精品解析：贵州铜仁市2025-2026学年高一上学期1月期末质量监测数学试卷

2026年1月质量监测试题 高一年级数学学科 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2.答题时，第Ⅰ卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚．在试题卷上作答无效． 3.本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 4.考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. C. 33 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 命题“第一象限角一定是锐角”是真命题 C. 函数（，且）的反函数是（，且） D. 若不等式的解集为，或，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个零点为 C. D. 在上单调递增 11. 给定函数，，，用表示、中的最小值，记，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 函数在上单调递减 C. 函数的零点个数为 D. 若在区间上值域为，则的最大值为，最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为奇函数，则______． 13. 已知，则______． 14. 设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算：； 16. 已知为锐角，且，求的值． 17. 已知函数，且． （1）求的值，并证明在区间上单调递增； （2）若，且，求实数的取值范围． 18. 已知函数， （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若将的图象向左平移个单位，得到的图象，求的解析式，并求在上的最大值和最小值． 19. 在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． （1）一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； （2）某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ （3）已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 20. 已知函数，且， （1）求的值： （2）当，求的最大值及相应的取值集合； （3）已知，对于，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月质量监测试题 高一年级数学学科 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2.答题时，第Ⅰ卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚．在试题卷上作答无效． 3.本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 4.考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】已知，则. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解． 【详解】命题“，”的否定为“”． 故选：B． 3. 下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，，定义域为，值域为， 即与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，，值域为，值域不同，故B错误； 对于C，，定义域为，定义域不同，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不同，故D错误． 故选：A． 4. 已知条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义判断即可. 【详解】因为，所以是的必要不充分条件， 故选：B 5. 若角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义求解即可. 【详解】角终边上有一点，则， 故选：A 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换与基本不等式计算. 【详解】因为，， 所以， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时取等号，此时，满足题设条件， 故的最小值为9. 故选：C 7. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在上单调递减，且，所以， 故选：A 8. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. C. 33 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性求出即可. 【详解】由题意可得，. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 命题“第一象限角一定是锐角”是真命题 C. 函数（，且）的反函数是（，且） D. 若不等式的解集为，或，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据幂函数的性质即可判断；对于B，举反例说明；对于C，根据指数函数和对数函数的关系即可判断；对于D，根据方程与不等式的关系以及韦达定理求解. 【详解】对于A，根据幂函数的性质可知A正确； 对于B，角为第一象限角但不是锐角，故是假命题，B错误； 对于C，根据指数函数和对数函数的关系可知C正确； 对于D，若不等式的解集为，或， 则和是方程的根且， 所以，解得， 所以，D正确； 故选：ACD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个零点为 C. D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案. 【详解】由图可得图象最高点纵坐标为，即，故A选项正确； ，， 则函数解析式， 代入点，， 又，所以，故C选项正确； 将代入解析式， 可得，故B选项正确； 由函数的递增区间得： 递增区间满足， 化简得：，取，则， 又，，故在区间上不单调递增，故D选项错误. 故选：ABC 11. 给定函数，，，用表示、中的最小值，记，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 函数在上单调递减 C. 函数的零点个数为 D. 若在区间上值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数的解析式，结合基本不等式可判断A选项；作出函数的图象，数形结合可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，， 不妨取，则， 由可得，即， 由基本不等式可得， 可得，则，A错； 对于B选项，作出函数的图象如下图中的实线所示： 由图可知，函数在上单调递减，B对； 对于C选项，由，可得或， 由图可知，方程有个根，方程有个根， 所以函数的零点个数为，C对； 对于D选项，若在区间上值域为， 结合图形可知当时，取最小值， 当时，取最大值，D对. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的定义域为，利用奇函数的定义计算的值. 【详解】因为为奇函数，定义域为，所以恒成立， ，，所以， 即，， 因为恒成立，所以，解得. 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值. 【详解】，,, 原式化简为：. 故答案为： 14. 设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算：； 16. 已知为锐角，且，求的值． 【答案】15. 16. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂和对数运算法则求解； （2）根据已知条件求出，再利用二倍角公式和两角和的余弦公式计算. 【15题详解】 ; 【16题详解】 因为为锐角，且， 所以， 所以，， 所以. 17. 已知函数，且． （1）求的值，并证明在区间上单调递增； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；证明如下： ， ，解得， ， 证明：，且， 则 ， ∵，    ∴， ∴，即， 故在上单调递增； （2）或 【解析】 【分析】（1）由，代入可求，再利用函数的单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性求解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 又在上单调递增，且， ， 解得或． 18. 已知函数， （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若将的图象向左平移个单位，得到的图象，求的解析式，并求在上的最大值和最小值． 【答案】（1）的最小正周期为，单调增区间为 （2），在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再根据周期公式求出最小正周期，利用整体代换法求出单调增区间； （2）根据“左加右减”的平移规则写出新函数解析式，利用整体法即可求出最大、最小值. 【小问1详解】 ， 由（其中）得：， 令， 解得函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 将图象向左平移个单位， 则， 当时，， 在该区间上，， 因此，. 19. 在有声的世界中，声强级是表示声强度相对大小的指标，其单位为（分贝），声强级由公式给出，其中，为声强，其单位为（瓦／平方米）（参考数据：，）． （1）一般人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围； （2）某企业对其生产车间进行升级降噪，噪声从87分贝降低到77分贝，求升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的多少倍？ （3）已知点声源发出的声音在空气中传播的声强与距离的平方成反比．若在距离声源10米处的声强级为70分贝，求在距离声源50米处的声强级． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）分别将最高声强和最低声强代入声强级公式，即可求出声强级的范围； （2）根据声强级公式分别求出升级降噪前和升级降噪后的声强，再计算两者的倍数关系； （3）先求出声强与距离的关系，再结合声强级公式求解即可. 【小问1详解】 当时，代入公式可得：， 当时，代入公式可得：， 所以人听觉的声强级范围为， 【小问2详解】 已知升级降噪前声强级，代入公式可得：， 解得：； 已知升级降噪后声强级，代入公式可得：， 解得：； 所以， 所以升级降噪前的声强是升级降噪后的声强的10倍； 【小问3详解】 设声强为，距离为， 因为声强与距离的平方成反比，所以设（为常数）， 已知在距离声源10米处的声强级为70分贝，即时，， 代入声强级公式可得：，解得， 将，代入得：，解得， 所以， 当时，， 此时 ， 所以在距离声源50米处的声强级约为 20. 已知函数，且， （1）求的值： （2）当，求的最大值及相应的取值集合； （3）已知，对于，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，相应的取值集合为 （3） 【解析】 【分析】（1）运用二倍角公式与辅助角公式化简三角函数表达式，通过代入特殊点建立方程求解参数； （2）利用正弦函数的值域确定最大值，通过解三角方程求出取得最值时对应自变量的集合； （3）通过诱导公式统一变量，将原不等式恒成立问题转化为关于二次函数在区间上的非负性问题，分类讨论对称轴位置求解参数范围. 【小问1详解】 利用二倍角公式，可将函数化为： ， 再利用辅助角公式：， 所以：， 代入，得， 解得. 【小问2详解】 由（1）得， 由于， 当时，， 此时， 故的取值集合为. 【小问3详解】 由， 不等式化为： 利用诱导公式， 设， 则原不等式等价于， 令（开口向上），其对称轴为， 若，则在上单调递增，只需， 即，得，结合得， 若，则在上单调递减，需，即，矛盾， 若，则在处取得最小值，需，解得， 综上，实数  的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $