2026年中考数学一轮复习专题4.5多边形与平行四边形

2026年中考数学一轮复习精讲精练 第四章 三角形及四边形 4.5多边形与平行四边形 知识梳理 多边形 定义 在同一平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．[ 对角线 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为． 内角和 n边形的内角和为(n-2)·180° 外角和 n边形外角和为360° 正多边形 定义 在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形. 内角 外角 正n边形的每个内角为，每一个外角为。 对称性 （1）正n边形有n条对称轴. （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 性质 （1）平行四边形的对边平行且相等，即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）平行四边形的对角相等，即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC . （3）平行四边形的对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD .  判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形. （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形. （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 即若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AB∥CD（或AD=BC，AD∥BC），则四边形ABCD是平行四边形. 例题讲解 【题型一】多边形的有关计算 【例1.1】（2024•台州一模）一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是（　　） A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 【点拨】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【解析】解：这个正多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180°＝720°， 解得：n＝6． 故这个正多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解． 【例1.2】（2025•凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（　　）条对角线． A．6 B．7 C．8 D．9 【点拨】设这个多边形的边数为n，n边形的内角和为180°•（n﹣2），外角和为360°，从n边形的一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出n的值即可得到答案． 【解析】解：设这个多边形的边数为n， 180°•（n﹣2）＝360°×4， 180°n﹣360°＝360°×4， 解得：n＝10， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引10﹣3＝7条对角线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形外角与内角和综合，多边形的对角线，掌握相应的定义是关键． 【例1.3】（2025•定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 【点拨】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【解析】解：正六边形每个内角为：， 而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°， ∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°， ∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°， ∴α+β＝360°﹣240°＝120°， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 【题型二】平行四边形的性质 【例2.1】（2025•温州模拟）如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）当∠BAF＝90°，CD＝6，AD＝5时，求AF的长． 【点拨】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）根据全等三角形的性质，可得AE＝EF，FC＝AD，然后根据平行四边形的性质证明CE是△FAB的中位线，再根据勾股定理即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠ADC＝∠ECF， ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，FC＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD， ∴BC＝CF， ∴CE是△FAB的中位线， ∴AB＝2CE＝CD＝6， ∵∠BAF＝90°，AB＝CD＝6，BF＝2BC＝2AD＝10， ∴AF＝＝8． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明△ADE≌△FCE是解题的关键． 【例2.2】（2025•杭州二模）问题：如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF．若____，求证：BE＝DF． 在①AE＝CF，②∠ABE＝∠CDF，③∠BEC＝∠DFA这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答． 【点拨】由四边形ABCD是平行四边形得BO＝DO，加上条件OE＝OF，从而得出四边形BEDF为平行四边形，从而有BE＝DF． 【解析】解：选①，如图，连接BF，DE，BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵OA＝OC，AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∴BE＝DF． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【例2.3】（2025•西湖区模拟）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作∠DCB的平分线交DE于F，且DE＝CD，若DF＝6，AE＝9，则BE的长为　3　 ． 【点拨】先由平行四边形的性质以及垂直的定义得出∠EDC＝∠AED＝90°，构造辅助线延长ED至点G，使DG＝AE＝9，连接CG，由“SAS”证明△CGD≅△DAE，利用全等三角形的性质以及角平分线的性质进行倒角得到∠GCF＝∠DFC，即CG＝FG，由勾股定理得到CD的长，即AB的长，最后由线段之间和差关系得到BE长度． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，DE⊥AB， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝∠BCD，∠EDC＝∠AED＝90°， 延长ED至点G，使DG＝AE＝9，连接CG， ∵∠GDC＝180°﹣∠FDC＝90°＝∠AED，DE＝CD， ∴△CGD≌△DAE（SAS）． ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF， 设∠BCF＝∠DCF＝α， 则∠G＝∠A＝∠BCD＝2α，∠DFC＝90°﹣∠DCF＝90°﹣α， ∴∠GCF＝180°﹣∠G﹣∠DFC＝90°﹣α＝∠DFC， ∴CG＝FG＝DG+DF＝9+6＝15， ∴， ∴BE＝AB﹣AE＝12﹣9＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理．掌握这些判定与性质进行角与边的推导代换是解题的关键． 【例2.4】（2025•杭州二模）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，AF⊥BD，AE＝2AF，．记BE长为x，BO长为y（x≠0，y≠0）．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．xy B． C．x2﹣y2 D．x2+y2 【点拨】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，求得AD＝EH＝BC，AE＝DH，得到BE＝CH＝x，根据勾股定理得到CE＝，求得BC＝BE+CE＝x+，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， ∵AE⊥BC， ∴四边形AEHD是矩形， ∴AD＝EH＝BC，AE＝DH， ∴BE＝CH＝x， ∴BH＝2x+CE， ∵AE2＝AC2﹣CE2，DH2＝BD2﹣BH2，BD＝AC， ∴（BD）2﹣CE2＝BD2﹣（2x+CE）2， ∴CE＝， ∴BC＝BE+CE＝x+， ∵BD＝2OB＝2y，AE＝2AF， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝BD•AF＝（x+）•2AF＝2y•AF， ∴y＝x+， ∴＝， ∴代数式的值不变的是B选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型三】平行四边形的判定 【例3.1】（2022•余杭区一模）在①AO＝CO，②BO＝OD，③∠BAD＝∠BCD这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，若 　①或②或③　 ．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【点拨】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可． 【解析】解：①添加AO＝CO， ∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO， 在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ②添加BO＝OD， 同理可证明四边形ABCD是平行四边形； ③添加∠BAD＝∠BCD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠BCD+∠ADC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：①或②或③． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 【例3.2】（2025•鸡西一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件AB＝CD（答案不唯一）　 ，使得四边形ABCD成为平行四边形（填一个即可）． 【点拨】根据平行四边形的判定方法填写即可． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴当AB＝CD时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④两组对边分别相等的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【例3.3】（2025•武安市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴正半轴上，且OA＝1，点B在y轴负半轴上，且OB＝2．若点C（﹣1，3），D是象限内的一点，则使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标为（　　） A．（0，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，1） D．（2，﹣5）或 （﹣2，1） 【点拨】求出点A（1，0），点B（0，2），再分三种情况，当BC为平行四边形ABDC的对角线时，当AB为平行四边形ADBC的对角线时，当AC为平行四边形ABCD的对角线时，分别求解即可． 【解析】解：如图， ∵点A在x轴正半轴上，且OA＝1，点B在y轴负半轴上，且OB＝2， ∴点A（1，0），点B（0，﹣2）， 当AC∥BD，AB∥CD时，四边形ABDC为平行四边形，点D的坐标为（﹣2，1）； 当AC∥BD，AD∥BC时，四边形ADBC为平行四边形，点D的坐标为（2，﹣5）； 当AB∥CD，AD∥BC时，四边形ABCD为平行四边形，点D的坐标为（0，5），不符合题意，舍去； 综上所述，点D的坐标为（2，﹣5）或（﹣2，1）； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，注意分类讨论． 【题型四】平行四边形的性质与判定综合 【例4.1】（2025•萧山区二模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC＝2BD＝8，求四边形ABCD的面积． 【点拨】（1）先证明AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得BO＝2，AO＝4，再由勾股定理求出AB的长，即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2BD＝8， ∴BD＝4，，， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：， ∴四边形ABCD的面积＝AB•BD＝2×4＝8． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【例4.2】（2025•嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 【点拨】（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形FBCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AFBD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【解析】（1）证明：∵点E是线段BD的中点， ∴BE＝DE， 又∵EF＝CE， ∴四边形FBCD是平行四边形， ∴BF∥CD； （2）如图，连接AF， ∵四边形FBCD是平行四边形， ∴BD∥CD，BF＝CD， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BF， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∴AB与FD互相平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【例4.2】（2024•温州三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点P，AB⊥AC，垂足为A，过D作DE⊥AC于E，并延长交BC于点F，连接BE，若AB＝DE，∠ABE＝∠ACD． （1）求证：四边形ABED是平行四边形； （2）若AD＝5，DE＝3时， ①求EF的长； ②求△BEF的面积． 【点拨】（1）根据AB∥DE，AB＝DE可证得结论； （2）①根据勾股定理得到AE＝＝＝4，根据平行四边形的性质得到∠ABE＝∠ADE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②延长DF，过B作BH⊥DF的延长线，垂足为H．根据矩形的判定定理得到四边形ABHE 是矩形，求得BH＝AE＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵AB⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BAE＝∠DEA＝90°， ∴AB∥DE， ∵AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形； （2）解：①∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴AE＝＝＝4， ∵四边形ABED是平行四边形， ∴∠ABE＝∠ADE， ∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠ADE＝∠ACD， ∴△ADE∽△ACD， ∴＝， ∴＝， ∴CE＝， ∵AB∥DE ∴△EFC∽△ABC， ∴＝， ∴＝， 解得EF＝； ②过B作BH⊥DF的延长线于H． ∴∠BHE＝90° ∵AB⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BAC＝∠AEF＝90° ∴四边形ABHE是矩形， ∴BH＝AE＝4 ∴S△BEF＝EF•BH＝××4＝． 【点睛】本题考查了平行四边形 的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 真题在线 1．（2025•浙江模拟）如图所示窗框的形状是正六边形，正六边形的一个内角的度数为（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 【点拨】先根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，然后根据正多边形每个内角都相等，列出算式进行计算即可． 【解析】解：∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴正六边形每个内角的度数为：720°÷6＝120°， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式． 2．（2025•景宁县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，其对角线AC，BD相交于点O，下列结论不成立的是（　　） A．AO＝CO B．AD∥BC C．AB＝CD D．AC⊥BD 【点拨】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，故A正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，故B正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故C正确； 无法判断AC⊥BD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答． 3．（2025•上虞区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠ACB＝（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【点拨】由平行四边形的性质推出BC＝AD，AD∥BC，得到BC＝AE＝BE，推出∠EAB＝∠EBA，∠BCE＝∠BEC，由三角形的外角性质得到∠BCE＝2∠BAE，由平行线的性质推出∠DAC＝∠BCE＝2∠BAE，∠D+∠DAB＝180°，得到∠DAB＝75°，即可求出∠BAE＝25°，得到∠ACB＝2∠BAE＝50°． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，AD∥BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BCE＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠BCE＝2∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCE＝2∠BAE，∠D+∠DAB＝180°， ∵∠D＝105°， ∴∠DAB＝75°， ∴3∠BAE＝75°， ∴∠BAE＝25°， ∴∠ACB＝∠DAC＝2∠BAE＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠EAB＝∠EBA，∠BCE＝∠BEC． 4．（2022•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（　　） A．32 B．24 C．16 D．8 【点拨】根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长． 【解析】解：∵EF∥AC，GF∥AB， ∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C， ∴EB＝EF，FG＝GC， ∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG， ∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC， ∵AB＝AC＝8， ∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系． 5．（2025•黄岩区二模）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（　　） A．88° B．87° C．86° D．85° 【点拨】根据平行四边形的性质求出OA＝OC，再根据三角形中位线的判定与性质、平行线的性质求解即可． 【解析】解：∵▱ABCD的对角线相交于点O， ∴OA＝OC， ∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∴∠ACB＝∠AOE＝88°， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 6．（2025•定海区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，2）．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（　　） A．（3，2） B． C．（4，2） D．（5，2） 【点拨】设D（x，y），根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【解析】解：设D（x，y）， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为（4，2）， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 7．（2025•浙江模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AO＝2，则AB的长为（　　） A． B．2 C． D．2 【点拨】根据题意得到，则AC＝2OA＝4，由勾股定理得，，由此即可求解． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD＝×8＝4，OA＝OC＝2，则AC＝2OA＝2×2＝4， ∵AC⊥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是关键． 8．（2023•舟山一模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【点拨】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题． 【解析】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD， ∵l1∥l2， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝CB， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD对角线互相垂直． ∴①错误，②正确． 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 9．（2024•柯桥区模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 【点拨】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断； B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断； C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积； D、同选项B同理可作判断． 【解析】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD， ∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形， ∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF， ∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积， ∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积， 故A不符合题意； B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO， ∴S▱BEOH＝S▱GOFD， ∵＝， ∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2， ∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积， 故B不符合题意； C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积， 故C符合题意； D、∵＝， ∴＝， ∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•， ∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积； 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式和一条对角线平分平行四边形的面积是解本题的关键． 10．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【点拨】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB＝DC，AD∥BC，得到AE＝DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE＝x，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2，得到xy＝2． 【解析】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD∥BC， ∵AE⊥BC，DH⊥BC， ∴AE＝DH， ∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL）， ∴CH＝BE＝x， ∵BC＝y， ∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x， ∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2， ∴22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2， ∴xy＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2． 11．（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为 　135°　 ． 【点拨】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数． 【解析】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°， 每一个内角的度数为×1080°＝135°． 故答案为：135°． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）． 12．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　70°　 ． 【点拨】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案． 【解析】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°， ∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°， ∵四边形BCDF是平行四边形， ∴FB∥CD， ∴∠CDE＝∠BFD＝70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，难度不大． 13．（2025•椒江区二模）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（1，1），B（3，1），C（x，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝ 　2或﹣2　 ． 【点拨】根据平行四边形的性质求出B∥OC，AB＝OC＝2，进而分两种情况讨论，①当点C在点O右侧，则x＝2；②当点C在点O左侧，则x＝﹣2，即可得出结论． 【解析】解：∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，1），B（3，1），C（x，0）， ∴AB∥OC，AB＝OC＝2， ①当点C在点O右侧，如图1， 则x＝3﹣1＝2； ②当点C在点O左侧，如图2， 则x＝﹣2； 综上所述，x＝2或﹣2， 故答案为：2或﹣2． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 14．（2025•绍兴二模）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，△CEF的面积为2，则△ABE的面积为　12　 ． 【点拨】根据平行四边形的性质求出AB＝CD，AB∥CD，CE＝CD＝AB，则△CEF∽△ABF，根据相似三角形的性质求出＝，＝＝，进而求出S△ABF＝8，S△AEF＝4，再根据△ABE的面积＝S△ABF+S△AEF即可得解． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴△CEF∽△ABF， ∴＝， ∵点E是CD的中点， ∴CE＝CD＝AB， ∴＝，＝＝， ∵△CEF的面积为2， ∴S△ABF＝8，S△AEF＝4， ∴△ABE的面积＝S△ABF+S△AEF＝12， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（2024•浙江模拟）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝4，D是AB的中点，则CD的长为 　　 ． 【点拨】方法一：过C作CH⊥AB于H，根据勾股定理即可得到结论； 方法二：延长CD到E使CD＝DE，连接AE，BE，根据线段中点的定义得到AD＝BD，推出四边形ABCD是平行四边形，得到AC＝BE＝6，AE＝BC＝4，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得到结论． 【解析】解：方法一：过C作CH⊥AB于H， ∴∠AHC＝∠BHC＝90°， ∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2＝CH2， ∴62﹣AH2＝42﹣（8﹣AH）2， ∴AH＝， ∴CH＝＝， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD＝4， ∴DH＝， ∴CD＝； 方法二：延长CD到E使CD＝DE，连接AE，BE， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵CD＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BE＝6，AE＝BC＝4， 由阿波罗尼奥斯定理得，AB2+CE2＝AC2+BC2+AE2+BE2， ∴82+CE2＝2×（62+42）， ∴CE＝2， ∴CD＝CE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．（2022•钱塘区二模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF＝8，EF＝5，则▱ABCD的周长为 　　 ． 【点拨】连接AC、过点C作CM∥BF交AB的延长线于点M，证四边形BMCF为矩形，得∠BMC＝90°，BM＝CF，CM＝BF＝8，再由勾股定理求出AM长，得出AB的长，然后由勾股定理求出BC的长，即可求出平行四边形的周长． 【解析】解：如图，连接AC、过点C作CM∥BF交AB的延长线于点M， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形BMCF为平行四边形， ∵BF⊥CD， ∴∠BFC＝90°， ∴四边形BMCF为矩形， ∴∠BMC＝90°，BM＝CF，CM＝BF＝8， ∵E、F分别为AD、CD的中点， ∴， ∵EF＝5， ∴AC＝10， ∴， ∵AB＝CD＝2CF＝2BM， ∴， ∴CF＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． 17．（2025•宁波三模）已知：如图，AC是▱ABCD的一条对角线．延长AC至点F，反向延长AC至点E，使得AE＝CF． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若∠DAC＝35°，∠F＝15°，求∠EDA的度数． 【点拨】（1）用SAS证明△ADE≌△CBF即可； （2）根据△ADE≌△CBF，得出∠E＝∠F＝15°，根据三角形外角性质求出结果即可． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∴180°﹣∠DAC＝180°﹣∠BCA， 即∠DAE＝∠BCF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△CBF， ∴∠E＝∠F＝15°， ∵∠DAC＝35°， ∴∠EDA＝∠DAC﹣∠E＝35°﹣15°＝20°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 18．（2022•滨江区二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，若 　②　 （请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 【点拨】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可． 【解析】解：添加AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO， 在△AOD与△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（ASA）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：②． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答． 19．（2024•浙江）尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了！ （1）证明AF∥CE； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【点拨】（1）根据小明的作法知，CF＝AE，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形AFCE是平行四边形，根据“平行四边形的对边互相平行”即可得证； （2）以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意． 【解析】（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 又∵CF＝AE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF∥CE； （2）解：以A为圆心，EC为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意． 故小丽的作法有问题． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 20．（2025•金华模拟）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长． 【点拨】（1）根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）根据勾股定理得到BD＝＝＝4，连接AC交EF于O，求得DO＝OB＝BD＝2，根据平行四边形的性质得到EO＝OF＝EF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠ADB＝∠CBD． ∴∠ADE＝∠CBF． 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFBF． ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3， ∴BD＝＝＝4， 连接AC交EF于O， ∴DO＝OB＝BD＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴EO＝OF＝EF， 设DE＝BF＝x， ∴EF＝2x+4， ∵EF﹣AF＝2， ∴AF＝2x+2， ∵AF2＝AD2+DF2， ∴（2x+2）2＝32+（4+x）2， ∴x＝（负值舍去）， ∴DE的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE≌△CBF． 21．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 【点拨】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵BE＝EF， ∴S△ABE＝S△AEF＝2， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO， ∴△CFO的面积＝1． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22．（2025•丽水一模）小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＜BC．用直尺和圆规作DE⊥BC，交边BC于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连接DE，则DE⊥BC． 小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连接DE，则DE⊥BC． （1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法 　正确　 ；②小明的作法 　正确　 ． （2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 【点拨】（1）根据矩形的判定和性质判断即可； （2）证明四边形ABED是矩形可得结论． 【解析】解：小丽和小明的作法正确． 故答案为：正确，正确； （2）如图2中，∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BE，AD∥BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°， ∴DE⊥BC，故小丽的作法正确； 如图3中，连接AE，BD． ∵∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝BA，AE＝BD， ∴Rt△ABD≌Rt△BAE（HL）， ∴AD＝BE， 由上面的结论可知DE⊥BC． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 专项练习 1．（2025•贵州）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【点拨】证明△ABE是等边三角形，推出BE＝AB＝3可得结论． 【解析】解：∵AB＝AE，∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 2．（2025•安阳模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 【点拨】根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【解析】解：根据平行四边形的判定方法， A、∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD，推出AB∥CD，AD∥BC，则能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； B、AB＝BC，AD＝CD，不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题意； C、由∠BAC＝∠ACD，推出AB∥CD，又AB＝CD，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； D、AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．（2025•淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【点拨】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到∠2＝∠3，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：延长FA与直线b交于点H， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴∠2＝∠H， ∵a∥b， ∴∠3＝∠H， ∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°， 若∠1＝40°，则∠2的度数是20°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2025•湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【点拨】由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【解析】解：由题意A，C关于原点对称， ∵A（﹣1，2）， ∴C（1，﹣2）． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2025•邯山区一模）现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【点拨】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可． 【解析】解：乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD， ∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN， ∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN， ∴AB＝BM，CD＝DN， ∴BM＝DN， ∴AN＝CM，AN∥CM， ∴四边形ANCM是平行四边形； 甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴BM＝DN， ∴CM＝AN，CM∥AN， ∴四边形ANCM是平行四边形； 故选：C． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，作线段，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定并弄懂作图能使得哪些线段相等是解题的关键． 6．（2025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 【点拨】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，可得S△EGF＝S平行四边形ABGE，S△EHG＝S平行四边形DEGC，即可求解． 【解析】解：如图，连接EG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，G分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝DE＝BG＝CG， ∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形， ∴S△EGF＝S平行四边形ABGE，S△EHG＝S平行四边形DEGC， ∴四边形EFGH的面积＝S平行四边形ABCD， ∴四边形EFGH的面积是定值， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7．（2025•浙江模拟）如图，P为▱ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 【点拨】由平行四边形的性质得CD∥AB，AD∥BC，因为EF∥AB，GH∥BC，所以EF∥CD，GH∥AD，则四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，可证明△PFB≌△BGP，则S△PFB＝S△BGP，同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD，由S▱PFCH+S△PFB+SPHD＝S▱PEAG+S△BGP+S△DEP，得S▱PFCH＝S▱PEAG，则S△PFH＝S△APE＝2.5，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥BC， ∴EF∥CD，GH∥AD， ∴四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形， ∵PG＝BF，BG＝PF，PB＝BP， ∴△PFB≌△BGP（SSS）， ∴S△PFB＝S△BGP， 同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD， ∴S▱PFCH+S△PFB+SPHD＝S▱PEAG+S△BGP+S△DEP， ∴S▱PFCH＝S▱PEAG， ∴S▱PFCH＝S▱PEAG， ∵S△PFH＝S△CHP＝S▱PFCH，S△APE＝S△PAG＝S▱PEAG， ∴S△PFH＝S△APE＝2.5， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，并且推导出S▱PFCH＝S▱PEAG是解题的关键． 8．（2025•浙江模拟）如图，E是▱ABCD内一点，连接AE，BE，CE，DE，过点A作AF∥BE，过点D作DF∥CE交AF于点F．若▱ABCD的面积为24，则四边形AEDF的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【点拨】先证明△BCE≌△ADF可得S△BCE＝S△ADF，再进一步结合平行四边形的性质求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵AF∥BE， ∴∠EBA+∠BAF＝180°， ∴∠CBE+∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠BAD+∠DAF， ∴∠CBE＝∠DAF， 同理得∠BCE＝∠ADF， 在△BCE和△ADF中， ， ∴△BCE≌△ADF（ASA）， ∴S△BCE＝S△ADF， ∴S四边形AEDF＝S△BCE+S△ADE， 如图，过点E作AD的垂线，分别交AD，BC于点P，Q， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴PQ⊥BC， ∵▱ABCD的面积为24， ∴ ＝ ＝ ＝12． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2025•永嘉县三模）内角和是外角和的2倍的多边形是 　六　 边形． 【点拨】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题． 【解析】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍， 则内角和是720度， 720÷180+2＝6， ∴这个多边形的边数为6． 故答案为：六． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 10．（2025•定海区三模）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，DE⊥AC于点E，若∠B＝70°，则∠ADE＝ 　50　 °． 【点拨】由等腰三角形的性质推出∠BAC＝∠B＝70°，由三角形内角和定理求出∠ACB＝40°，由平行四边形的性质推出AD∥BC，得到∠DAE＝∠ACB＝40°，由直角三角形的性质即可求出∠ADE的度数． 【解析】解：∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACB＝40°， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°． 故答案为：50． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质求出∠ACB的度数，由平行四边形的性质推出AD∥BC． 11．（2025•牡丹江模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F在BD上，AE∥CF，AE＝CF，请你添加一个条件BE＝DF（答案不唯一）　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 【点拨】先判定四边形AECF是平行四边形，求得OA＝OC，OE＝OF，当添加BE＝DF时，得到OB＝OD，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形ABCD是平行四边形． 【解析】解：添加BE＝DF， 连接AF，CE，AC，AC与BD交于点O， ∵AE∥CF，AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OC，OE＝OF， ∵BE＝DF， ∴BE+OE＝DF+OF，即OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：BE＝DF（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解题的关键． 12．（2025•永嘉县三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，点P从点A出发向点B运动，O为平行四边形的中心，射线PO和CD相交于点Q，若，S△OCQ＝3，则四边形ABCD的面积为 　60　 ． 【点拨】连接DO，由得，所以S△ODQ＝4S△OCQ＝12，S△OCD＝S△ODQ+S△OCQ＝15，由平行四边形的性质得OB＝OD，所以S△OBC＝S△OCD＝15，S△BCD＝S△OCD+S△OBC＝30，最后根据SABCD＝2S△BCD，即可求解． 【解析】解：如图，连接DO， ∵四边形ABCD是关于点Q的中心对称，PQ为过中心O的线段， ∴AP＝CQ，DQ＝BP， ∵， ∴， ∴S△ODQ＝4S△OCQ＝12， ∴S△OCD＝S△ODQ+S△OCQ＝15， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD，B、D、O三点在同一直线上， ∴S△OBC＝S△OCD＝15， ∴S△BCD＝S△OCD+S△OBC＝30， ∴SABCD＝2S△BCD＝60， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 13．（2025•无锡一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD．求证： （1）△AEB≌△DFC； （2）四边形BECF是平行四边形． 【点拨】（1）利用SAS证明三角形全等即可； （2）证明EB＝CF，EB∥CF即可． 【解析】证明：（1）∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， 在△AEB和△DFC中， ， ∴△AEB≌△DFC（SAS）； （2）∵△AEB≌△DFC， ∴EB＝CF．∠ABE＝∠DCF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴EB∥CF， ∴四边形BECF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定，全等三角形的判定． 14．（2025•台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE． （1）求证：； （2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长． 【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出OB＝OD，可推出OE是三角形DBC的中位线，即可得出结论； （2）根据，AB＝2，推出BC的长，再结合（1）的结论即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 又∵点E是CD的中点， ∴OE是三角形DBC的中位线， ∴； （2）解：∵∠BAC＝90°，，AB＝2， ∴， ∴BC＝， ∴OE＝． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键． 15．（2025•杭州模拟）在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形． 【点拨】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF； （2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴DE＝BF； （2）解：∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键． 16．（2024•拱墅区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4，求BD的长． 【点拨】（1）根据ASA证明△ADE与△BCE全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出BC＝3，进而利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCE， 在△DAE与△BCE中， ， ∴△DAE≌△BCE（ASA）， ∴BE＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BE＝DE，CE＝AE＝2， ∵AC⊥BC，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝， ∴BE＝， ∴BD＝2BE＝2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质与判定，关键根据ASA证明△ADE与△BCE全等解答． 17．（2025•杭州模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边BC上，连接DE，DE＝AD，点F在DE上，连接AF，AF＝CD，且∠AFE＝∠ADC． （1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）如图2，连接AE，若BE＝CE，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中面积等于△ADE面积一半的所有三角形． 【点拨】（1）先得到∠DAF＝∠EDC，证明△ADF≌△DEC，进而得到AD∥BC，即可证明四边形ABCD是平行四边形； （2）先根据平行四边形的性质，再根据BE＝CE得到S△AEB＝S△DEC，即可得到S△AEB＝S△DEC＝S△ADF＝S△AEF，即可作答． 【解析】（1）证明：由条件可知∠DAF＝∠EDC． ∵AD＝DE，AF＝CD， ∴△ADF≌△DEC（SAS）． ∴∠ADF＝∠DEC． ∴AD∥BC． ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：由条件可知， ∵BE＝CE， ∴S△AEB＝S△DEC， ∵△ADF≌△DEC， ∴S△AEB＝S△DEC＝S△ADF， ∴S△AEB＝S△DEC＝S△ADF＝S△AEF； 即面积等于△ADE面积一半的所有三角形为△ABE，△DCE，△AEF，△ADF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 第四章 三角形及四边形 4.5多边形与平行四边形 知识梳理 多边形 定义 在同一平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．[ 对角线 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为． 内角和 n边形的内角和为 外角和 n边形外角和为 正多边形 定义 在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形. 内角 外角 正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 对称性 （1）正n边形有 对称轴. （2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 性质 （1）平行四边形的对边 ，即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）平行四边形的对角 ，即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC . （3）平行四边形的对角线 ，即OA＝OC，OB＝OD .  判定 （1） 的四边形是平行四边形； 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形. （2） 的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形. （3） 的四边形是平行四边形； 即若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形. （4） 的四边形是平行四边形； 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形. （5） 的四边形是平行四边形； 即若AB＝CD，AB∥CD（或AD=BC，AD∥BC），则四边形ABCD是平行四边形. 例题讲解 【题型一】多边形的有关计算 【例1.1】（2024•台州一模）一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是（　　） A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 【例1.2】（2025•凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（　　）条对角线． A．6 B．7 C．8 D．9 【例1.3】（2025•定海区模拟）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 【题型二】平行四边形的性质 【例2.1】（2025•温州模拟）如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）当∠BAF＝90°，CD＝6，AD＝5时，求AF的长． 【例2.2】（2025•杭州二模）问题：如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF．若____，求证：BE＝DF． 在①AE＝CF，②∠ABE＝∠CDF，③∠BEC＝∠DFA这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答． 【例2.3】（2025•西湖区模拟）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作∠DCB的平分线交DE于F，且DE＝CD，若DF＝6，AE＝9，则BE的长为　　 ． 【例2.4】（2025•杭州二模）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，AF⊥BD，AE＝2AF，．记BE长为x，BO长为y（x≠0，y≠0）．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．xy B． C．x2﹣y2 D．x2+y2 【题型三】平行四边形的判定 【例3.1】（2022•余杭区一模）在①AO＝CO，②BO＝OD，③∠BAD＝∠BCD这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，若 　　 ．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【例3.2】（2025•鸡西一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件 　 ，使得四边形ABCD成为平行四边形（填一个即可）． 【例3.3】（2025•武安市二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴正半轴上，且OA＝1，点B在y轴负半轴上，且OB＝2．若点C（﹣1，3），D是象限内的一点，则使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标为（　　） A．（0，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，1） D．（2，﹣5）或 （﹣2，1） 【题型四】平行四边形的性质与判定综合 【例4.1】（2025•萧山区二模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC＝2BD＝8，求四边形ABCD的面积． 【例4.2】（2025•嘉善县一模）如图，BD是△ABC的中线，点E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD．求证： （1）BF∥CD； （2）AB与FD互相平分． 【例4.3】（2024•温州三模）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点P，AB⊥AC，垂足为A，过D作DE⊥AC于E，并延长交BC于点F，连接BE，若AB＝DE，∠ABE＝∠ACD． （1）求证：四边形ABED是平行四边形； （2）若AD＝5，DE＝3时， ①求EF的长； ②求△BEF的面积． 真题在线 1．（2025•浙江模拟）如图所示窗框的形状是正六边形，正六边形的一个内角的度数为（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 2．（2025•景宁县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，其对角线AC，BD相交于点O，下列结论不成立的是（　　） A．AO＝CO B．AD∥BC C．AB＝CD D．AC⊥BD 3．（2025•上虞区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠ACB＝（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 4．（2022•舟山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（　　） A．32 B．24 C．16 D．8 5．（2025•黄岩区二模）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（　　） A．88° B．87° C．86° D．85° 6．（2025•定海区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，2）．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（　　） A．（3，2） B． C．（4，2） D．（5，2） 7．（2025•浙江模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AO＝2，则AB的长为（　　） A． B．2 C． D．2 8．（2023•舟山一模）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 9．（2024•柯桥区模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 10．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 11．（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为 　　 ． 12．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　　 ． 13．（2025•椒江区二模）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（1，1），B（3，1），C（x，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝ 　　 ． 14．（2025•绍兴二模）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，△CEF的面积为2，则△ABE的面积为　　 ． 15．（2024•浙江模拟）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝4，D是AB的中点，则CD的长为 　　 ． 16．（2022•钱塘区二模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BF⊥CD，已知BF＝8，EF＝5，则▱ABCD的周长为 　　 ． 17．（2025•宁波三模）已知：如图，AC是▱ABCD的一条对角线．延长AC至点F，反向延长AC至点E，使得AE＝CF． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若∠DAC＝35°，∠F＝15°，求∠EDA的度数． 18．（2022•滨江区二模）在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，若 　　 （请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形． 19．（2024•浙江）尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点． 小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦…我明白了！ （1）证明AF∥CE； （2）指出小丽作法中存在的问题． 20．（2025•金华模拟）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长． 21．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 22．（2025•丽水一模）小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＜BC．用直尺和圆规作DE⊥BC，交边BC于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连接DE，则DE⊥BC． 小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连接DE，则DE⊥BC． （1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法 　 　 ；②小明的作法 　 　 ． （2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 专项练习 1．（2025•贵州）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025•安阳模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD B．AB＝BC，AD＝CD C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AO＝CO，BO＝DO 3．（2025•淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 4．（2025•湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 5．（2025•邯山区一模）现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 6．（2025•安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 7．（2025•浙江模拟）如图，P为▱ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　） A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25 8．（2025•浙江模拟）如图，E是▱ABCD内一点，连接AE，BE，CE，DE，过点A作AF∥BE，过点D作DF∥CE交AF于点F．若▱ABCD的面积为24，则四边形AEDF的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 9．（2025•永嘉县三模）内角和是外角和的2倍的多边形是 　 　 边形． 10．（2025•定海区三模）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，DE⊥AC于点E，若∠B＝70°，则∠ADE＝ 　 　 °． 11．（2025•牡丹江模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F在BD上，AE∥CF，AE＝CF，请你添加一个条件 　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 12．（2025•永嘉县三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，点P从点A出发向点B运动，O为平行四边形的中心，射线PO和CD相交于点Q，若，S△OCQ＝3，则四边形ABCD的面积为 　　 ． 13．（2025•无锡一模）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD．求证： （1）△AEB≌△DFC； （2）四边形BECF是平行四边形． 14．（2025•台州一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E为CD中点，连接OE． （1）求证：； （2）若∠BAC＝90°，，AB＝2，求OE的长． 15．（2025•杭州模拟）在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形． 16．（2024•拱墅区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC⊥BC，已知AB＝5，AC＝4，求BD的长． 17．（2025•杭州模拟）在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边BC上，连接DE，DE＝AD，点F在DE上，连接AF，AF＝CD，且∠AFE＝∠ADC． （1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）如图2，连接AE，若BE＝CE，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中面积等于△ADE面积一半的所有三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $