广东广州市2025-2026学年第一学期诊断练习高二数学（B卷）

题号12 345 67 8 9 10 11 答案 D AB B A D A BD BCD ACD 12.4 4-n,64 13. 14.1-5,1+5 15. 解：(1)设圆心C为a,0) ………1分 根据圆的性质，则AC=BC,即Va+12=Va-22+93分 解得a=2 …4分 可得AC=Va+12=3 …5分 所以圆C的方程为(x-22+y2=9 …6分 13 思路二：由题可知 …1分 AB 的中点为2’2 -3-0 =-1 2-(-1 …2分 3 1 的中垂线方程为y+ AB 2=x- 2,即y=x-2 …3分 易知该直线与x轴的交点为(2,0) 由题可知圆心C为(2,0) …4分 可得AC=V-1-22=3 …5分 所以圆C的方程为x-22+y2=9 …6分 (2)由(1)问可知对称圆的半径为3 …7分 设对称圆的圆心为xoyo】 …8分 x+2_y0+1=0 2 2 由题可知 解得( yo-=-1 ,=-1 …12分 七-2 %=3 可得，所求圆的方程为x+2+(y-3)2=9 …13分 16. 解：(1)当n=1时，3S+a2=1,即3a+a2=1 …2分 当n≥2时，由3Sn+a1=1可得3Sn1+an=1 ………3分 两式相减：3(Sn-Sm-1)+an+1-an=0 …4分 即3an+an+1-an=0,则an1=-2am …5分 由于{an}是等比数列，所以公比为-2 ………6分 将a2=-2a1,代入3a1+a2=1,可得a1=1 …7分 所以{an}的通项公式为an=(-2 …8分 思路二：当n=1时，3S,+a2=1,即3a,+a2=1 …2分 当n=2时，3S2+43=1,即3a1+3a2+a=1 …4分 两式相减，得：2a2+a43=0,即a3=-2a2 …5分 由于{an}是等比数列，所以公比为-2 ……6分 将，=-2a,代入3a+a,=1,可得4=1 ………7分 所以{an}的通项公式为an=(-2”- …8分 (2)由(1)可知bn=(-1)”-nan=(-1)"-n(-2)-1=n2-1 …9分 Tn=6+b2+b3++b1+b =12°+2·2+3.22+…+n-12"-2+n-2m- …10分 2Tn=1.2+2.22+3.23+…+n-12"-+n2” …11分 两式相减，得： -Tn=12°+2+22+…+2"-1-n2" …12分 1-2" 12-n20 …13分 =(1-n2"-1 …14分 所以Tn=(n-12"+1 …15分 17. a2-2 [a2=4 解： 1》由题可知口办=1，解特公= …3分 所以，椭圆的方程为43 …4分 (1)设C,D两点分别为x,y),(x2,y2 记ArCD的面积Srr-,-以 …5分 由题可知F-10,当k=2时，直线，的方程为x-2y+1=0 …6分 （x+y-1 联立方程组 43 ，消去，得 x-2y+1=0x16y2-12y-9=0 那么片+乃16=-9 12 16 …7分 3V5 所以A5,CD的面积S=以-y=V+P-4y,= …9分 4 (3)设直线1的方程为y=x+),则E0,k …10分 [x2,y2 =1 联立方程组 43,消去，得 y=k(x+1y(3+4k2x2+8k2x+4k2+2=0 8k2 4k2-12 那么+=34，=3+4 …12分 由FC=DE，可得x+1y)=(-2,k-y2) …13分 8k2 那么由x1+x2=-1= 3+4k2, ……14分 解得k= 2 …15分 18. (1)证明：连接BD,交AC于O,连接FO 因为底面ABCD是矩形，所以O是BD的中点 …1分 易知FO为三角形DPB的中位线，则FO∥PB…2分 又因为PB丈平面AFC,FOC平面AFC …3分 所以PB∥平面AFC. …4分 (2)在侧面PAD内，过点A作AZ⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD 所以AZ⊥底面ABCD,则AZ上AB,又因为底面ABCD是矩形，所以 AB⊥AD.…5分 如图所示，以点A为原点，建立空间直角坐标系。 …6分 易知P-1,03,B0,10,D2,00,C21,0,Ea,0,0 …7分 (I)由题可知BE=(a,-1,0,PC=31,-√3 …8分 若BE1PC,则BE.P元=3a-l=0'解得Q 3 …9分 (IⅡ)由(1)可知，四棱锥B-PAEF的高为BA=1. 则，当底面四边形PAEF的面积最小，即三角形DEF的面积最大时，四棱锥B-PAEF 的体积最小 …11分 因为SADEF= ax2-a小xsm∠rDE=442-adl …12分 所以，当a=1时，四棱锥B-PAEF的体积最小，此时E1,0,0)…13分 所以EC=11,0,PD=3,0,-3,DC=(0,10 设平面PDC的法向量为n=(x,1,z1) PD.n=0 则 j3x-V3=0,取 0cA-0即A-0 …14 分 设平面PEC的法向量为m=(x2,y2,22) PC.m=0 则 3x,+片-V5z,=0,取 即 ,则 EC.m=0 x2+3=0 2=23x32=3,y2=-3 所以m=3,-3,23 …15分 可得cos(m,n)= mn3√30 20 …16分 所以，平面PEC 与平面PDC的夹角余弦值 3W30 ……17分 20 19. x-22+y=N2 解：(1)由题可知 x-1 …2分 化简整理得x2-y2=2 …4分 (2)(I)由题可知，点P在曲线C上，则点P都在曲线C上 x,2-y2=2 则有 -ym=2 …5分 可得x2-x2=y,2-yn2，即(kn-x4儿x+x=yn-y(y.+y-①式 …6分 由装可知Ql-n小直线Pe.的条率为-号 所以 Xn+xn+ 一一②式 …7分 1 因此，①式整理得x。-x1=2少+ -—③式 …8分 ②③两式相加，可得xn+1+yn+1=3xn+yn】 …10分 所以数列{xn+yn}是首项为-1，公比为3的等比数列. ()由()可知x+yn=-3” …11分 图为g-2:所以长北=名 ……12分 23时，31 3-11 故Xn=一 -2+3 …13分 2-g】 0以+3+T33 2 +32+3+23 …15分 -13 对任意正整数，P,P= P,即pPg/pP2 …17分 n 3 所以Sn=S1. (高二选做题15分) 【详解】(1)过C作CG1D交AD于G,则2D c-音，AB=cc=cD=2。 AD=DC+AC=DC +BC=2+1=3 则 B MH=MG=1.∠CMH=∠DMG=45°， ..DG=HC=1 AG=2 过点M作GH的垂线，交圆M于J,K两点，过点I作N上K交K于点N, 又PI⊥圆面M,Kc圆面M,INc圆面M, .PI⊥JKJK⊥N .PI∩N=PI,INC PIN 平面 ∴.JK⊥PW 平面 PNC PIN∴.PW⊥JK 平面， .∠PNI M 为椭圆面与圆所在平面的夹角，即为椭圆面与底面所成的角， .∠PN=45° △PWI PI=IN ,则为等腰直角三角形， 设109=g 如图2，作圆M所在平面的俯视图，则∠GM=日， 由GH⊥KJ,N⊥JK,得GH/IN,则∠NM=∠GMI=6,得N=Mcos0=cos8, .'PP=PI+IP=PI+IN=2+cos0 M H ---N 图2 -5,则E,R=2+cosE,乃=2+c0s 82红，E,F=2+c0s 3π 4π 5 .EF,=2+cos 5 元2元。3π。4π (EF-2)EF-2)EF3-2)(E,F3-2)=cos cos -cos- -cos- 5 5 5 5 Sin 2n 4π sin sin Gat 8π 5-× 5 sin =5x 2sinr2sin2π2sin3n 5 5 2sin 41, 516 综上所述， (E5-2(,5-2E,-2(ER-2= 162025学年第一学期诊断练习 高二数学(B卷) 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用，黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂，黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答紫必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.己知空间向量m=(2,-1,1),n=(4,-2,x),若m/∥n,则x= A.-5 B.-3 C.2 D.4 2已知双曲线C的一条渐近线的斜率为}，且焦点在x轴上，则C的离心率为 5 B. C v6 D. 2 4 2 2 3.已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1，以A为原点， 4B,AD,AA为单位正交基底， 建立空间直角坐标系，则平面ABD的一个法向量是 A.(1,l,1 B.（1,1,-1) C.1,-1,1 D.（-1,L,1 4.已知直线mx+y+1=0与圆C:x2+y2=1有两个公共点，若点P的坐标为m,),则 A.点P在圆C上 B.点P在圆C外 C.点P在圆C内 D.以上皆有可能 5.我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳 马，一为整需阳马居二，整膈居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D 斜解得到堑堵AA,B-DDC,则直线AB,到平面DA,C的距离为 1 2 B.V3 c v2 D V3 3 2 6.数列{a}满足a,=2,a1=man+(3-m)(n∈N°，m∈R)，则“m=3”是“数列 {an}成等比数列”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知数列{a},对任意的n∈N°，满足圆x2+y2-2anx-2an+1y=0与圆 x2+y2-2x-2y-2=0的公共弦长为4.记数列{a}的前n项和为Sn,则S26= A.6078 B.5065 C.4052 D.3039 8.在三棱锥P-ABC中，面PAC⊥面ABC,且AC=6,PA+PC=6V2, AB=2BC,则三棱锥P-ABC体积的最大值为 A.12 B.122 C.24 D.24V2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分 9.已知数列{an}是公比为9的等比数列，且42=2，a4=8,则 A.q=2 B.a6=32 C.an=2-1 D.a2n=22m-1 10.已知圆C:(x-a)2+y2=1,直线：x-y+2=0,记直线1与y轴交点为A,则 A若直线l与圆C相切，则a=V2-2 B.若直线l被圆C截得的弦长为2，则a=-2 C.不存在α，使圆C上有三个点到直线l的距离都为1 D.由点A向圆C作切线，则切线长的最小值为√3 11.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点P满足BP=2BC+HBB,,其中 2∈[0,1]，u∈[0,1，则 A.若入=I,则平面ABP⊥平面BAD,C B若=2，有且仅有一个点P,使得4C⊥平面ABP C.若u=元，则异面直线D,P和AB所成角的取值范围是 ππ 42 D若AP与平面B8CC所成角为子则动点P的轨凌长为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的 距离为6，则p= 13.已知等差数列{an}共有10项，前三项的和为6，后3项的和为-15，则{a}的通项公式 am=_;记c,=2“r,则CC2…Cn的最大值为 14.已知点Mx,2-x0),若圆x2+y2=2上存在两点A,B,使得∠AMB=60°，则x的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知圆C经过A-1,0,B(2,-3)两点，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的方程； (2)求与圆C关于直线1：x-y+1=0对称的圆的方程. 16.(15分)记S为等比数列{an}的前n项和，已知3Sn+a+1=1. (1)求{4n}的通项公式： (2)设bn=(-1)”-nan,求数列{bn}的前n项和Tn 17.(15分)已知椭圆 ，y2 =1(a>b>0)的离心率为，左右焦点分别为F,F, 2 FF=2过点F,且斜率为k的直线1与y轴相交于点E,与椭圆相交于C,D两点。 (1)求椭圆的方程： 2)当k-求△ECD的面积 (3)若FC=DE,求k的值 18.(I7分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD ,E,F分别是棱AD,PD上的动点 (1)当F是棱PD的中点，证明：PB∥平面AFC; (2)当∠PAD=120°，PA=AD=2AB=2,且AE=DF=a. (I)若BE⊥PC,求a的值； (Ⅱ)当四棱锥B-PAEF的体积最小时，求平面PEC与 A -E D 平面PDC的夹角余弦值. 19.(17分)己知动点Px,y)与定点2,0)的距离和它到定直线1：x=1的距离的比是常数 √2，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. 3 (2)已知点P的坐标为 22 按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3·):过P-1作斜 率为-。的直线与曲线C的右支交于点Q1,令P为Q,1关于y轴的对称点记P的坐标为 (xy) (I)证明：数列{x+yn}是等比数列： (I)设Sn为△PnPn+Pn+2的面积，证明：对任意正整数n,Sn=S+1 (高二选做题15分) 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称 之为“斜截圆柱”.AB是底面圆O的直径，AB=2BC=2,椭圆所在平面垂直于平面ABCD,且 与底面所成的二面角的大小为45°，椭圆上的点E,(i=1,2,3,4)在底面上的投影分别为点F,且 点F均在直径AB的同一侧若点F,F,F,F将半圆均分成5等份.(15分) 求：（EF-2E2F-2)EF-2EF4-2) D E E B FE F