精品解析：安徽芜湖市2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监控 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、C、D是轴对称图形，选项B不是轴对称图形． 故选B． 2. 小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。已知两边为和，第三边c需满足，解得，检查选项，只有C满足条件，即可作答． 【详解】解：设第三边为， ∵两根、的木棒， ∴， 解得， 四个选项，唯有在这个范围内， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、 ，原计算错误，该选项不符合题意； B、 ，原计算错误，该选项不符合题意； C、 ，原计算错误，该选项不符合题意； D、 ，原计算正确，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，单项式乘单项式法则是解题的关键． 4. 已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的性质，正确得出，的值是解题的关键． 直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，再利用有理数的加法运算法则求出答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故选A． 5. 若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或70° D. 40°或100° 【答案】D 【解析】 【分析】先分情况讨论：若顶角的外角等于140°；若底角的外角等于140°，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理求顶角． 【详解】当这个内角为顶角时，则顶角为40°， 当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°−40°−40°=100°， 故选D. 【点睛】本题主要考查了外角的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和的相关知识，进行分类讨论是解题的关键. 6. 八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：C． 7. 甲乙两人同时从地出发，骑自行车到地，已知，两地距离为，甲每小时比乙多走，并且比乙先到分钟，设乙每小时走，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分钟＝小时，利用两人的速度及行驶的时间差别得出等式方程即可． 【详解】解：设乙每小时走，则甲每小时走， 由题意可列方程为：． 故选． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用甲比乙先到分钟得出等式方程． 8. 如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同的方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 将左右两边图形阴影部分面积表示出来，根据阴影面积相等即可作答． 【详解】解：左图可得阴影部分面积为：， 右图可得阴影部分面积为：， 所以， 故选D． 9. 如图，在中，，是的平分线交于，若，则的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点到的距离等于的长度，再代入三角形面积公式求解． 【详解】解：如图．过点作于点. ∵平分，即，， ∴； ∴； 故选：A． 10. 如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，使，连接， ∵， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 连接交于， 在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ， 在和中， ， ， ， 过点作于， ， ， 的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 要使分式有意义，则应满足条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是明确分式有意义的条件为分母不为零，据此列出不等式求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母不能为0，即；解得； 故答案为：． 12. 若，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，关键是将代数式利用完全平方公式变形为，再代入数值计算． 【详解】解：先对代数式变形，； 将，代入，得； 因此； 故答案为：． 13. 如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为__________． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余和三角形的外角性质，先拆分为与的和，再结合已知的两组角度关系、，代入求和即可得到结果． 【详解】解：如图，点是延长线上一点，则． 由图可知，，即； 在中，. ， ∴； 故答案为：． 14. 中，是角平分线，，是延长线上一点，，连接，于，若的面积是8， （1）若，则__________． （2）则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形面积的计算． （1）过点作，利用角平分线的性质得到，结合与求出的值，再根据计算的面积； （2）先通过角的关系证明，结合角平分线证明，从而推出，再利用三角形面积关系求出与的值，最后计算差值． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵是角平分线，，， ∴． ∵，， ∴，即． 又∵， ∴； 故答案为：； （2）解：如图，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴，，，且． ∵，， ∴，即． ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 由（1）得，且， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，得 ． 解得． 经检验，是原方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格的格点上，其坐标分别为：． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）分别写出点、关于轴的对称点，的坐标__________；__________． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点、、关于轴的对称点，然后即可求解； （2）根据点的坐标关于轴对称的特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点、关于轴的对称点分别为． 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点D，∠A=126°，∠DEB=14°，求∠BEC的度数． 【答案】140° 【解析】 【分析】根据平行线性质得出∠CBE＝14°，求出∠ABE＝14°，根据三角形外角性质得出∠BEC＝∠A＋∠ABE，代入求出即可． 【详解】∵BE是∠CBA的平分线， ∴∠CBE=∠EBD, ∵DE∥BC, ∴∠DEB=∠CBE, ∴∠DEB=∠EBD=14° ∴∠BEC=∠A＋∠CBA=140°． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度适中． 18. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，BP平分∠ABC．过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，交AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AN＝PC，求证：AP＝AM． 【答案】 证明：∵BP平分∠ABC，∠ACB＝90°，PQ⊥AB， ∴∠PQA=90°，PQ=PC，又AN=PC， ∴PQ=AN， ∵，∠ACB＝90°， ∴∠MNC=∠ACB=90°，即∠PQA=∠ANM=90°， ∴∠AMN+∠MAN=90°， ∵MA⊥AB， ∴∠PAQ+∠MAN=90°， ∴∠PAQ=∠AMN， 在△AQP和△MNA中， ， ∴△AQP≌△MNA（AAS）， ∴AP=AM． 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理证得PQ=PC，则PQ=AN，根据平行线的性质和等角的余角相等证得∠PAQ=∠AMN，根据全等三角形的判定与性质证明△AQP≌△MNA即可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、平行线的性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形分别为边长为和的正方形，四边形和四边形为长方形，且长方形的面积为192． （1）则__________（用含的式子表示），__________（用含的式子表示）． （2）求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是利用正方形边长相等建立等式，结合长方形面积公式求解． （1）根据线段的和差关系，结合正方形的边长特征，直接用、表示和； （2）先由正方形边长相等得到与的差，再结合长方形面积得到的值，最后用完全平方公式计算面积和． 【小问1详解】 解：∵四边形是边长为的正方形， ∴， 又， ∴； ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 又， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵正方形中， ∴，即； ∵长方形的面积为，且，， ∴； 正方形和的面积和为； 代入，，得． 答：正方形和正方形的面积和为． 20. 定义，如．已知（为常数），． （1）若，求的值； （2）若中的满足，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，同底数幂相乘，正确理解题意列出式子是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可解答； （2）根据，求得，再求得，根据题意列出式子，整体代入即可解答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 如图1所示，点位于等边的内部，且． （1）的度数为__________； （2）如图2所示，延长至点，使得，连接．试证明：； （3）在（2）的条件下，若的长为2，求四边形的面积． 【答案】（1）120； （2） 证明：在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线． （1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； （2）证明，可得，即可解答； （3）作于点，延长线于点，利用角平分线的定理可得，求得，结合即可解答． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，作于点，延长线于点， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 又由（2）得，， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 【答案】（1）②25；③；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）②； 观察，得， 则， ∴ ， ； 故答案为：25；． （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得． （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律可得． 八、（本题满分14分） 23. 已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． （1）如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） （2）如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； （3）如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） 解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，利用角平分线性质得，结合推出，证明，从而得； （2）过点作于，先证得，再证得，通过线段和差推导； （3）在上截取，连接，先证，再结合角平分线性质得平分，计算角度得，证)，从而得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及线段的和差转化，属于几何综合题，重点考查辅助线的构造与全等模型的应用． （1）角平分线的是构造全等的基础，通过作垂线或截取线段，能快速得到全等所需的边、角条件． （2）多次全等的递进推导，是实现线段转化和角度计算的关键，尤其在第（2）（3）问中，需要通过多步全等完成复杂的数量关系推导． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监控 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明有两根、的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（  ） A. B. C. D. 4. 已知点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或70° D. 40°或100° 6. 八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 7. 甲乙两人同时从地出发，骑自行车到地，已知，两地距离为，甲每小时比乙多走，并且比乙先到分钟，设乙每小时走，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的平分线交于，若，则的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 14 D. 16 10. 如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 要使分式有意义，则应满足条件__________． 12. 若，则__________． 13. 如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为__________． 14. 中，是角平分线，，是延长线上一点，，连接，于，若的面积是8， （1）若，则__________． （2）则__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格的格点上，其坐标分别为：． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）分别写出点、关于轴的对称点，的坐标__________；__________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点D，∠A=126°，∠DEB=14°，求∠BEC的度数． 18. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，BP平分∠ABC．过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，交AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AN＝PC，求证：AP＝AM． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形分别为边长为和的正方形，四边形和四边形为长方形，且长方形的面积为192． （1）则__________（用含的式子表示），__________（用含的式子表示）． （2）求正方形和正方形的面积和． 20. 定义，如．已知（为常数），． （1）若，求的值； （2）若中的满足，且，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 如图1所示，点位于等边的内部，且． （1）的度数为__________； （2）如图2所示，延长至点，使得，连接．试证明：； （3）在（2）的条件下，若的长为2，求四边形的面积． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 八、（本题满分14分） 23. 已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． （1）如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） （2）如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； （3）如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $