专题11平行四边形寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题11平行四边形寒假预习讲义（2） ✅ 吃透中位线，秒辨中线 / 中位线，定理双结论秒用不丢分 ✅ 玩转多边形公式，内角和 / 外角和计算一步到位不出错 ✅ 解锁几何图形解题思路，轻松搞定平行、倍分、边长周长计算 ✅ 避开高频易错坑，预习完就能上手基础题型，开学领先一步 预习必备 知识点梳理 1.三角形的中位线 2.多边形外角和与内角和 3.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.三角形中位线的计算问题 2.三角形中位线的证明问题 3.三角形中位线的实际应用 4.多边形内角和的基本问题 5.正多边形的内角性质探究 6.多边形内角和的增减角问题 7.多边形截角后的内角和计算 8.复杂图形的内角和求解 9.多边形的外角性质探究 10.多边形外角和的实际应用 11.多边形内外角和综合应用 12.平面镶嵌的原理与应用 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.三角形的中位线】 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 ▶ 注：一个三角形有3 条中位线，中位线与中线不同（中线连接顶点和对边中点）。 2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 ▶ 几何语言：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点则 DE∥BC，且DE=BC。 3. 定理的核心推论与应用 推论 1：三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形，每个小三角形的边长是原三角形的，面积是原三角形的​。 推论 2：三角形的三条中位线围成的三角形，周长是原三角形周长的​。 实际应用：中位线定理是证明线段平行和线段倍分关系的重要依据，也可用于求解线段长度、三角形边长 / 周长 【知识点02.多边形的内角和与外角和】 一、多边形的基础概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做 n 边形（n≥3，且 n 为正整数）。 2.正多边形：各边相等、各内角相等的多边形（如正三角形、正方形、正五边形）。 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段；n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为 二、多边形的内角和 1.核心公式：n 边形的内角和为(n−2)×180°（n≥3，n 为正整数）。 2.公式推导：将 n 边形通过对角线分成 **(n-2)** 个三角形，每个三角形内角和为 180°，故总内角和为(n−2)×180°（如四边形分成 2 个三角形，内角和为 360°）。 3.正 n 边形的单个内角度数： 4.常见多边形内角和： 三角形：180°；四边形：360°；五边形：540°；六边形：720°。 三、多边形的外角和 1.多边形的外角：多边形的一边与邻边的延长线组成的角，任意多边形的每个顶点有 1 个外角，且与相邻内角互补（和为 180°）。 2.核心定理：任意多边形的外角和都为 360°（与边数 n 无关）。 3.正 n 边形的单个外角度数：（正n边形的内角+外角=180°，可相互推导）。 4.公式延伸：多边形的内角和随边数增加而增大，外角和始终保持 360° 不变。 【知识点03.易错点提醒】 一、三角形中位线易错点 1.混淆中位线与中线：中位线连两边中点，中线连顶点与对边中点，二者线段属性不同。 2.漏记中位线定理双结论：需同时满足 “平行于第三边” 和 “等于第三边的一半”，不可只取其一。 3.错误判定中位线：非两边中点的连线，不能用中位线定理推导平行或倍分关系。 4.计算周长 / 面积时出错：中位线围成的三角形周长是原三角形 ，面积是，避免周长、面积倍率混淆。 二、多边形的内角和与外角和易错点 · 内角和公式错记为n×180°，正确为(n−2)×180° · 误认外角和随边数变化，实际任意多边形外角和恒为 360° · 对角线公式漏除2：总条数​，单个顶点n−3 · 正多边形判定漏条件：需边、角同时相等（仅边 / 角等非正多边形） · 外角和为每个顶点取一个外角的和，非所有外角和 · 角度计算后验证边数为≥3 的正整数，排除无效解 【题型1.三角形中位线的计算问题】 【典例】如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 【跟踪专练1】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 【答案】52 【分析】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线平行且等于底边的一半是解题的关键． 根据是的中位线，即可作答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：52． 【跟踪专练2.】如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 【题型2.三角形中位线的证明问题】 【典例】如图，四边形中，，点是对角线的中点，点，分别是，的中点，，则的度数是 ．    【答案】/20度 【分析】根据中位线定理推出，，由此得到，推出是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 【跟踪专练1】已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定及三角形中位线的性质．连接，得出是的中位线，即，，同理可得，，，即可得结论． 【详解】解：连接，如图， 、分别是边、的中点， 是的中位线 ，， 同理，，， ，， 四边形的形状是平行四边形． 故选B． 【跟踪专练2】如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理可求，即可求解． 本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，E分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D 【跟踪专练1】如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 【跟踪专练2】2024年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【题型4.多边形内角和的基本问题】 【典例】如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟知四边形的内角和是解题的关键；用减去其余各角即可得解． 【详解】解：由题意，， 故答案为：． 【跟踪专练1】小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式，并能结合已知条件进行角度计算是解题的关键． 先判断该图形为五边形，利用多边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合已知，通过内角和减去这两个角的和，得到的度数． 【详解】解：根据题意可得． ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为．且该夹角位于点的右侧，则 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了正多边形的性质及四边形内角和，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ， ， ， ． 故答案为：． 【题型5.正多边形的内角性质探究】 【典例】若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，主要涉及正多边形的内角与外角的求解，熟记公式是解题的关键．先求出每一个外角的度数，然后根据每一个外角与内角互为邻补角列式求解． 【详解】解：每一个外角度数为， 每个内角度数为． 故选：B． 【跟踪专练1】用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧，压平后可以得到如图②所示的正五边形，则图②中的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差计算，掌握正五边形内角的计算方法和等腰三角形的角度推导是解题的关键． 本题考查正五边形的性质、等腰三角形的性质及角的和差计算。解题思路是先根据正五边形内角和公式求出每个内角的度数，再利用等腰三角形的性质求出的度数，最后通过角的和差关系计算． 【详解】解：正五边形的内角和为， ． 在等腰中，，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，再通过三角形外角的性质计算出的度数． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 因为正五边形各边相等，所以和均为等腰三角形． 在中，； 同理，在中． ， 故选：C． 【题型6.多边形内角和的增减角问题】 【典例】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 【跟踪专练1】小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 【跟踪专练2】已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【题型7.多边形截角后的内角和计算】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 【跟踪专练2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 【题型8.复杂图形的内角和求解】 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练1】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型9.多边形的外角性质探究】 【典例】正八边形每一个外角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据正多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，正八边形的每一个外角都相等， ∴正八边形的每一个外角的度数为：． 故选：B． 【跟踪专练1】若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和，首先根据正多边形的每个外角都相等都是，可以求出多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等， 多边形的边数为， 这是一个正边形， 这个正多边形的内角和为． 故答案为：. 【跟踪专练2】如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故选：D． 【题型10.多边形外角和的实际应用】 【典例】2025边形的外角和等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和为是解题的关键，根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】解：多边形外角和为， ∴边形的外角和等于， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键． 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以12米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进12米后向左转45度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了米． 故选B． 【跟踪专练2】如图，，则 ． 【答案】240° 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 【题型11.多边形内外角和综合应用】 【典例】若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的4倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解． 本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化． 【详解】解：设多边形的每个外角为，则其内角为：， ， 解得：， 即这个多边形是： 故选：C． 【跟踪专练1】若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，外角和，正多边形的内角问题，熟练掌握公式是解题的关键． 利用多边形内角和公式求出边数，再根据多边形外角和定理求一个外角． 【详解】解：边数为： 则外角为， 故答案为：72． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．四边形的内角中最多有2个锐角 B．四边形的四个外角不可能都相等 C．四边形的内角和与外角和相等 D．四边形的外角和小于三角形的外角和 【答案】C 【分析】根据四边形的内角和与外角和的性质.四边形的内角和为360°，外角和也为360°；三角形的外角和为360°判断各选项正误即可． 【详解】∵ 四边形的内角和为360°，外角和也为360° ∴ 四边形的内角和与外角和相等，选项C正确． 选项A：在凸四边形中，可以有3个锐角(如三个内角均为80°，另一个为120°)，故A错误，不符合题意． 选项B：当四边形为矩形时，四个外角均为90°，都相等，故B错误，不符合题意． 选项D：四边形的外角和为360°，三角形的外角和也为360°，两者相等，故D错误，不符合题意． 【点睛】本题考查了多边形，熟练掌握多边形内角和与外角和的性质是解题关键． 【题型12.平面镶嵌的原理与应用】 【典例】用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成． 【答案】2 【分析】根据正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为，若能构成镶嵌，则还需正多边形的每个内角为，据此即可求解． 【详解】解：正三角形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， 还需正多边形的每个内角为， 需要正六边形的个数为：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是要熟悉平面镶嵌的定义还要熟悉正多边形内角和外角的求法． 【跟踪专练1】数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查了平面密铺的知识，正多边形的组合进行平面镶嵌，关键是位于同一顶点处的几个角之和为．从而可得，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：∵正三角形、正方边的内角分别为、， ∴， ∴这块正多边形纸板的边数是：． 故选：B． 【跟踪专练2】如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键． 根据多边形的内角和求出，则通过计算多边形的外角即可得到答案． 【详解】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是， 故答案为：． 1．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 2．求出下列图形中的值． 【答案】36；40 【分析】本题考查了四边形内角和，解题的关键是结合四边形的内角和寻求等量关系，构建方程． 先根据四边形内角和为，用建立方程，对每个逐一求解即可． 【详解】解：图①：四边形的内角和等于， ， 解得． 图②：四边形的内角和等于， ， 解得． 3．在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 【答案】十边形 【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形内角和公式，多边形外角和为． 在各个内角都相等的多边形中，各外角也相等．首先设多边形的边数为，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，分别求出一个内角和一个外角，根据“一个内角是一个外角的倍”，列方程解方程即可得边数． 【详解】解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等． 设这个多边形的边数为n，则， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故这个多边形是十边形． 4．如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， 为的中位线， ， ． 5.如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 6.．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 7．【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 【答案】(1)不能，见解析 (2)B (3)10 【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为判断能否镶嵌 ． （1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，得出结论． （2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量． （3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为，由拼接点内角和求出第三个正多边形内角为，再通过内角与边数关系公式算出边数． 【详解】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面． （2）解：①正三角形、正方形， ， 可以铺满； ②正三角形、正六边形， ， 可以铺满； ③正三角形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满； ④正方形、正六边形，不能构成的周角， 不能铺满； ⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为 ， 可以铺满； ⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角， 不能铺满． 选择的方式有种． 故选：B； （3）解：设第三个正多边形的内角为， 正五边形的内角为， ， ， 正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11平行四边形寒假预习讲义（2） ✅ 吃透中位线，秒辨中线 / 中位线，定理双结论秒用不丢分 ✅ 玩转多边形公式，内角和 / 外角和计算一步到位不出错 ✅ 解锁几何图形解题思路，轻松搞定平行、倍分、边长周长计算 ✅ 避开高频易错坑，预习完就能上手基础题型，开学领先一步 预习必备 知识点梳理 1.三角形的中位线 2.多边形外角和与内角和 3.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.三角形中位线的计算问题 2.三角形中位线的证明问题 3.三角形中位线的实际应用 4.多边形内角和的基本问题 5.正多边形的内角性质探究 6.多边形内角和的增减角问题 7.多边形截角后的内角和计算 8.复杂图形的内角和求解 9.多边形的外角性质探究 10.多边形外角和的实际应用 11.多边形内外角和综合应用 12.平面镶嵌的原理与应用 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.三角形的中位线】 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 ▶ 注：一个三角形有3 条中位线，中位线与中线不同（中线连接顶点和对边中点）。 2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 ▶ 几何语言：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点则 DE∥BC，且DE=BC。 3. 定理的核心推论与应用 推论 1：三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形，每个小三角形的边长是原三角形的，面积是原三角形的​。 推论 2：三角形的三条中位线围成的三角形，周长是原三角形周长的​。 实际应用：中位线定理是证明线段平行和线段倍分关系的重要依据，也可用于求解线段长度、三角形边长 / 周长 【知识点02.多边形的内角和与外角和】 一、多边形的基础概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做 n 边形（n≥3，且 n 为正整数）。 2.正多边形：各边相等、各内角相等的多边形（如正三角形、正方形、正五边形）。 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段；n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为 二、多边形的内角和 1.核心公式：n 边形的内角和为(n−2)×180°（n≥3，n 为正整数）。 2.公式推导：将 n 边形通过对角线分成 **(n-2)** 个三角形，每个三角形内角和为 180°，故总内角和为(n−2)×180°（如四边形分成 2 个三角形，内角和为 360°）。 3.正 n 边形的单个内角度数： 4.常见多边形内角和： 三角形：180°；四边形：360°；五边形：540°；六边形：720°。 三、多边形的外角和 1.多边形的外角：多边形的一边与邻边的延长线组成的角，任意多边形的每个顶点有 1 个外角，且与相邻内角互补（和为 180°）。 2.核心定理：任意多边形的外角和都为 360°（与边数 n 无关）。 3.正 n 边形的单个外角度数：（正n边形的内角+外角=180°，可相互推导）。 4.公式延伸：多边形的内角和随边数增加而增大，外角和始终保持 360° 不变。 【知识点03.易错点提醒】 一、三角形中位线易错点 1.混淆中位线与中线：中位线连两边中点，中线连顶点与对边中点，二者线段属性不同。 2.漏记中位线定理双结论：需同时满足 “平行于第三边” 和 “等于第三边的一半”，不可只取其一。 3.错误判定中位线：非两边中点的连线，不能用中位线定理推导平行或倍分关系。 4.计算周长 / 面积时出错：中位线围成的三角形周长是原三角形 ，面积是，避免周长、面积倍率混淆。 二、多边形的内角和与外角和易错点 · 内角和公式错记为n×180°，正确为(n−2)×180° · 误认外角和随边数变化，实际任意多边形外角和恒为 360° · 对角线公式漏除2：总条数​，单个顶点n−3 · 正多边形判定漏条件：需边、角同时相等（仅边 / 角等非正多边形） · 外角和为每个顶点取一个外角的和，非所有外角和 · 角度计算后验证边数为≥3 的正整数，排除无效解 【题型1.三角形中位线的计算问题】 【典例】如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 【跟踪专练2.】如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【题型2.三角形中位线的证明问题】 【典例】如图，四边形中，，点是对角线的中点，点，分别是，的中点，，则的度数是 ．    【跟踪专练1】已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【跟踪专练2】如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【跟踪专练2】2024年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【题型4.多边形内角和的基本问题】 【典例】如图，是一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为 ． 【跟踪专练1】小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为．且该夹角位于点的右侧，则 ． 【题型5.正多边形的内角性质探究】 【典例】若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧，压平后可以得到如图②所示的正五边形，则图②中的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6.多边形内角和的增减角问题】 【典例】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为 ． 【跟踪专练2】已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【题型7.多边形截角后的内角和计算】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【跟踪专练2】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【题型8.复杂图形的内角和求解】 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【题型9.多边形的外角性质探究】 【典例】正八边形每一个外角的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 度． 【跟踪专练2】如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【题型10.多边形外角和的实际应用】 【典例】2025边形的外角和等于 ． 【跟踪专练1】如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【跟踪专练2】如图，，则 ． 【题型11.多边形内外角和综合应用】 【典例】若一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的4倍，则它的边数是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【跟踪专练1】若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为 度． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．四边形的内角中最多有2个锐角 B．四边形的四个外角不可能都相等 C．四边形的内角和与外角和相等 D．四边形的外角和小于三角形的外角和 【题型12.平面镶嵌的原理与应用】 【典例】用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成． 【跟踪专练1】数学探究课上，某小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【跟踪专练2】如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 1．如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 2．求出下列图形中的值． 3．在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 4．如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 5.如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 6.．规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 7．【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？ (2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（   ） A．2种    B．3种    C．4种    D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $