精品解析：四川泸化中学2025-2026学年高二上学期质量监测试题数学

高 2024 级高二年级上学期质量监测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 135° 2. 双曲线虚轴长为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切 4. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（ ） A. 32 B. 33 C. 44 D. 45 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（ ） A. 直线OA与OB的斜率之积为定值 B. 当最小时，切线PA与x轴交点为 C. 当时， D. 的取值范围是 11. 如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若平面，则的最大值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 13. 已知数列的前项和，则的通项公式为__________． 14. 已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列与等比数列中，已知，，且，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. （1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； （2）求第4次由甲射击概率. 17. 已知双曲线焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的离心率； （2）若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 18. 在平行六面体中，，，，． （1）以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 19. 椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2024 级高二年级上学期质量监测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，因为斜率，所以， 而，可得， 故选：B. 2. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据虚轴长的定义进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知：， 因此双曲线的虚轴长为. 故选：C 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和的关系判断两圆的位置关系. 【详解】因为，；，. 则，， 所以， 所以圆与圆外离. 故选：A 4. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据列举法和古典概型的概率公式可得结果. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片上的数字之积有，共种， 其中抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的有，共种， 所以所求概率为. 故选：C. 5. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】由，又底面是正方形，且， 所以， 故. 故选：A 6. 已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的基本性质可得出，结合以及等差数列的通项公式可判断AB选项，利用等差数列的求和公式可判断C选项，推导出，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为数列是公差为等差数列，是其前项和，且，， 则， 所以，， 所以，，A对； ，则，B错； ，C对； 因为，则， 又因为，所以，数列是单调递增数列， 当时，；当时，. 综上所述，，D错. 故选：C. 7. 已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆上一点，利用平面向量数量积以及椭圆的范围得出不等式即可求出离心率的取值范围. 【详解】依题意设椭圆上一点，所以，可得； 所以， 因此，即， 也即，所以， 因为，所以可得，因此， 即，即， 因此离心率为. 故选：B 8. 已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（ ） A. 32 B. 33 C. 44 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可. 【详解】当为偶数时， ， 令，且n为偶数， 解得，故n的最大值为44； 当为奇数时， ， 令，且为奇数， 解得，故n的最大值为43； 综上所述：n的最大值为44. 故选：C. 【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项： 1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求； 2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，利用和事件、积事件的定义及古典概率公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 又，则，所以A错误， 对于B，因为，，则，所以，故B正确， 对于C，由题知，所以，又， 则，所以，故C错误， 对于D，因为，则，又， 则，所以，故D正确， 故选：BD. 10. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（ ） A. 直线OA与OB的斜率之积为定值 B. 当最小时，切线PA与x轴交点为 C. 当时， D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，得到，，代入斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义及基本不等式求得最小时的坐标，设切线PA的方程，再联立抛物线方程，由得到切线方程即可判断B；先结合A得到，，再根据题意得，利用焦点弦长求解即可判断C；利用两点距离和焦半径公式求得，然后利用换元法，利用函数的单调性求解范围即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若平面，则的最大值为 D. 若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A、B选项，分别取、中点、，连接、、、、、、，证明面面平行，找出点的轨迹，结合图形求出的最大值和点的轨迹长度，可判断C、D选项. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于A选项，，， ，故，选项A正确； 对于B选项，因为，， 设平面法向量为，则， 取，则，可得， ，即， 因为平面，所以平面，故选项B正确； 对于C选项，因为，所以为中点， 如图分别取、中点、，连接、、、、、、， 因为、分别为、中点，所以， 又因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以，且平面，平面，所以平面， 同理可得，平面， 因，、平面，所以平面平面， 因此当点P 为的边上一点（异于点）时，则平面，所以平面， 故点P的轨迹为的边上一点（异于点）， 因为， 所以结合图形可知，当点P在G点或H点时，取得最大值，故选项C正确； 对于D选项，根据C选项的分析，P点的轨迹的长度为，故D选项错误. 故选：ABC 【点睛】本题的核心是将求轨迹问题转化为面面平行的问题，满足条件的点一定在与已知平面平行的平面上，只要做出这个平面就能画出轨迹. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与互相垂直，则实数的值为___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 已知数列的前项和，则的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行求解. 【详解】因为①， 当时，， 当时，②， ①-②得， 经检验，当时，不成立， 所以 故答案为：. 14. 已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案. 【详解】设，依题意，设中点为， 由于，所以，所以，， 由于，所以， 所以，所以或， 由于在双曲线的渐近线上， 所以，两式相减并化简得，， 若，则不符合题意，舍去. 若，则，所以， 所以渐近线方程为. 故答案为： 【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列与等比数列中，已知，，且，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式和等差中项可解； （2）根据裂项相消法求和 【小问1详解】 由题意，令公差为，公比为. 由，即，有； ，，； 由，即，有. ，. 【小问2详解】 由（1）有. 则有 . 16. 甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. （1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； （2）求第4次由甲射击的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由前3次射击中甲恰好击中2次，可得前2次甲都击中目标，但第三次没有击中，即可乘法公式即可求解； （2）分“甲连续射击3次且都击中”； “第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中” “第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中” “第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”结合互斥事件和事件计算公式即可求解； 【小问1详解】 前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为 【小问2详解】 设事件“甲连续射击3次且都击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”； 事件“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第4次由甲射击”两两互斥， 所以第4次由甲射击的概率为 17. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的离心率； （2）若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点到双曲线渐近线的距离得出的关系，结合的关系得出的关系即可求解； （2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示： 设点，，因为是弦的中点， 则， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即． 联立消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 18. 在平行六面体中，，，，． （1）以为空间一个基底，求平面的一个法向量； （2）求点到平面的距离； （3）动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用，再结合条件、数量积的定义及运算，得到，即可求解； （2）求出和，再利用点到平面的距离的向量法，即可求解； （3）利用向量法求出线面角的正弦值取值范围，再得出角的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 由，得到，即， 取，得到，所以， 故平面的一个法向量为. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量， 所以， 又 ， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 当时，设， 则， 所以， ， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，； 当时，， 因为，所以， 所以，由， 可知， 综上，直线与平面所成角的取值范围. 19. 椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）存在，为. 【解析】 【分析】（1）由离心率及的最小值为列出方程求，即可求； （2）（i）设直线方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理结合，求得即可求证；（ii）设，由，得到直线的方程为：，直线的方程为：，联立求得，结合点，点在椭圆上，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，即，线段的最小值为， 所以，又，则，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设直线方程为：， 由得：， ， 因为，所以，即 所以，整理， 代入韦达定理，化简得， 所以直线方程为：，恒过定点；经检验 （ii）设，显然，则直线斜率为，直线的斜率为. 因为，所以直线斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，且四点共圆，结合对称性， 所以，即或， 又点在椭圆上，，联立无解， 联立，解得， 所以符合条件的点得坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $