【浙江】2026年中考数学一轮复习专题5.2与圆有关的位置关系

2026年中考数学一轮复习精讲精练 第五章 圆 5.2与圆有关的位置关系 知识梳理 与圆有关的位置关系 点、与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外⇔d>r； （2）点在圆上⇔d=r； （3）点在圆内⇔d<r. 线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点 个数 0 1 2 数量关系 d>r d=r d<r 切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的半径. 即：∵OA是半径，MN是⊙O的切线， ∴OA⊥MN 判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 即：∵OA是半径，且OA⊥MN于点A ∴MN是⊙O的切线 证明切线的常用方法 1．已知直线过半径外端，证直角； 2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角； 3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径． 切线长 定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长. 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 即：∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，PO平分∠APB 内切圆 定义 与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 例题讲解 【题型一】点与圆的位置关系 【例1.1】（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm． 【点拨】根据“点P在圆上⇔d＝r”求解即可． 【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上， ∴点P到圆心O的距离为5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 【例1.2】（2025•巢湖市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（　　） A． B．2 C． D． 【点拨】分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，进而利用勾股定理求得圆的半径． 【解析】解：分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，M点的坐标为（﹣2，0）， ∴OM＝2， ∵点A（0，4）， ∴AM＝， ∴⊙M的半径为2． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，点和圆的位置关系，求得圆心的坐标是解题的关键． 【例1.3】（2025•南陵县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 【点拨】由AE⊥BE，得到E在以AB为直径的⊙O上，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小，由勾股定理求出，即可得到CE′＝OC﹣OE′＝8，于是得到线段CE的最小值为8． 【解析】解：如图，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴E在以AB为直径的⊙O上， ∵AB＝10， ∴OB＝OA＝OE′＝5， ∵BC＝12， ∴， ∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣5＝8， ∴线段CE的最小值为8． 故选答案为：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的推论及勾股定理是解题的关键． 【题型二】直线与圆的位置关系 【例2.1】（2025•镇江一模）已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（　　） A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b 【点拨】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【解析】解：∵AB＝a， ∴以AB为直径的圆的半径＝， ∵以AB为直径的圆与边CD有交点， ∴≥b， ∴a≥2b， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，正确地理解题意得到不等式是解题的关键． 【例2.2】（2025•南岗区模拟）如图，AB为⊙O的直径，，当AC＝　1　 cm时，直线AC与⊙O相切． 【点拨】由AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切，得∠BAC＝90°，则AC＝＝1cm，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切， ∴AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝1cm，BC＝cm， ∴AC＝＝＝1（cm）， 故答案为：1． 【点睛】此题重点考查直线与圆的位置关系，证明∠BAC＝90°是解题的关键． 【例2.3】（2025•台山市一模）如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝5，AD＝4，求⊙O的半径长． 【点拨】（1）连接OC，根据角平分线的定得到∠DBC＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BCO，求得∠DBC＝∠ABC，根据平行线的性质得到OC⊥AD，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到BD＝＝3，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】解：（1）AC与⊙O相切， 理由：连接OC， ∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC＝∠ABC， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠BCO， ∴∠DBC＝∠ABC， ∴OC∥BD， ∵BD⊥AD， ∴OC⊥AD， ∵OC是⊙O的半径， ∴AC与⊙O相切； （2）∵BD⊥AC， ∴∠D＝90°， ∵AB＝5，AD＝4， ∴BD＝＝3， ∵OC∥BD， ∴△AOC∽△ABD， ∴， ∴， ∴OC＝， ∴⊙O的半径长为． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质与平行线定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【题型三】切线的性质 【例3.1】（2025•瓯海区二模）如图，AB是⊙O的切线，C为切点，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD．若∠A＝24°，则∠D的度数为（　　） A．24° B．30° C．33° D．36° 【点拨】根据切线的性质得到∠ACO＝90°，求得∠AOC＝90°﹣24°＝66°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论． 【解析】解：∵AB是⊙O的切线， ∴∠ACO＝90°， ∵∠A＝24°， ∴∠AOC＝90°﹣24°＝66°， ∵OC＝OD， ∴∠D＝∠OCD， ∵∠AOC＝∠D+∠OCD， ∴∠D＝°， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【例3.2】（2025•浙江模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，cosD＝，∠CAB＝30°，若CD＝6，则AC的长是 　8　 ． 【点拨】连接OC、BC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，在Rt△OCD中利用余弦的定义求出OD＝10，再利用勾股定理计算出OC＝8，接着根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，∠ACB＝90°，然后判断△OCB为等边三角形得到BC＝OC＝8，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AC的长． 【解析】解：连接OC、BC，如图， ∵CD是半圆的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 在Rt△OCD中，∵cosD＝＝， ∴OD＝CD＝×6＝10， ∴OC＝＝8， ∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OC＝OB， ∴△OCB为等边三角形， ∴BC＝OC＝8， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴AC＝BC＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 【例3.3】（2025•椒江区二模）如图，⊙O中，AB为直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD＝∠C． （1）求证：OD⊥AE； （2）若，OA＝3，求AE的长． 【点拨】（1）根据切线的性质得到AB⊥BC，得到∠A+∠C＝90°，根据题意得到∠A+∠AOD＝90°，即可证明； （2）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据余弦的定义计算即可． 【解析】（1）证明：∵BC与⊙O相切于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∵∠AOD＝∠C， ∴∠A+∠AOD＝90°， ∴∠ADO＝90°， ∴OD⊥AE； （2）解：如图，连接BE， ∵OA＝3， ∴AB＝6， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵cosA＝＝， ∴AE＝4． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【例3.4】（2025•广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是 d＞6　 ；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为 y＝　 ． 【点拨】由题意知点P在⊙O外，得到d＞6，由平行线的性质和角平分线定义推出∠POC＝∠CPO，得到PC＝OC，由勾股定理得到（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，即可得到y关于x的函数关系式． 【解析】解：∵过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB， ∴点P在⊙O外， ∴d＞6； ∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， ∴OP平分∠APB， ∴∠APO＝∠BPO， ∵OC∥PA， ∴∠POC＝∠APO， ∴∠POC＝∠CPO， ∴PC＝OC， ∵PA＝x，CD＝y， ∴PC＝OC＝y+6， ∴BC＝PB﹣PC＝x﹣（y+6）＝x﹣y﹣6， 连接OB， ∴半径OB⊥PB， ∴∠OBC＝90°， ∴OC2＝BC2+OB2， ∴（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62， ∴y＝． 故答案为：d＞6，y＝． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，函数关系式，关键是由勾股定理列出关于x、y的等式． 【题型四】切线的判定 【例4.1】（2025•济南一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长． 【点拨】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线； （2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD． ∵OA＝OB， ∴OD∥AC． 又∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线； （2）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD＝BC＝4（cm）， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AC＝AB， ∵AD＝3cm， ∴AC＝＝＝5（cm）， ∵DE⊥AC， ∴DE＝＝＝（cm）， ∴AE＝＝＝（cm）． 【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 【例4.2】（2025•本溪一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，连接CD、OC，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）若∠ABC＝67.5°，AE＝4，求的长度． 【点拨】（1）连接AO，延长AO交BC于点F，利用线段的垂直平分线的判定与性质得到∠AFC＝90°，利用矩形的判定与性质得到∠OAE＝90°，即OA⊥AE，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝90°，得到△OBC和△OCD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得圆的半径，再利用弧长公式解答即可． 【解析】（1）证明：连接AO，延长AO交BC于点F，如图， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴OA是BC的垂直平分线， ∴∠AFC＝90°， ∵AE⊥CD， ∴∠E＝90°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠E＝∠AFC＝90°， ∴四边形AFCE为矩形， ∴∠OAE＝90°， 即OA⊥AE， ∵OA是⊙O的半径， ∴AE为⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝67.5°， ∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝45°， ∵四边形AFCE为矩形，AE＝4， ∴AE＝CF＝4． 在Rt△OFC中，∠AFC＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 【题型五】切线的判定与性质综合 【例5.1】（2025•郯城县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积． 【点拨】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论； （2）由（1）得出∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到DF＝3，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：连接OD，CD． ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC． 又∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴△ACD是直角三角形． 又∵E是AC的中点， ∴EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC． 又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°， ∴直线DE是⊙O的切线． （2）解：由（1）可知∠ODF＝90°． ∵∠B＝30°， ∴∠DOF＝60°， ∴∠F＝30°． 在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°， ∴AB＝4， ∴， ∴． 在Rt△ODF中，∠F＝30°， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【例5.2】（2023•婺城区模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF＝ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接BC，若tan∠BCD＝，DE＝6，求AB的长． 【点拨】（1）连接OC，OD，可证明∠ODC＝∠OCD，∠FDE＝∠DFE＝∠OFC，根据∠OCF+∠OFC＝90°，进而证明∠ODF+∠FDE＝90°，进一步得出结论； （2）连接OD，作DG⊥AE于G，设DG＝a，AG＝2a，OA＝OD＝r，OG＝AG﹣OA＝2a﹣r，在Rt△DOG中列出r2﹣（2a﹣r）2＝a2，从而r＝a，进而tan∠DOG＝＝＝，进一步得出结果． 【解析】（1）证明：如图1， 连接OC，OD， ∵点C是弧AB的中点， ∴∠BOC＝∠AOC＝90°， ∴∠OCD+∠CFO＝90°， ∵∠BFD＝∠CFO， ∴∠OCD+∠BFD＝90°， ∵EF＝ED， ∴∠BFD＝∠EDF， ∴∠OCD+∠EDF＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠ODF＝∠OCD， ∴∠ODF+∠EDF＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2， 连接OD，作DG⊥AE于G， ∵tan∠BAD＝tan∠BCD＝， ∴， 设DG＝a，AG＝2a，OA＝OD＝r， ∴OG＝AG﹣OA＝2a﹣r， 在Rt△DOG中， ∵OD2﹣OG2＝DG2， ∴r2﹣（2a﹣r）2＝a2， ∴r＝a， ∴OG＝2a﹣a＝a， ∴tan∠DOG＝＝＝， 在Rt△DOE中， ∵tan∠DOG＝， ∴＝， ∴OD＝4.5， ∴AB＝2OD＝9． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 真题在线 1．（2025•余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定 【点拨】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置． 【解析】解：∵点A（1，）， ∴AO＝＝2， ∵⊙O的半径为2， ∴点A在⊙O上， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 2．（2025•钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【点拨】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． 【解析】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 3．（2025•滨江区一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　） A．21° B．42° C．48° D．69° 【点拨】连接OA，由切线的性质得AC⊥OA，则∠OAC＝90°，而∠AOC＝2∠B＝42°，所以∠C＝90°﹣∠AOC＝48°，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接OA， ∵AC是⊙O的切线，A为切点， ∴AC⊥OA， ∴∠OAC＝90°， ∵∠B＝21°， ∴∠AOC＝2∠B＝2×21°＝42°， ∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣42°＝48°， 故选：C． 【点睛】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（2025•钱塘区一模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P＝30°，⊙O的半径为2，则PC的长为（　　） A． B． C． D． 【点拨】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥PC，根据含30°角的直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC． 【解析】解：如图，连接OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵∠P＝30°，OC＝2， ∴OP＝2OC＝4， 由勾股定理得：PC＝＝＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径． 5．（2023•拱墅区二模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 【点拨】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【解析】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； B、∵∠B﹣∠C＝∠A， ∴∠B＝∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； C、∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵点B在⊙A上， ∴AB是⊙A的半径， ∴BC是⊙A切线； D、∵⊙A与AC的交点是AC中点， ∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°， ∴不能判定BC是⊙A切线； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 6．（2025•浙江模拟）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【点拨】设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到BC经过圆心O，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得OC，CD，再利用阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD解答即可得出结论． 【解析】解：设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，如图， ∵AB为半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵过B，C两点作与弦AC相切， ∴BC经过圆心O， 即BC为直径， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴AC＝AB＝2，CD＝BC，∠COD＝60°， ∵BC＝＝2， ∴OC＝OB＝CD＝， ∴AD＝＝1， ∴BD＝AB﹣AD＝3， ∵OB＝OC， ∴， ∴阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD ＝+﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 7．（2025•黄岩区二模）如图，已知⊙O的半径长是2，BA，BC分别切⊙O于点A，C，连结BO并延长交⊙O于点D，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（　　） A．5 B．4 C．6 D．4 【点拨】连接AO，CO，根据菱形的性质得到AB＝AD，求得∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAO，根据切线的性质得到∠BAO＝90°，求得∠ABO＝30°，得到OB＝2OA＝4，于是得到结论． 【解析】解：连接AO，CO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO， ∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠ADO＝2∠ABD， ∵BA切⊙O于点A， ∴∠BAO＝90°， ∴∠ABO+∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝30°， ∵AO＝2， ∴OB＝2OA＝4， ∴BD＝OB+OD＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【点拨】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 9．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【点拨】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解析】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD＝， ∴OF＝＝， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5≤CD≤5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键． 10．（2025•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB为直径画半圆O，交BC于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点E，若DE＝4，则AB的长为（　　） A．8 B． C． D．10 【点拨】连结OD、AD，如图，先根据切线的性质得到OD⊥DE，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，所以∠AED＝90°，接着在Rt△CDE中利用正切的定义求出CE＝2，则利用勾股定理可计算出CD＝2，然后再在Rt△ACD中利用正切的定义求AD，最后利用勾股定理计算出AC的长即可． 【解析】解：连结OD、AD，如图， ∵DE为半圆O的切线， ∴OD⊥DE， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD，∠C＝∠B， ∵OA＝OB， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∴∠AED＝90°， 在Rt△CDE中，∵tanC＝＝tanB＝2， ∴CE＝DE＝2， ∴CD＝＝2， 在Rt△ACD中，∵tanC＝＝2， ∴AD＝2CD＝4， ∴AC＝＝10， ∴AB＝10． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形． 11．（2024•浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　40°　 ． 【点拨】由切线的性质得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝90°﹣50°＝40． 【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠B＝90°﹣50°＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查切线的性质，关键是由切线的性质得到∠BAC＝90°． 12．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　 ． 【点拨】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论． 【解析】解：连接OC，OB， ∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C， ∴∠ACO＝∠ABO＝90°， ∵∠A＝50°， ∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°， ∴∠D＝， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．（2025•钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　6　 ． 【点拨】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB＝12，又因为PA＝PB，所以可求出PA的长． 【解析】解：∵EA，EC都是圆O的切线， ∴EC＝EA， 同理FC＝FB，PA＝PB， ∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6； 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出△PEF的周长＝PA+PB． 14．（2025•新昌县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，⊙O分别与AC，BC相切于点M，N，圆心O在AB上，则⊙O的半径长为　　 ． 【点拨】连接ON，OM，根据切线的性质得到∠ONC＝∠C＝∠OMC＝90°，根据正方形的性质得到CN＝CM＝ON＝OM，ON∥AC，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：连接ON，OM， ∵⊙O分别与AC，BC相切于点M，N， ∴∠ONC＝∠C＝∠OMC＝90°， ∴四边形OMCN是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形OMCN是正方形， ∴CN＝CM＝ON＝OM，ON∥AC， ∴△BNO∽△BCA， ∴， ∴， ∴ON＝， ∴⊙O的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 15．（2025•浙江模拟）如图，⊙O的半径为1，圆心角∠AOB＜90°，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点C，过点B作BD⊥OA于点D，记BD＝m，OD＝n，则AC＝　　 ．（用含m，n的代数式表示） 【点拨】根据切线的性质得到AC⊥OA，得到BD∥AC，证明△ODB∽△OAC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解析】解：∵AC是⊙O的切线， ∴AC⊥OA， ∵BD⊥OA， ∴BD∥AC， ∴△ODB∽△OAC， ∴＝，即＝， 解得：AC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16．（2024•瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 　　 ． 【点拨】连接DC，由以CE为直径作⊙F，得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°，即可得动点D在以BC中点O为圆心，为半径的圆上运动，当A，D，O在一直线上时，AO＝＝，故AD≥AO﹣OD＝＝． 【解析】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴＝＝， 连接DC，由以CE为直径作⊙F， 得∠CDE＝90°，∠CDB＝90°， 得动点D在以BC中点O为圆心，为半径的圆上运动， 当A，D，O在一直线上时，AO＝＝， 故AD≥AO﹣OD＝＝， 即AD的最小值＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、圆周角定理，三角形三边关系以及直角三角形斜边上的中线，解题关键是动中抓不变． 17．（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE． （1）求证：OD⊥OE． （2）若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积． 【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，得到∠ODB＝∠C，证明OD∥AC，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质证明； （2）根据等边三角形的性质求出∠A＝60°，解直角三角形求出EC，再根据梯形面积公式计算即可． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 由作图可知：OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴OD⊥OE； （2）解：∵AB＝AC，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， 在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB＝， 则OA＝＝＝2，AE＝＝＝1， ∴AB＝2+， ∴EC＝AC﹣AE＝2+﹣1＝1+， 则四边形ODCE的面积为：×（++1）×＝3+． 【点睛】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．（2025•景宁县二模）如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．过点A作AC⊥PD于点C，交⊙O于点N，连接AM． （1）求证：AM平分∠CAB； （2）若⊙O的直径为10，AN＝6，求CM的长． 【点拨】（1）连接OM，则AO＝MO和∠OAM＝∠OMA，根据题意得OM⊥CP，即有OM∥AC，可得∠CAM＝∠OMA，则有∠CAM＝∠OAM即可判定角平分线； （2）过点O 作OE⊥AN于点E，连接ON，则∠OEC＝90°，判定四边形OMCE为矩形，有CM＝EO，结合圆的性质和等腰三角形的性质求得，利用勾股定理求得即可． 【解析】（1）证明：如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．连接OM， ∴AO＝MO，∠OAM＝∠OMA，OM⊥CP， ∵AC⊥PD， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠OMA， ∴∠CAM＝∠OAM， ∴AM平分∠CAB； （2）解：如图2，过点O 作OE⊥AN于点E，连接ON，OM，则∠OEC＝90°， ∵过点P作⊙O的切线PD，切点为M， ∴OM⊥CP，即∠OMC＝90°， ∵AC⊥PD， ∴∠ACM＝90°， ∴四边形OMCE为矩形， ∴CM＝EO， ∵OA＝ON，AN＝6， ∴， ∵⊙O的直径为10， ∴OA＝5， 在直角三角形AOE中，由勾股定理得：， ∴CM＝4． 【点睛】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是熟悉常规辅助线的做法． 19．（2025•衢江区一模）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD． （1）求证：∠ABC＝2∠ACD； （2）若，BC＝6，求的长． 【点拨】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，根据切线的性质得到OD⊥AB，根据四边形内角和、邻补角的定义得到∠AOD＝∠ABC，得到∠ABC＝2∠ACD； （2）根据正切的定义求出∠A，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可． 【解析】（1）证明：如图，连接OD， 由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD， ∵OC为半径作圆与AB相切于点D， ∴OD⊥AB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠COD+∠ABC＝180°， ∵∠COD+∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ACD； （2）解：在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝6， 则tanA＝＝＝， ∴∠A＝30°， ∴∠COD＝∠A+∠ADO＝120°，OD＝OA， ∴OC＝OA， ∵AC＝6， ∴OC＝2， ∴的长为：＝． 【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 20．（2025•浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝45°，，求图中阴影部分的面积． 【点拨】（1）如图，连接OD，根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠OBD，则∠ODB＝∠EBD，得到OD∥EB，结合切线的判定即可求解； （2）根据角平分线的性质定理得到，根据圆周角定理得到∠DOF＝2∠DBF＝45°，则等腰Rt△DOF中，，根据，即可求解． 【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OD， 由条件可知∠EBD＝∠OBD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∴OD∥EB， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， 又∵OD是⊙O的半径． ∴DE与⊙O相切； （2）由条件可知， ∵∠ABC＝45°，∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴， ∴∠DOF＝2∠DBF＝45°， ∴等腰Rt△DOF中，， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定，角平分线的定义及角平分线的性质定理，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握切线的判定，扇形面积的计算是关键． 21．（2025•宁波模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，AD平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，DF⊥AC于点F，AF＝AB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CF＝AF＝6，求弧BE的长度． 【点拨】（1）证明△ABD≌△AFD，即可得到∠ABD＝∠AFD＝90°，进一步即可得到结论； （2）连结OE．求出∠BOE＝60°，根据弧长公式进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠FAD． ∵AF＝AB，AD＝AD， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（SAS）． ∵DF⊥AC于点F， ∴∠ABD＝∠AFD＝90°． ∵AB为⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：连接OE， ∵CF＝AF＝6，DF⊥AC， ∴AB＝6，∠C＝∠FAD＝∠BAD． ∵∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝30°． ∴∠BOE＝60°． ∴弧BE的长为． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，掌握切线的判定与性质是解题的关键． 22．（2022•富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BF＝2，BD＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【点拨】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线； （2）设⊙O的半径为r，则OB＝r+2，根据勾股定理列方程可得r的长，最后由面积差可得结论． 【解析】解：（1）BC与⊙O相切． 理由：连接OD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC， 又∵OD是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切； （2）设⊙O的半径为r，则OB＝r+2， 由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2， ∴r2+（2）2＝（r+2）2， ∴r＝2， ∴OD＝2，OB＝4， ∴∠OBD＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∴阴影部分的面积＝×2×2﹣＝2﹣π． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 专项练习 1．（2024•浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【点拨】根据勾股定理的逆定理证得△XYZ是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得YM的长，然后与26m比较大小，即可解答本题． 【解析】解：∵XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m． ∴XY2+YZ2＝XZ2， ∴△XYZ是直角三角形， ∴∠XYZ＝90°， ∵点N是斜边XZ的中点， ∴XM＝MZ＝25m， ∵△XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线， ∴YM＝XZ＝25m， ∵26＞25， ∴点X、Y、Z都在圆内， ∴这三栋楼都不该5G基站覆盖范围内． 故选：A． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到M点的距离． 2．（2025•市南区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝5cm，以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 【点拨】利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用三角形面积求出DC的长，进而利用直线与圆的位置关系得出答案． 【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∴∠B+∠DCB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵sinB＝sin∠ACD＝＝＝， ∴AD＝4cm， ∴CD＝＝3（cm）， ∵r＝2.8cm， ∴CD＞r， 故以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相离． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形、三角形面积求法等知识，得出Rt△ABC斜边上的高是解题关键． 3．（2025•金东区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝27°，则∠D的度数为（　　） A．63° B．44° C．54° D．64° 【点拨】连接OC，由等边对等角可得∠OCA＝∠CAB＝27°，由三角形外角的性质可得∠BOC＝∠OCA+∠CAB＝54°，由切线的性质可得CD⊥OC，则∠OCD＝90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠D+∠COD＝90°，由OD⊥AB可得∠BOD＝90°，进而可得∠BOC+∠COD＝90°，于是可得∠D＝∠BOC，由此即可求出∠D的度数． 【解析】解：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠CAB＝27°， ∴∠BOC＝∠OCA+∠CAB＝27°+27°＝54°， ∵OC是半圆O的半径，CD是半圆O的切线， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D+∠COD＝90°， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠D＝∠BOC＝54°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 4．（2025•鹿城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的切线，连接CO并延长交弦AB于点D．若＝80°，∠ACE＝α（0°＜α＜90°），则∠CDB的度数为（　　） A．130°﹣α B．170°﹣α C．80°+α D．40°+α 【点拨】连接OB，由＝80°，得∠BOC＝80°，则∠A＝∠BOC＝40°，由切线的性质得∠OCE＝90°，则∠ACD＝90°﹣α，求得∠CDB＝∠A+∠ACD＝130°﹣α，于是得到问题的答案． 【解析】解：连接OB， ∵＝80°， ∴∠BOC＝80°， ∴∠A＝∠BOC＝40°， ∵CE是⊙O的切线，∠ACE＝α ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°， ∴∠ACD＝∠OCE﹣∠ACE＝90°﹣α， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝40°+90°﹣α＝130°﹣α， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、切线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5．（2025•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 【点拨】设圆心为O，连接OE，设⊙O的半径为r，得AO＝5+r，AB＝5+2r，然后利用勾股定理求出r，根据sin∠A＝＝，代入值即可求出BC． 【解析】解：如图，设圆心为O，连接OE， ∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， 设⊙O的半径为r， ∴OE＝OD＝r， ∴AO＝AD+OD＝5+r，AB＝AD+BD＝5+2r， 在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AO2＝AE2+OE2， ∴（5+r）2＝102+r2， ∴r＝7.5， ∴AO＝5+r＝12.5，AB＝5+2r＝20， ∵sin∠A＝＝， ∴＝， ∴BC＝12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，根据勾股定理求出半径是解题的关键． 6．（2025•诸暨市三模）如图，点O在△ABC的边AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点B．若OC＝1，AC＝3，则扇形BOC的面积为（　　） A． B． C．π D． 【点拨】先根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再利用余弦的定义求出∠AOB＝60°，所以∠BOC＝120°，然后根据扇形的面积公式计算． 【解析】解：∵⊙O与AB相切于点B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， ∵OC＝1，AC＝3， ∴OA＝2，OB＝1， 在Rt△AOB中，∵cos∠AOB＝＝， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴扇形BOC的面积＝＝π．． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形和扇形面积的计算． 7．（2025•自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 【点拨】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可． 【解析】解：连接OA、OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°， 综上所述：∠ACB的度数是50°或130°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8．（2025•镇坪县一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．下列结论中不正确的是（　　） A．DE为⊙O的切线 B．DO＝DE C．若∠ABC＝120°，则S△CDE＝ D．若BE＝1，BF＝2，则AD的长为 【点拨】对于选项A，根据OA＝OD得∠A＝∠ODA，根据AB＝BC得∠A＝∠C，进而得∠ODA＝∠C，则OD∥BC，再根据DE⊥BC得DE⊥OD，据此根据切线的判定即可对选项A进行判断； 对于选项B，证明DO是△ABC的中位线得DO＝1/2BC，根据∠ADB＝90°得∠BDC＝90°，因此当DE是Rt△BCD的斜边BC边上的中线时，DE＝BC，此时才有DO＝DE，据此可对选项B进行判断； 对于选项C，设⊙O的半径为R，则AB＝BC＝2R，根据∠ABC＝120°，AB＝BC得∠A＝∠C＝30°，进而得BD＝R，AD＝√3R，再根据OD是△ABC的中位线得AD＝CD＝，则AC＝，继而得S△ABC＝AC•BD＝，再分别求出DE＝，CE＝，则S△CDE＝DE•CE＝，据此可对选项C进行判断； 对于选项D，连接AF，则EF＝BE+BF＝3，证明DE是△ACF的中位线得CE＝EF＝3，DE＝AF，进而得AB＝BC＝4，AF＝，则DE＝，然后在Rt△CDE中，由勾股定理可求出CD＝，据此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：对于选项A， ∵AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D， ∴OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵OA＝OB，OD∥BC， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO＝BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴当DE是Rt△BCD的斜边BC边上的中线时，DE＝BC， 此时才有DO＝DE， 根据已知条件无法判定DE是BC边上的中线， ∴无法判定DO＝DE， 故选项B不正确，符合题意； 对于选项C， 设⊙O的半径为R，则AB＝BC＝2R， ∵∠ABC＝120°，AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝30°， ∴BD＝1/2AB＝R， 由勾股定理得：AD＝＝＝， ∵OD是△ABC的中位线， ∴CD＝AD＝， ∴AC＝， ∴S△ABC＝AC•BD＝＝， ∵DE⊥BC， ∴在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠C＝30°， ∴DE＝CD＝， 由勾股定理得：CE＝＝＝， ∴S△CDE＝DE•CE＝＝， ∴S△CDE＝S△ABC， 故选项C正确，不符合题意； 对于选项D， 连接AF，如图所示： ∵BE＝1，BF＝2， ∴EF＝BE+BF＝3， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠F＝90°， 即AF⊥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE∥AF， ∴AD＝CD， ∴DE是△ACF的中位线， ∴CE＝EF＝3，DE＝AF， ∴BC＝CE+BE＝3+1＝4， ∴AB＝BC＝4， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝＝＝， ∴DE＝AF＝， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝． 故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是已解决问题的关键． 9．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm． 【点拨】根据“点P在圆上⇔d＝r”求解即可． 【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上， ∴点P到圆心O的距离为5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r． 10．（2025•浙江模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 　30°　 ． 【点拨】先利用切线的性质得到∠CAP＝90°，则利用互余计算出∠PAB＝75°，再根据切线长定理得到PA＝PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P的度数． 【解析】解：∵PA为切线， ∴OA⊥PA， ∴∠CAP＝90°， ∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∴∠PBA＝∠PAB＝75°， ∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 11．（2025•温州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F．若∠DOE＝140°，则∠C＝ 　50　 °． 【点拨】根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥BC，根据四边形内角和等于360°求出∠B，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：∵⊙O分别切AB，BC于点D，E， ∴OD⊥AB，OE⊥BC， ∴∠B+∠DOE＝180°， ∵∠DOE＝140°， ∴∠B＝180°﹣140°＝40°， ∵∠A＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 12．（2025•临平区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D＝　28　 度． 【点拨】连接OC，根据圆周角定理求出∠COD，根据切线的性质得到OC⊥CD，再根据直角三角形的性质求出∠D． 【解析】解：如图，连接OC， 由圆周角定理得：∠COD＝2∠A＝2×31°＝62°， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣62°＝28°， 故答案为：28． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 13．（2025•东营）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，﹣3），则点N的坐标为　（9，0）　 ． 【点拨】连接PQ，PN，过点P作PA⊥MN于点A，根据点的坐标结合切线的性质推出OA＝PQ＝PN＝5，据此解答． 【解析】解：如图，连接PQ，PN，过点P作PA⊥MN于点A， ∵点P的坐标为（5，﹣3）， ∴OA＝5，PA＝3， ∵⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q， ∴OA＝PQ＝PN＝5， ∴AN＝＝4， ∴ON＝OA+AN＝5+4＝9， ∴N（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟记切线的性质，勾股定理是解题的关键． 14．（2025•金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，以B为圆心，BD长为半径作圆．若⊙B与线段AC有两个交点，则BC满足的条件是 　BC且BC≠2　 ． 【点拨】找出临界值，当⊙B与AC相切时，⊙B经过点C时，⊙B经过点A时分别求出对应的BC值，即可得解． 【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝1， ①若AC与⊙B相切，则BD⊥AC， ∵D是AC中点， ∴此时AB＝BC＝AC＝2， ∴BC≠2； ②若⊙B经过点C，如图， 则BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴＝，即， ∴BC＝； ③若⊙B经过点A，则BD＝BA＝2， 如图，取BC中点E，连接DE，过D作DF⊥BC于点F， ∵D和E分别是AC和BC中点， ∴DE＝AB＝1，DE∥AB， ∴∠ABC＝∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC， ∴设EF＝CF＝x，则CE＝BE＝2x， ∴BF＝3x， 在Rt△DCF中，DF2＝CD2﹣CF2＝1﹣x2， 在Rt△BDF中，DF2＝BD2﹣BF2＝4﹣9x2， ∴1﹣x2＝4﹣9x2， 解得x＝， ∴BC＝4x＝； 综上，若⊙B与线段AC有两个交点，则BC且BC≠2； 故答案为：BC且BC≠2． 【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（2025•仁寿县一模）如图，AB为⊙O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE． （1）求∠E的度数； （2）试判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由． 【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到AD＝OD．推出△OAD是等边三角形．得到∠OAD＝60°，再结合AD＝AE即可求解； （2）根据三角形的内角和定理得到∠ODE＝90°．由垂直的定义得到OD⊥DE．推出DE是⊙O的切线． 【解析】解：（1）∵AB为⊙O的直径，点D在圆上， ∴OA＝OD， ∵点C为OA的中点，CD⊥AB， ∴AD＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠OAD＝60°， ∵AD＝AE， ∴； （2）ED与⊙O的位置关系是相切；理由如下： 由（1）知∠ADE＝30°，∠ADO＝60°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是圆O的半径， ∴ED是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（2024•金华模拟）如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE． （1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论； （2）若∠C＝40°，AD＝6，求⊙O的半径．（精确到0.01，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 【点拨】（1）只要证∠EDO＝90°，即可得到DE是⊙O的切线； （2）根据直角三角形两锐角互余得∠A＝50°，根据cosA＝，即可求得⊙O的半径． 【解析】（1）证明：如图1，连接OD、DB； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝90°． ∵E为BC边上的中点， ∴CE＝EB＝DE， ∴∠1＝∠2． ∵OB＝OD， ∴∠3＝∠4． ∴∠1+∠4＝∠2+∠3． ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝∠2+∠3＝90°， ∴∠EDO＝∠1+∠4＝90°． ∵D为⊙O上的点， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°， ∴∠A＝50°， ∵cosA＝， ∴AB＝＝≈9.334， ∴⊙O的半径为4.67． 【点睛】主要考查了切线的判定方法和解直角三角函数．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 17．（2025•上城区三模）如图，BD为半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AE切半圆O于点E，BC⊥AC于点C，交半圆O于点F．连接BE． （1）求证：BE平分∠ABC． （2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O半径的长． 【点拨】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，得到OE∥BC，根据平行线的性质得到∠CBE＝∠OEB，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠OEB，得到∠CBE＝∠ABE； （2）根据勾股定理求出AB，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解析】（1）证明：如图，连接OE， ∵AE切半圆O于点E， ∴OE⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC， ∴∠CBE＝∠OEB， ∵OE＝OB， ∴∠ABE＝∠OEB， ∴∠CBE＝∠ABE，即BE平分∠ABC． （2）解：在Rt△ACB中，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得：AB＝＝＝10， 设⊙O半径的长为r，则OA＝10﹣r， ∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得：r＝， 答：⊙O半径的长为． 【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以CD为直径作⊙O，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AE＝DE． （1）求证：CD＝BC； （2）若BC＝5，BD＝6，求DE的长． 【点拨】（1）根据切线的性质得到∠CDE＝90°，再根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠1，利用等角的余角相等得到∠2＝∠B，然后根据等角对等边可得结论； （2）设BD与⊙O交于点F，连接CF，根据圆周角定理可推导出∠3＝∠A，∠CFD＝90°，再根据三线合一得到．利用勾股定理求得CF＝4；证明△CFB∽△ACB求得，设DE＝x，则AE＝x，，在Rt△CDE中，利用勾股定理求得即可求解． 【解析】（1）证明：如解图，∵DE是⊙O的切线， ∴∠CDE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵AE＝DE， ∴∠A＝∠1， ∴∠A+∠2＝90° ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠2＝∠B， ∴CD＝BC； （2）解：设BD与⊙O交于点F，连接CF， 由题意可得：∠CFD＝90°， ∴∠3+∠B＝90°， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠3＝∠A， 由（1）知CD＝BC＝5， ∴． ∴在Rt△CBF中，， ∵∠CFB＝∠ACB＝90°， ∴△CFB∽△ACB， ∴，即， ∴， 设DE＝x，则AE＝x， ∴， ∵CE2＝DE2+CD2， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线得性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的性质是解答的关键． 19．（2024•诸暨市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝1，BD＝3，求⊙O的半径长． 【点拨】（1）连接OE，则∠ODE＝∠OED＝∠CDB，根据∠ACB＝90°得∠CBD+∠CDB＝90°，则∠CBD+∠OED＝90°，再根据CE＝BC得∠CBD＝∠CED，据此可得∠CED+∠OED＝90°，然后根据切线的判定可得出结论； （2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+1，在Rt△BCD中由勾股定理可求出BC＝，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出r即可． 【解析】（1）证明：连接OE，如图所示： ∵AD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠ODE＝∠CDB， ∴∠OED＝∠CDB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBD+∠CDB＝90°， ∴∠CBD+∠OED＝90°， ∵CE＝BC， ∴∠CBD＝∠CED， ∴∠CED+∠OED＝90°， ∴∠OEC＝90°， 即OE⊥CE， 又∵OE为⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r， ∵CD＝1， ∴OC＝OD+CD＝r+1， 在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3， 由勾股定理得：BC＝＝， ∴CE＝BC＝， ∵∠OEC＝90°， ∴在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2＝OE2+CE2， 即（r+1）2＝r2+（）2， 解得：r＝3.5． 故⊙O的半径为3.5． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定，勾股定理是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 第五章 圆 5.2与圆有关的位置关系 知识梳理 与圆有关的位置关系 点、与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外⇔ ； （2）点在圆上⇔ ； （3）点在圆内⇔ . 线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种： 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点 个数 0 1 2 数量关系 d>r d=r d<r 切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的 . 即：∵OA是半径，MN是⊙O的切线， ∴OA⊥MN 判定 经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线。 即：∵OA是半径，且OA⊥MN于点A ∴MN是⊙O的切线 证明切线的常用方法 1．已知直线过半径外端，证直角； 2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角； 3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径． 切线长 定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长. 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 . 即：∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，PO平分∠APB 内切圆 定义 与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 例题讲解 【题型一】点与圆的位置关系 【例1.1】（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　5　 cm． 【例1.2】（2025•巢湖市校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（　　） A． B．2 C． D． 【例1.3】（2025•南陵县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 【题型二】直线与圆的位置关系 【例2.1】（2025•镇江一模）已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为（　　） A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b 【例2.2】（2025•南岗区模拟）如图，AB为⊙O的直径，，当AC＝　　 cm时，直线AC与⊙O相切． 【例2.3】（2025•台山市一模）如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝5，AD＝4，求⊙O的半径长． 【题型三】切线的性质 【例3.1】（2025•瓯海区二模）如图，AB是⊙O的切线，C为切点，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD．若∠A＝24°，则∠D的度数为（　　） A．24° B．30° C．33° D．36° 【例3.2】（2025•浙江模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，cosD＝，∠CAB＝30°，若CD＝6，则AC的长是 　　 ． 【例3.3】（2025•椒江区二模）如图，⊙O中，AB为直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD＝∠C． （1）求证：OD⊥AE； （2）若，OA＝3，求AE的长． 【例3.4】（2025•广州）已知⊙O的半径为6，⊙O所在平面内有一动点P，过点P可以引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是 　 ；若过点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与⊙O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为 　 ． 【题型四】切线的判定 【例4.1】（2025•济南一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长． 【例4.2】（2025•本溪一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，连接CD、OC，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）若∠ABC＝67.5°，AE＝4，求的长度． 【题型五】切线的判定与性质综合 【例5.1】（2025•郯城县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积． 【例5.2】（2023•婺城区模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF＝ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接BC，若tan∠BCD＝，DE＝6，求AB的长． 真题在线 1．（2025•余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定 2．（2025•钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（2025•滨江区一模）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　） A．21° B．42° C．48° D．69° 4．（2025•钱塘区一模）如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点．若∠P＝30°，⊙O的半径为2，则PC的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2023•拱墅区二模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　） A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点 6．（2025•浙江模拟）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•黄岩区二模）如图，已知⊙O的半径长是2，BA，BC分别切⊙O于点A，C，连结BO并延长交⊙O于点D，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（　　） A．5 B．4 C．6 D．4 8．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．（2025•龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝2．以AB为直径画半圆O，交BC于点D，过点D作半圆O的切线交AC于点E，若DE＝4，则AB的长为（　　） A．8 B． C． D．10 11．（2024•浙江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　　 ． 12．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　　 ． 13．（2025•钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　　 ． 14．（2025•新昌县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，⊙O分别与AC，BC相切于点M，N，圆心O在AB上，则⊙O的半径长为　　 ． 15．（2025•浙江模拟）如图，⊙O的半径为1，圆心角∠AOB＜90°，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点C，过点B作BD⊥OA于点D，记BD＝m，OD＝n，则AC＝　　 ．（用含m，n的代数式表示） 16．（2024•瓯海区校级三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝3，点E是AC边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 　　 ． 17．（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE． （1）求证：OD⊥OE． （2）若AB＝BC，OB＝，求四边形ODCE的面积． 18．（2025•景宁县二模）如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．过点A作AC⊥PD于点C，交⊙O于点N，连接AM． （1）求证：AM平分∠CAB； （2）若⊙O的直径为10，AN＝6，求CM的长． 19．（2025•衢江区一模）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD． （1）求证：∠ABC＝2∠ACD； （2）若，BC＝6，求的长． 20．（2025•浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝45°，，求图中阴影部分的面积． 21．（2025•宁波模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，AD平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，DF⊥AC于点F，AF＝AB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CF＝AF＝6，求弧BE的长度． 22．（2022•富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BF＝2，BD＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 专项练习 1．（2024•浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 2．（2025•市南区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝5cm，以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 3．（2025•金东区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝27°，则∠D的度数为（　　） A．63° B．44° C．54° D．64° 4．（2025•鹿城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的切线，连接CO并延长交弦AB于点D．若＝80°，∠ACE＝α（0°＜α＜90°），则∠CDB的度数为（　　） A．130°﹣α B．170°﹣α C．80°+α D．40°+α 5．（2025•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 6．（2025•诸暨市三模）如图，点O在△ABC的边AC上，⊙O经过点C，且与AB相切于点B．若OC＝1，AC＝3，则扇形BOC的面积为（　　） A． B． C．π D． 7．（2025•自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 8．（2025•镇坪县一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．下列结论中不正确的是（　　） A．DE为⊙O的切线 B．DO＝DE C．若∠ABC＝120°，则S△CDE＝ D．若BE＝1，BF＝2，则AD的长为 9．（2025•云南）已知⊙O的半径为5cm．若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　　 cm． 10．（2025•浙江模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 　　 ． 11．（2025•温州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F．若∠DOE＝140°，则∠C＝ 　　 °． 12．（2025•临平区模拟）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝31°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D＝　　 度． 13．（2025•东营）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，﹣3），则点N的坐标为　　 ． 14．（2025•金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，以B为圆心，BD长为半径作圆．若⊙B与线段AC有两个交点，则BC满足的条件是 　　 ． 15．（2025•仁寿县一模）如图，AB为⊙O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，D在AB的上方，连接AD、BD，点E在线段CA的延长线上，且AD＝AE． （1）求∠E的度数； （2）试判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由． 16．（2024•金华模拟）如图，已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连接DE． （1）猜想DE是⊙O的切线吗？并证明你的结论； （2）若∠C＝40°，AD＝6，求⊙O的半径．（精确到0.01，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 17．（2025•上城区三模）如图，BD为半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AE切半圆O于点E，BC⊥AC于点C，交半圆O于点F．连接BE． （1）求证：BE平分∠ABC． （2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O半径的长． 18．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以CD为直径作⊙O，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AE＝DE． （1）求证：CD＝BC； （2）若BC＝5，BD＝6，求DE的长． 19．（2024•诸暨市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CD＝1，BD＝3，求⊙O的半径长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $