河北秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试卷

山海关区第一中学2025-2026学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间150分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.设复数 ，则 的虚部为（　） A. 3　　B. 　　C. 3　　D. 2.已知集合 是以内的质数，，则 的子集个数为（　） A. 2　　B. 4　　C. 512　　D. 1024 3.设点 为双曲线 的右焦点，点 为坐标原点，过点 作双曲线其中一条渐近线 的垂线，交渐近线 于点 ，再过点 作 轴的垂线，交渐近线 于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.2025 年 8 月 4 日，在 2025 全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.38 米的成绩夺得冠军，打破尘封近 16 年之久的亚洲纪录（原纪录为 17.5 米）。假如决赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在 17 米以上的概率均为 ，有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过 17 米的概率为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.已知函数 在 上有意义，满足 ，且 是 的一条对称轴，当 时，，其中 ，则 （　） A. 3　　B. 　　C. 8　　D. 6.已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，并且与圆 外切。若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.函数 的递增区间可能是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.若 满足 ，则 的大小关系不可能为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。） 9.如图，在棱长相等的正六棱柱 中，棱长为 ，下列说法正确的是（　） A. 是直角三角形 B. 展开式的第三项为 C. D. 点 在侧棱 上运动（包含端点），则 取得最小值为 10.设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 两点，过 分别作准线 的垂线交于 两点， 为线段 的中点，则（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 11.在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，则下列说法正确的是（　） A. B. 设 边上的高为 ，则 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12.若直线 与 在 处的切线垂直，则 ______。 13.已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，若 ，，则 ______。 14.光滑平整的桌面上放有三个大小相同的小球，将底面半径为6，高为 的圆锥形的生日帽（帽子的曲面厚度忽略不计）扣在桌面上，使它恰好能完全遮盖住三个小球，三个小球均与桌面接触，则小球的半径为______。 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，，， 平面 。 (1) 求直线 与平面 所成的角的正切值； (2) 求点 到平面 的距离。 16.（本小题满分 15 分） 为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”。 (1) 根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2) 为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 。 17.（本小题满分 15 分） 设数列 满足 ，且 。 (1) 证明： 为等差数列； (2) 设 ，求 的值。 18.（本小题满分 17 分） 已知椭圆 的上顶点与右顶点分别为点 和点 ，点 为坐标原点， 的面积 ，且点 到直线 的距离为 。 (1) 求椭圆 的标准方程。 (2) 设点 是直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 、。 (ⅰ) 求证：直线 恒过定点。 (ⅱ) 求 的正切值的最大值。 19.（本小题满分 17 分） 已知双曲正弦函数的定义为 。 (1) 证明：当 时，； (2) 若 ，讨论方程 的实数解的个数； (3) 已知 ， 是方程 在 上的一个零点，证明：。 2 学科网（北京）股份有限公司 $