即可. 【详解】，则， 所以集合中元素个数有个. 故选：D. 4. 二项式展开式中，含项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求项的系数． 【详解】由于二项式， 则其通项， 令，则， 则， 所以含项系数为. 故选：B 5. 求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可. 【详解】由题知抛物线的焦点坐标为， 所以到直线的距离为, 所以，所求圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：A 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把题干所给条件转化为的方程组，解方程组即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，所以. 由题意可得，解得或， 当，时，， 当，时，. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 8. 将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移(）个单位长度后得到函数的图象，若方程对任意的都无解，则的值不能为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】无解，设，且，分，，三种情况，结合辅助角公式得到故的值域为，所以或，得到答案. 【详解】，且， 对任意的都无解，即无解， 设，且， 当时， ， 当时，， 当时， ， 故的值域为，所以或. 故的值不能为2. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点成中心对称 B. 当时，有两个极值点 C. 对于任意有三个零点 D. 当时，在上存在最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】计算即可判断A，求导得，令，即，求判别式即可判断B，先判断的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断在上的单调性即可判断D. 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 11. 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点．为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再根据椭圆的性质结合离心率公式、点到直线距离公式、椭圆的参数方程分析判断选项正误． 【详解】 圆经过椭圆的左、右两个焦点，设， ，解得， 的面积为2，，解得， 在圆上，，解得，故， 在椭圆上， ，解得，， 椭圆的方程为： 选项A：，，故A错误； 选项B：， 直线的方程为，一般式为， 原点到直线的距离为，故B正确； 选项C：，， 是椭圆上点，， ，故C正确； 选项D：设，则直线方程为，令，得，故， 直线过，方程为，令，得， 故， ，， ， 椭圆方程，令， 则， ， ， 令，则， ， ，即， ， ，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上. 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. ________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得． 【详解】. 故答案为：4 13. 在三棱锥中，平面，是以为斜边等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得（为常数），从而可求出函数的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数分和两种情况讨论求出函数的极大值，再结合已知构造关于的函数，再利用导数即可得解. 【详解】由，得， 因为，所以， 所以（为常数）， 又，则，即，所以， 所以，所以， 所以， 则， 由，得， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增，所以无极大值； 当时，令， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 所以，，所以， 则当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为 ， 所以， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对的边分别为.其中 （1）当为锐角三角形，且，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1）14 （2）8 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理求出，结合和角公式求出，再利用面积公式可求答案； （2）化切为弦，可得，利用余弦定理可求答案. 【小问1详解】 因为，，，由正弦定理， 因为B为锐角，则， 则. . 【小问2详解】 由化简得：； ，因为，所以，所以； 由余弦定理，代入，，，可以解得或（舍去）， 故. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 35 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），12.4万台 （2）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）有关联，理由见解析； （3）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以， 所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． 【小问2详解】 （ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问3详解】 从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 17. 如图，在三棱柱 中，，点在平面上的射影为的中点 （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由为的中点，证得，再由平面，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，结合，即可证得. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：如图所示，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，由，则， 则，，，， 所以，，， 且， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为. 18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. （1）求的方程和的方程； （2）若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由直线与轴的交点，可得，由到渐近线距离可得，据此可得双曲线方程；设为抛物线的焦点，由可得抛物线方程； （2）假设存在常数满足条件，设直线，将与双曲线方程联立，由韦达定理及题设可得，设，将代入抛物线方程，由韦达定理及题设可得，则，据此可得答案. 【小问1详解】 因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为 【小问2详解】 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值 19. 已知函数，记为函数在定义域内的导函数. （1）求函数在上的最小值. （2）设，记的最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】（1）0 （2）（ⅰ）2；（ⅱ）101个. 【解析】 分析】（1）先求导得，设，利用导数研究单调性进而求解； （2）（ⅰ）由，令，则，则， 设，利用导数研究单调性得函数取最小值，进而得最小值， 设，，利用导数求最值，进而得在上恒成立，最后结合等比数列前项和公式即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，进而得，得，求函数的周期，利用导数研究函数的单调性结合零点存在定理，结合函数的周期性即可求解. 【小问1详解】 由，且； ，；设， 因为，所以在上单增，即 单增， 又因为，所以时，单减， 时，单增； 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，令，则，， 则，设，， 则， 当时，，又， 所以，所以，所以函数在上单调递减， 当时，，又，所以，所以，所以函数 在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为，所以最小值为，所以， 设，，则在上恒成立， 故在上单调递减，所以， 故在上恒成立， ； 又因为， 对任意，恒成立时， 所以的最小正整数值； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，，即，所以， 所以， 因为， 所以函数为周期函数，为函数的周期， 当时，，，所以， 当时，，，，， 函数在上没有零点， 当时，，，所以， 函数在上没有零点， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又，，所以存在，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点， 又因为，故在上有2个零点， 结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为101个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁市高中2026届高三一诊考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，满分58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A B. C. D. 2. 已知平面向量与平行，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 3. 已知集合，，，且，则集合中元素个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 二项式的展开式中，含项系数为（ ） A. B. C. D. 5. 求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移(）个单位长度后得到函数的图象，若方程对任意的都无解，则的值不能为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点成中心对称 B. 当时，有两个极值点 C. 对于任意有三个零点 D. 当时，在上存在最大值 11. 已知圆经过椭圆的左、右两个焦点．为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 坐标原点O到直线AB的距离为 C. 面积的最大值为 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上. 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. ________. 13. 在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 14. 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角所对边分别为.其中 （1）当为锐角三角形，且，求的面积； （2）若，求. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱柱 中，，点在平面上的射影为的中点 （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. （1）求的方程和的方程； （2）若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，记为函数在定义域内的导函数. （1）求函数在上的最小值. （2）设，记最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $