第五章三角函数章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章《三角函数》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 3 4 5 6 > 8 9 10 11 答案 0 A D A B 0 ACD ABC AD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.与2026°角终边相同的角是() A.26° B.116 C.134° D.226° 【解析】D因为2026°=226°+5×360°， 所以与2026°角终边相同的角是226° 2π 2.截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为 3 ,面积为942cm2,则这个扇形钢板的半 径约为（参考数据：π≈3.14）() A.10 cm B.20 cm C.30cm D.40 cm 【解析】C设扇形的半径为r, 12π 由扇形面积公式可得二× ×r2=942,又元≈3.14， 23 可得r≈30(cm). 3.已知角0的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-1,3),则 coS(π+0) ) cos] +C cosa 2 1 A B. 2 2 4 p. 4 c0S(π+a) -cosa 1 【解析】B π +0 -sina-cosa 1+tana, cos -cosa 2 cos(π+a) 1 而角a终边经过点P(-l,3),故aa=-3,放cosT + cosa 2 第1页共17页 4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上单调递减的是() A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x 【解析】A对于A选项，作出函数y=sinx的图象如下图所示： 2元 由图可知，函数y=sinx的最小正周期为兀，且该函数在 上单调递减，A满足 条件； 对于B选项，函数y=C0sx最小正周期为2π，且该函数在 上单调递减，B 不满足条件； 对于C选项，函数y=sin2x的最小正周期为2π =元， 当刀<x<元时，元<2x<2元，则函数y=sin2x在 上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数y=c0s2x的最小正周期为 2π 2 =元， 当<x<元时，元<2x<2元，则函数y=cos2x在 π 上单调递增，D不满足条 件 5已知函数f八)=2in(2x+p@<,则函数f(y的图象的一条对称轴为x= 是0=石的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解折B山函数的图象的一条对称轴为育，得2x号+9=子+keZ列， 3 2 解9=一名+akeZ,又因为<x,所以9=石或， 66 第2页共17页 因此“函数f(x)的图象的一条对称轴为x=是“0=-卫的必要不充分条件 6 3 6.已知。sin2a=cos 5+，∈ 则tana=() A.-2V2 B.-√2 C.-2 D.-3V2 3 【解析】A原等式)sin2a=cos C+a可化为。x2 sino=-sina,即 3sina cosa =-sina, 因为∈ 列，所以sna>0,所以cosa=月 22 tana=-3 =-2V2 1 3 7已知函数f)=V5 Binox-c0s0xa>0)在0写到 上存在最值，且在 元，π上单调， 2 则⊙的取值范围是( T581 B 23 D.117 46 解)B因为fx=V3 Bsin@x-COS@x=-2 sin ox-5 当0<x<时，因为0>0，则-刀<0x-不<0不- 6 636 因为函数(y在0引 上存在最值， 则0元-亚> ,解得0>2， 362 当2 2π0π <x<π时， 3 6 3 <r0-π 6 6 因为函数f(x在2红，元】 气3，元上单调， 第3页共17页 则 、3 [2m@-亚≥m- 所以 3 6 2'其中keZ,解得k-)≤0≤k+keZ, π0-≤k π 22 3 6 2 所以k-≤k+子解得k≤ .2 7 2 2 3 又因为0>0，则k∈{0,1,2}. 2 当k=0时，0<0≤二： 当k=1时，1≤0 3 当k=2时， 8 又因为0>2，因此O的取值范围是 2-2sin,0≤x≤2 8.已知函数f(x)= 2 若存在实数X、2、x且<x2<x,使得 -x+1,x<0 f(x)=f(x2)=f(x),则xf(x)+2f(x)+xf(x)的取值范围为() -0,2 B.（-0,2] 「99 D. 【解析】D如下图所示： y=f(x) -1 Ox2 1 x3 令x=+km(keZ),解得x=2k+1(k∈Z), 2 2 故当x∈[0,2时，对称轴为直线x=1,则x2+x=2, 第4页共17页 因为f(x)=f(x)=f(),所以，xf(x)+x2f(x,+xf(x)=f(x)(x+2), 又因为f(x)=-x+1, xf(x)+x,f(x3)+xf(x)=f(x)(x+2)=(-x+1(x+2)=-x2-x+2 =(++ 由f(x)=-x+1e(1,2可得x∈-1,0)，则- 22，则 11 ≤x1 2 )s n1**-+ 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 1 9已知9∈0，)，sin6-c0s6=5,则下列结论正确的是（） B.cos=- 3 3 tan0 12 C.tan0=- D 1+tan2025 【解析】AD由0∈(0，π)，sin0-cos0= >1, 得sin0>0,cos0<0,则0∈ 故A正确； 44’4 sin@+cos0= 当sin0+cos0=二时，联立 5 sine-cos0= 第5页共17页 解得s如0-号，cos0=-.则an6=s血0三-号 5 cos0 3 1 sin0+cos=- 当sin0+cos0=- 时，联立 5 7 sine-cos=- 5 解得sin0= ,c0s0= 5 5'则tan0=sin0.3 cos0 ,故B、C错误， 7 49 由sin0-cos0=-,两边平方可得，1-2sin0cos0= 5 25 则2sin0cos0=- 24 tan0 25’1+tan20 -=sin0 cos0=-. 12 ,故D正确 25 10.已知函数f(x=Asin(ox-+p 4>0a>0<别 的部分图象如图，则() A.函数fx+ 为奇函数 12 B.f(x)在 3π11π 上单调递增 4’12 c若/-小训=2，则贴-小的最小位为号 D.若t>0,函数f(tx)在0,2上有2个零点，则t∈ 5π3π 24’8 【解析】ABD设函数f(x)的周期为T,由图象可知，A=1, T不=，所 44126 以T=2五=2，解得0=3，此时f(x)=sin(3x+p: 3 东图了目)如经+p)小-1，因为小子所以e=子因此 第6页共17页 对于A,因为函数 +m+)引油，所以( 是 奇函数，故A正确： 3π11π π 对于B,因为x 4’12 所以3x- 2,2 结合正弦函数的单调性知， f(x)在 3π11π 412 上单调递增，故B正确： 对于C,因为(x小-f(x川=2，所以k-的最小值等于乙=，故C错误： 23 对于D,依题意，f(x)=sin 由t>0,x∈[0,2]，得 4 因为1>0.函数02]上有2个零点，-子eπ2， 5π3π 解得t∈ 故D正确。 24’8 11.已知f(x)=sin”x+cos”x(n∈N,则下列命题中正确的是() A.当n=1时，f)在0习 上的值域为1，√2) B.当m=1时，f2x)的图象可由函数y=√2c0s2x的图象向左平移匹个单位长度得 8 到 C.当n=6时，f(x)的值域为 D.若存在正偶数n,使得fx+a(sinx+cosx≥0对任意xeR恒成立，则 ae √2√2 2’2 【解折】BCD当a=1时，倒-m+osx=5sm+, 因为0》所以+普e(任好） 第7页共17页 所以=5sm+母}可改A错误 y=5c02x向左平移否个单位长度得到y=5cowg+智) 化简得y=V2cos2x+ -o2x+7）-5cos2x+2-4 8 4 -icoex-)-co)) f川2=5sm2x+母，散B正确： 当n=6时， f(x)=sinx+cos x=(sin2x)+(cosx)=(sinx+cos'x)(sin'x-sin'x.cosx+cosx) =in-snxcos+cos'x=(sim2x+cosyf-3sn2xcosx=1-3号n2xj=1-sn2r 又sin22x∈[0，，得f(x的值域为 故C正确： n=2k,kN,(x)=sin"x+cos"x=(sin'x+(cos'x), 因为sin2x∈[0，l,cos2xe[0,,且keN, 所以f(x)=(sin2x+(cos2x≤sin2x+cos2x=1, 存在正偶数n,使得f(x)+a(sinx+cosx)≥0成立，当n=2时， f(x)=sin2x+cos2x=1, 所以只需1+a(sinx+cosx)≥0对任意x∈R恒成立， 即1+asm+0对任意xeR恒成立， 于m+-, [1+2a≥0 所以 1-√2a≥0 解得：ae 22 故D正确 第8页共17页 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道 中心线到圆心的距离为45（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长 为40元m,则这段公路的占地面积为·（单位：m2) R45m CAE FB D 【解析】依题意，公路外沿弧所在圆半径为60m,内沿弧所在圆半径为30m,圆心角 ∠COD= 40π_2π 603 所以段公路的占地面积为×2(60：-30')=900元（m) 3 13.已知tan 医为如-子 aa+B号 所以 tan(a +B)-tan a- 21 mg+}mla+n-a-引 54 3 2×122 14已知函数=smox+写引o>0的图假关于点[管0对称，且在（任引上有且只有 两条对称轴，则0= 【解析】函数f(x=sin 0>0)关于点 对称， +元=km,k∈Z,所以0=-1+3k,k∈Z, 所以0二+ 3 要使函数在区间 4’2 上有且只有两条对称轴，所以<及不≤7， 224-2 第9页共17页 因为0>0，所以2n<亚≤3沉，所以4<0≤12，所以0=5或0=8或。-11： 2040 当0=5时，x∈ 42 则5r+∈19m17 3 12’6 函数只有一个对称轴不合题意； 当0=8时，x∈ ππ 则8r+2+4 函数有且只有两条对称轴符合 3 题意； 当0=11时，x∈，， 4’2 函数有三条对称轴不符合 6 题意； 所以0=8 四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知函数-30m分-引 (1)求f(x)的定义域、值域； (2)求f(x)的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【解析1(1)令2 1 -正++k标k∈Z,则x≠5π+2kxk∈Z), 32 3 .f(x)的定义域为 r+2akez :函数y=tanx的值域为R, .f(x)的值域为R 2②)：函数)中0=2”：函数f)的最小正周期7==2x 今元=远k∈Z)，则x亨 3 _2π+km(keZ), 3 即函数f(x)关于点 2π+km,0(keZ)中心对称， .函数f(x)为非奇非偶函数 令-+-骨号 1 π元+k元k∈2)，-3+2kπx<2+2kπ(k∈Z), 3 且函数f()中A=3>0,@=2>0 第10页共17页 第五章《三角函数》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 与角终边相同的角是（   ） A. B. C. D. 2. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 11. 已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 13. 已知，，则__________. 14. 已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的定义域、值域； （2）求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 16. 已知，且． （1）化简； （2）若，求． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在存在零点，求实数的取值范围. 18. 筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为． （1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； （2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 19. 已知函数，其中为实数. （1）若为偶函数，求的值. （2）当时，求函数的值域. （3）已知为正整数，若函数在内恰好有1111个零点，求和的值. 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