第八章整式乘法与因式分解单元测评卷2025-2026学年沪科版数学七年级下册

2025-2026学年沪科版数学七下第八章整式乘法与因式分解单元测评卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算不正确的是（    ） B． C． D． 5．若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 6．用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 9．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．有两个正方形，现将放在的内部如图①，将并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为（   ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．和的公因式是 ． 12．已知，．则式子 ． 13．若，，则 ． 14．观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为 ． 三.（本题共16分） 15．计算： (1)； (2)． 16．分解因式： (1)； (2)． 四.（本题共16分） 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知m﹣n＝6，mn＝4． (1)求m2+n2的值． (2)求（m+2）（n﹣2）的值． 五.（本题共20分） 19．已知，化简：． 20．（1）计算：． （2）若，，求的值． 六.（本题共12分） 21．定义一种新的运算，观察下列各式： ；；；． (1)根据你观察到的规律，计算：__________； (2)若，请计算的值． 七.（本题共12分） 22．如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 八.（本题共14分） 23．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A选项：，不能用平方差公式计算； B选项：，不能用平方差公式计算； C选项：，可以用平方差公式计算； D选项：，不能用平方差公式计算. 故选：C． 2．B 【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】A、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、符合因式分解的定义，故本选项正确； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； D、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：A. ，A选项运算错误，不符合题意； B. ，B选项运算错误，不符合题意； C. ，运算正确，符合题意； D. ，D选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查指数运算的基本规则；根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项以及积的乘方的性质，逐一验证各选项. 【详解】对于选项A: ∵ ，∴ 正确； 对于选项B: ∵ ，∴ 正确； 对于选项C: ∵ ，∴ 不正确； 对于选项D: ∵ ，∴ 正确； 故选：C. 5．B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了多项式的乘法． 先计算，再根据结果不含项计算即可． 【详解】 ， ∵的结果不含项， ∴， 即． 故选：D． 8．D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 9．B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是正确掌握相关计算法则． 根据相关计算法则逐项求解判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，C选项计算错误，不符合题意； D、，D选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查完全平方公式，设正方形A、B的边长分别为x，y，根据题意列方程组，结合完全平方公式再变形即可得答案； 【详解】解：设A的边长为x，B的边长为y， 由图①和图②中阴影部分的面积分别为和， 可列方程组， 将②化简得③， 由①得 将③代入可得． 则正方形的面积之和为3.5； 故选：B． 11． 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．根据公因式的确定方法找出公因式即可． 【详解】解：和的公因式是， 故答案为：． 12． 【分析】已知，可对其两边同时平方得到的值，再根据完全平方公式展开，然后将代入展开式，通过计算即可求出的值．本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ， 解得． 故答案为：． 13．72 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则． 先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了因式分解，整式的变化规律； 观察已知等式可知：因式分解的结果第一个因式为，第二个因式中x的次数从依次递减到0． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可 （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解决问题的关键． 16．(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）直接利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 17．， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，代数式的化简求值，涉及多项式乘除法、分式运算和负整数指数幂、零指数幂的计算． 先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 18．(1)44 (2)-12 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得； （2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算． 【详解】（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44； （2）∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴（m+2）（n﹣2） =mn-2m+2n-4 =mn-2（m-n）-4 =4-2×6-4 =-12． 【点睛】此题考查了利用完全平方公式的变形计算，多项式乘以多项式计算法则，正确掌握各计算法则和公式是解题的关键． 19． 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 ． 20．（1）；（2）294 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义理解，观察式子总结出规律是解决本题的关键；本题规律为：“第1个数”加“第2个数的3倍”，根据规律求解即可． （1）根据规律计算即可； （2）先根据可得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）观察新运算的规律，得， 因为， 所以， 化简，得， 所以． 22．(1)； (2)阴影部分的面积为； (3)． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、代数式求值、完全平方公式在几何图形中的应用等知识，解题关键是通过观察图形找出各图形之间的面积关系． （1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为，宽为，那么图中的阴影部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽； （2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图中阴影部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积； （3）通过观察图形知，、、分别表示的是大正方形、阴影部分的正方形及个小长方形的面积． 【详解】（1）解：依题意得，分成长方形后，每个小长方形的长为，宽为， 则图的阴影部分的边长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的边长， 大正方形的面积， 又个小长方形的面积之和大长方形的面积， 阴影部分的面积为； （3）解：由图可以看出，大正方形面积阴影部分的正方形的面积四个小长方形的面积， 即， 故答案为：． 23．(1) (2)22 (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键． （1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可； （4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $