精品解析：四川省合江县马街中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

2025年秋期高2024级高二高考文考期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线上与焦点的距离等于9的点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程和抛物线定义即可求解. 【详解】由题抛物线开口向右、焦点为，准线方程为， 设抛物线上与焦点的距离等于9的点为， 则点到准线的距离为，. 故选：C 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以，故， 故选：C 3. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算A，B之间的距离，比较可得，由双曲线的定义分析可得答案. 【详解】根据题意，点，则， 若动点P满足，且， 则P的轨迹是以A，B为焦点双曲线的右支， 故选：C. 4. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据交事件的性质即可求A，根据互斥事件的性质即可求解C，根据相互独立的性质即可求解CD. 【详解】对于A，若，则,故A错误， 对于B，若与互斥，则,故B正确， 对于C, ,结合，故，故事件与相互独立，C正确， 对于D, 若与相互独立，则,D正确， 故选：A 5. 平行六面体中，，，，，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果. 【详解】 ， ， ，即线段的长度为. 故选：D. 6. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可. 【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：， 若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为： 故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：. 故选：D 7. 斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和 【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为 ， 故选：A 8. 已知圆，圆，M､N分别是圆､上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆关于轴的对称圆的方程，结合的圆心、半径求得的最小值以及此时，从而求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆关于轴的对称圆的方程为，圆心为，半径. 圆的圆心为，半径为. 所以的最小值为. 此时直线的方程，也即直线的方程为， 即，令，解得. 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. 方程表示的直线过定点 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若方程表示圆，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、直线过顶点、截距式方程以及圆的标准方程，可得答案. 【详解】对于A，当时，不存在，此时直线方程为，故A错误； 对于B，将代入直线方程，则方程恒成立，故B正确； 对于C，当截距为零时，直线方程为，故C错误； 对于D，由，则，即，解得，故D正确. 故选：AC. 10. 在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 当P为中点时，为锐角 B. 存在点P，使得平面APC C. 的最小值 D. 顶点B到平面APC的最大距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则有，从而求出可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则，故， 则， ， 对于A，当为中点时，， 则，，则，， 所以，所以为锐角，故A正确； 当平面， 因为平面，所以， 则，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，当时，取得最小值， 由B得，此时， 则，，所以， 即的最小值为，故C正确； 对于D，，， 设平面的法向量， 则，可取， 则点到平面的距离为， 当时，点到平面的距离为0， 当时，， 当且仅当时，取等号， 所以点到平面的最大距离为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得，，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可. 11. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C. 若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用焦点坐标公式即可求解； 对于B，将直线方程与抛物线联立求出，再用斜率相等证明点共线； 对于C，表示出抛物线上任意一点到直线的距离，结合函数单调性即可求解； 对于D，求出在切点处的切线方程，利用两切线都过点，从而求出直线的方程，再求出点到直线的距离，利用导数即可求解. 【详解】如图： 易得，设直线的方程为，，. 将直线与抛物线联立， 化简整理得，则， 所以，又， 所以，又为公共点，所以三点共线，故B 正确； 设抛物线上的点到直线距离为则， 令，，因为，所以，所以， 所以，当时，取得最小值，又在时单调递减， 故时取得最小值.故C错误； 设，则抛物线在处的切线为：， 化简得，同理抛物线在处的切线为， 又点在两切线上，故，， 所以直线的方程为：，即. 点到直线的距离为：， 令，则 令，得. 当时，；当时，， 故时取得最大值：，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的长轴长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定椭圆的，即可求解长轴长. 【详解】解：由椭圆的几何性质可知，∴，∴长轴长。 故答案为：8． 13. 数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知数据的平均数和方差，利用性质，求出所求数据的平均数和方差. 【详解】数据，，，的平均数为6， 数据，，，的平均数, 数据，，，的方差为4， 数据，，，的方差, . 故答案为：. 14. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过两定点，且圆心在直线上； （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，建立关于的方程，求解即可得圆的方程； （2）根据直线与圆相交得弦长公式，确定圆心到直线的距离，讨论直线方程即可求得. 【小问1详解】 解：设圆的方程为 ∵圆心在直线上，则 又∵圆过点两点， 则，又，联立解得： 则圆的方程为； 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线得距离 弦长符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则， ∵， ∴圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为， 综上，直线的方程为或 16. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【答案】（1）83.3；84 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得： （2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得． 【小问1详解】 ，则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； 【小问2详解】 因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为： ，，， 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格” ， 所以； ，所以； ∴． 17. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：二面角的正弦值与二面角的正弦值相等. 【答案】（1） 因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以，又，又因为，平面， 所以平面； （2） 取的中点，取的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为2， 则， 则， 设设设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为； 又是平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为； 所以二面角的正弦值与二面角的正弦值相等. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，取的中点，可证，，，以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的正弦值和二面角的正弦值，可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. （1）求双曲线C的方程； （2）在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； （3）求M点的坐标，使得的面积最小. 【答案】（1）， （2）存在或， （3）的坐标是或. 【解析】 【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【小问1详解】 由已知得,解得,所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设,如图: 根据题意知，直线斜率存在，则，则 则直线:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为即，所以, 则,即, 所以存在或满足条件; 【小问3详解】 如图 因为 ， 又，则,代入上式得: , 当时，时，， 则， 当且仅当，即时取等. 当时，，则， 当且仅当,即时等号成立, 故应在时取得取最小值， 此时,即 所以的坐标是或时,的面积最小. 19. 已知椭圆，点在C上，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E．证明：直线与x轴交于定点Q； （3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为． 由， 得．① 设点，则， 直线的方程为． 令，得． 将代入并整理得．② 由①得，代入②式整理得． ∴直线与x轴相交于定点． （3）. 【解析】 【分析】（1）由题知，，解方程即可得答案； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，点，则，则直线的方程为，令，并结合直线与椭圆联立后的韦达定理化简得，进而得答案； （3）当过点Q的直线的斜率存在时，设直线的方程为，进而与椭圆联立方程并结合韦达定理得，进而得，再讨论过点Q的直线的斜率不存在时，得，综合即可得答案. 【详解】解：（1）由题知：，， ∴， ∴椭圆C的方程为． （2）略 （3）当过点Q的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 故联立方程得． 易知．∴． ． ∵， ∴， ∴． 当过点Q的直线的斜率不存在时，其方程， 解得， 此时． 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于 a,b,c 的方程组，解出 a,b,c ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高2024级高二高考文考期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线上与焦点的距离等于9的点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 双曲线 4. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若与相互独立，则 5. 平行六面体中，，，，，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，圆，M､N分别是圆､上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时（ ） A. B. C. D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 经过点，倾斜角为的直线方程为 B. 方程表示的直线过定点 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若方程表示圆，则 10. 在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 当P为中点时，为锐角 B. 存在点P，使得平面APC C. 的最小值 D. 顶点B到平面APC的最大距离为 11. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C. 若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的长轴长为______． 13. 数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______． 14. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过两定点，且圆心在直线上； （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程． 16. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 17. 如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：二面角的正弦值与二面角的正弦值相等. 18. 在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. （1）求双曲线C的方程； （2）在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； （3）求M点的坐标，使得的面积最小. 19. 已知椭圆，点在C上，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E．证明：直线与x轴交于定点Q； （3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $