精品解析：重庆市长寿区2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

重庆市长寿区2025-2026学年高一上期末检测 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（　　） A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件判断出，然后对进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性求解. 【详解】因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上所述，. 故选：B. 2. 《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件； 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件； 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用立方和公式和均值不等式先求出，转变成解， 便可解得正数的最大值. 【详解】因为对满足的所有正实数，都成立， 可得对满足的所有正实数，都成立. 由得，即. 由，得，即， 当且仅当时取等号. 所以 ，则. 则有，即，则，解得. 所以正数. 故选：B. 4. 函数在区间上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，探讨其奇偶性及的大小排除选项并得解. 【详解】函数的定义域为，， 则函数为偶函数，排除选项AB； 又，则，排除选项D，选项C符合题意. 故选：C. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（ ）小时？ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合指数运算，可得答案. 【详解】由题意可得当时，污染物消除了，即剩余，因此， 代入公式，可得，解得. 当污染物剩余时，，代入公式可得，解得， 由，且，则，解得. 故选：B. 6. 为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 7. 已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的最小正周期为T，结合在上恰有两个零点，可确定的范围，再根据函数的对称性，求出，即可确定，继而确定，根据，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】设的最小正周期为T，在上恰有两个零点， 则，即； 又的图象关于点和直线对称， 则，且， 两式相减，可得，则 结合，可得，故，， 此时，解得 结合，可得时，；时，； ① 当时，，则，符合题意， 由时，可得， 则当，即时，， 当，即时，， 故的最大值与最小值的乘积为； ② 当时，，此时，符合题意， 由时，可得， 则当，即时，， 当时，即时，， 故的最大值与最小值的乘积为； 综上可知，的最大值与最小值的乘积为. 故选：A 8. 如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（ ） A. 40米 B. 110米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设函数的表达式，即可根据周期以及最值点求解参数值，进而得函数表达式，代入即可求解. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为， 由题意得：，，，， 又，即，故，， 所以， 所以， 即摩天轮转动12分钟后点距离地面40米. 故选:A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是实数，则下列命题为真命题的有（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件概念结合具体的不等式性质和特殊值及基本不等式即可判断每个选项的正确性. 【详解】对于A选项，当，时，此时， 故“”是“”的充分条件，A选项正确； 对于B选项，当， 满足，而， 则“”不是“”的必要条件，B选项不正确； 对于C：当时，， 所以是“”的充分条件，C选项正确； 对于D：当时，满足 ，但是不满足， 所以“”不是“”的必要条件，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数的单调递增区间是； B. 当时，函数的值域是； C. 函数的图象关于直线对称； D. 若恒成立，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性的判定方法，可判定A正确；根据二次函数和指数函数的性质，可得判定B错误；根据题意，求得，可判定C正确，转化为恒成立，结合指数函数的性质，列出不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，设， 可得在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递减，所以函数的单调递增区间为，所以A正确； 对于B，当时，由A项，可得，所以， 又由在上单调递减，可得， 又因为，所以函数的值域是，所以B错误； 对于C，因为，即， 所以函数的图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，若恒成立，即恒成立， 因为函数在上单调递减，所以，即恒成立， 则满足，解得，所以D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为R B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由值域结合分母不为0判断；对B，由判断；对C，换元，由反比例函数的单调性求解判断；对D，由复合函数的单调性判断. 【详解】对于A： 因为，则，分母恒不为0，所以定义域为R，A正确； 对于B： 因为，所以的图象关于直线对称，B正确； 对于C： 因为， 令，则在上单调递减，值域为，C错误； 对于D：因为在单调递增，，且在单调递减， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、非空子集个数公式进行求解即可. 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，以及函数对称性，求出函数的周期，进而判断各结论正误，求出结果即可. 【详解】由，令，即，得，等价于； 由为奇函数，得， 所以，即函数周期为2，所以③正确； 由和周期为2，可得，即，所以①正确； 由函数周期为2，可知，， 因为，所以，所以②错误； 由函数周期为2，可知， 由①可知，所以，所以④错误； 故答案为：①③. 14. 已知，且，是在内的两个零点，则______________；______________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据诱导公式、余弦函数的性质，结合两角和与差的余弦公式、正弦的二倍角公式进行求解即可. 【详解】 ， 若， 因为，所以方程无解； 若， 因为，所以， 不妨设，，所以， . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再根据得出再列出关于实数m的不等式组，解出即可； （2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数m的不等式组，解出即可. 【小问1详解】 不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. 【小问2详解】 当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 16. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （2）设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 【答案】（1） 采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量依次为， 则两次平均价格为， 又，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济. （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式表示两种策略，再作差比较大小即可； （2）将给定等式变形为，再利用（1）的结论求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 17. 已知幂函数为奇函数． （1）求； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. 18. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． （1）求函数的定义域； （2）求函数图象的对称中心； （3）若当时，函数的值域恰为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质即可确定函数的定义域； （2）根据中心对称函数定义，将代入到中，对都成立，化简后可知， 化简后可求出来； （3）由（1）可知函数的定义域结合，再讨论时，根据函数的单调区间，可求得复合函数的单调区间，当根据函数单调递减，可求得复合函数的单调区间，结合函数值域即可求解. 【小问1详解】 因为， 根据对数函数的性质可知，解得或， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 设函数图象的对称中心为，则 所以 ， 对成立，则可知， 则可知上式的分子分母成比例，则可得，解之可得， 代入，故， 所以函数图象的对称中心是点． 【小问3详解】 由（1）知，的定义域为， 因为或， ①若，则，可知函数单调递增， 任取，且，则，即． 则即， 所以当，复合函数在上单调递减， 又当时，的取值范围恰为，所以必有且， 解得（舍去），所以， ②若，则， 又因，所以， 同上可证复合函数在上单调递增， 则在上的取值范围应为，而为常数， 所以函数在上的值域不可能恰为，故在这种情况下，无解， 综上，． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围； （3）若，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的周期公式，即可求得答案； （2）根据题意可得，结合条件及正弦函数图像可知，再解不等式即可； （3）根据题意可知，进而得到，，即，再解不等式组即可． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 当时，， 所以的最大值为，最小值为0，即， ， 因为，都有， 所以， 所以，， 所以，解得. 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿区2025-2026学年高一上期末检测 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（　　） A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2 2. 《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 函数在区间上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（ ）小时？ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ） A. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C. 向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D. 向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 7. 已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（ ） A. 40米 B. 110米 C. 米 D. 米 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是实数，则下列命题为真命题的有（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数的单调递增区间是； B. 当时，函数的值域是； C. 函数的图象关于直线对称； D. 若恒成立，则. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为R B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在区间上单调递减 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 13. 已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 14. 已知，且，是在内的两个零点，则______________；______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （2）设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 17. 已知幂函数为奇函数． （1）求； （2）若，解关于的不等式． 18. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． （1）求函数的定义域； （2）求函数图象的对称中心； （3）若当时，函数的值域恰为，求的值． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围； （3）若，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $