精品解析：山东省济南市市中区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2026年八年级期末学情调研 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ）． A. 相等的角是对顶角 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 中，若，则是直角三角形 D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 6. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，与交于点F； ④连接． 若，，则面积为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，连接、、、，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 8的立方根是________． 12. 如图所示，第四套人民币中角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为______度． 13. 中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类．近几年在山东多地发现它们年年来“小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为，表示地点B的坐标为，则地点C的坐标为______． 14. 若方程的解满足，则______． 15. 新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，点E，C在上，，求证：． 19. 如图，已知中， ， ， ， ， ，求的周长．请将解题过程填写完整． 解：∵， ∴① ． 又∵， ∴② ． ∵（已知）， ∴③ （④ ）． 又∵（已知）， ∴⑤ ． ∴⑥ ． ∵， ∴⑦ ． ∴⑧ ． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，． （1）在图中画出关于轴对称的并直接写出的坐标______； （2）求的面积； （3）在轴上找一点（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点的坐标：（______，______）． 21. 某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳．已知购进1个排球和3根跳绳共花费40元，购进3个排球和2根跳绳共花费85元． （1）求购进的排球和跳绳的单价； （2）现需购买这两类运动设备共150件，并且购买费用不超过1200元，最多购买多少个排球？ 22. 小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； （2）若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 23. 为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差＝______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的＝______．B队队员成绩的＝______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“＞”，“＝”或“＜”），且______队选手间成绩差异较大； （3）请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 24. 如图1，直线：与x轴、y轴分别交于B，C两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，两点． （1）请求出点B，C的坐标及直线的解析式； （2）若点D为直线上的一个动点，过点D作直线轴，垂足为E，交直线于点F，当时，求点E坐标及的面积； （3）点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标． 25. 【问题背景】 学习三角形一章之后，八（）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （）如图，当点在边上时，连接，线段与的数量关系是______，______； 【深入探究】 （）如图，当点在外时，连接，请探究线段的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （）如图，当点在外时，若，，则______（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级期末学情调研 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，无限不循环小数为无理数． 先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：选项A，，为整数，是有理数，故不符合题意； 选项B，是分数，是有理数，故不符合题意； 选项C，是整数，是有理数，故不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，不能表示为分数，是无理数，故符合题意． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标符号，牢记符号特征是解题关键． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴符号特征为， ∴点A位于第四象限． 故选：D． 3. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．根据不等式的性质逐一判断即可求解． 【详解】解： 选项A，若，则，故选项A不符合题意； 选项B，若，则，故选项B符合题意； 选项C，若，则，故选项C不符合题意； 选项D，若，则，故选项D不符合题意． 故选：B． 4. 一副直角三角板按如图所示方式放置，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由图可得，，再利用三角形外角性质计算即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：． 5. 下列说法错误的是（ ）． A. 相等的角是对顶角 B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C. 中，若，则是直角三角形 D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据对顶角的概念、逆命题的概念、平行线的性质、直角三角形的判定、等边三角形的判定判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，符合题意； B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”是真命题，故本选项说法正确，不符合题意； C、中，若，则，是直角三角形，说法正确，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是关键． 根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可． 【详解】解：选项A，，故选项A符合题意； 选项B，，故选项B不符合题意； 选项C，，故选项C不符合题意； 选项D，，故选项D不符合题意． 故选：A． 7. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由于题中出现了一次函数和不等式，可以考虑用一次函数和不等式的相关知识解决问题； 根据题意，不等式的解集即为直线在上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断，即可选出正确答案，此题便得到解决． 【详解】解：根据题意得， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 8. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 利用加权平均数按照比例求得小莹的个人总分即可． 【详解】解：根据题意得： （分）． 故选：A． 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，与交于点F； ④连接． 若，，则面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可知：平分，是的垂直平分线，结合等腰三角形的性质得，设，则，在中，可根据勾股定理求得x的值，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， ∵， ∴，， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴， ∵， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键． 10. 如图，在中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，连接、、、，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．求出，，，①正确；可得，②正确；证明，根据三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，③正确；延长到T，使得，证明，可得，再由线段之间的关系可得，④正确． 【详解】解：如图，设交于点J． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故③正确； 延长到T，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 12. 如图所示，第四套人民币中角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，正九边形每个内角为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质、多边形内角和定理等，熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质是解题的关键． 先用多边形内角和公式求出正九边形的内角和，再根据正多边形的每个内角相等求解即可． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为：． 13. 中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类．近几年在山东多地发现它们年年来“小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为，表示地点B的坐标为，则地点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点A的坐标，点B的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵表示地点A的坐标为，表示地点B的坐标为， ∴如图所示： ∴点C为， 故答案为：． 14. 若方程的解满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，可通过将方程组的两个方程相加，结合已知条件建立关于的方程求解． 【详解】解：已知方程组， 将两个方程左右两边相加，得， 合并化简得． 又因为， 所以，解得； 故答案为：． 15. 新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作轴，与轴交于点，与交于点，再根据点的坐标结合等边三角形的性质推出点的坐标，然后根据新定义推出，最后根据当直线过点、时，只有一个交点求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴，与轴交于点，与交于点， ∵点，， ∴，轴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 根据勾股定理：， ∴点，即， ∴点． ∵设边上点的坐标为， ∴这两个和等点满足，即， ∴这两个和等点为直线与边的两个不同交点， ∵如图，当直线过点、时，只有一个交点， ∴当过点时，，当过点C时，， ∴的取值范围为． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 17. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，先分别解出每个不等式，再在数轴上表示，找到解集的交集即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得． 在同一数轴上表示两个不等式的解集： 因此，原不等式组的解集为：． 18. 如图，点E，C在上，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．利用证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】略 19. 如图，已知中， ， ， ， ， ，求的周长．请将解题过程填写完整． 解：∵， ∴① ． 又∵， ∴② ． ∵（已知）， ∴③ （④ ）． 又∵（已知）， ∴⑤ ． ∴⑥ ． ∵， ∴⑦ ． ∴⑧ ． 【答案】；4；；两直线平行，内错角相等；；；；10． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质． 根据等腰三角形的判定和性质，平行线的性质补全解题过程即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；4；；两直线平行，内错角相等；；；；10． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，． （1）在图中画出关于轴对称的并直接写出的坐标______； （2）求的面积； （3）在轴上找一点（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点的坐标：（______，______）． 【答案】（1） 如图，即为所求； ， （2） （3） 如图： ， 【解析】 【分析】（1）按照轴对称图形的画法画图，再写出的坐标即可． （2）用所在网格的长方形面积，减去多余的三个三角形的面积． （3）先找到点关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据轴对称图形的性质可得的最小值，即为，用待定系数法可得的解析式，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图形可得． 【小问3详解】 解：先找到点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∴， ∴， ∴的最小值，即为， 由图可得：，， 设的解析式为， 将，，代入上式，即， 解得：， ∴的解析式为， 将代入上式，即， ∴点坐标为． 【点睛】本题主要考查了网格和三角形面积，画轴对称图形，轴对称图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳．已知购进1个排球和3根跳绳共花费40元，购进3个排球和2根跳绳共花费85元． （1）求购进的排球和跳绳的单价； （2）现需购买这两类运动设备共150件，并且购买费用不超过1200元，最多购买多少个排球？ 【答案】（1）排球单价是25元，跳绳单价是5元 （2）最多购买22个排球 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购进的排球单价是x元，跳绳单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设购买排球a个，则购买跳绳根，根据购买费用不超过1200元列出不等式并解不等式，结合实际问题即可得出答案． 【小问1详解】 解：设购进的排球单价是x元，跳绳单价是y元， ∴， ∴， 答：购进的排球单价是25元，跳绳单价是5元； 【小问2详解】 解：设购买排球a个，则购买跳绳根， ， ∴， ∵a为整数，所以有最大值22． 答：最多购买22个排球． 22. 小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； （2）若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】（1）； （2）当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【小问1详解】 解：甲商店：； 乙商店：时，； 【小问2详解】 解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． 23. 为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 13 14 15 13 15 13 14 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差＝______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析． ①A队队员成绩的＝______．B队队员成绩的＝______； ②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“＞”，“＝”或“＜”），且______队选手间成绩差异较大； （3）请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】（1）14；A；0.75；A （2）13；16；＜；B （3） 选A队，理由：从平均成绩看，可以看出A队的平均成绩更好；从方差看可以看出A队队员之间的水平更加均衡；从成绩的四分位数和箱线图看，可以看出A队选手间成绩差异没有B队的大，∴总体情况A队更好， ∴选A队． 【解析】 【分析】.（1）根据平均数和方差的定义分别求出，，并分别与，比较大小，即可得出结论； （2）根据四分位数的概念求解即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 本题考查了平均数、方差、四分位数和箱线图，通过分析数据作出决策． 【小问1详解】 解：（秒）， ∵秒，， ∴可以看出A队的平均成绩更好； ， ∵，， 可以看出A队队员之间的水平更加均衡； 故答案为：14，A，，A； 【小问2详解】 解：①A队队员成绩排序为13，13，13，14，14，15，15，15， ∴A队队员成绩的， B队队员成绩排序为14，14，14，15，16，16，16，17， ∴B队队员成绩的； ②A队队员成绩的中位数是 ，B队队员成绩的中位数是， ∴A队队员成绩的中位数＜B队队员成绩的中位数，且B队选手间成绩差异较大， 故答案为：①13，16；②＜，B； 【小问3详解】 略 24. 如图1，直线：与x轴、y轴分别交于B，C两点，直线AB与x轴、y轴分别交于B，两点． （1）请求出点B，C的坐标及直线的解析式； （2）若点D为直线上的一个动点，过点D作直线轴，垂足为E，交直线于点F，当时，求点E坐标及的面积； （3）点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标． 【答案】（1）；； （2）或；的面积为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟悉“一线三等角”模型及作辅助线构造全等三角形和等腰三角形．（1）直线：，令，时，求得B、C两点坐标，设直线的解析式是，将A、B两点坐标代入即可；（2）令E点坐标为， 则，，分点E在点B的左侧和右侧两种情况讨论即可；（3）过点B作，与的延长线交于D，过点B作直线轴，过点D作于E，过点C作于F．证得为等腰直角三角形，， 求得，再求直线的解析式，求与x轴的交点即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：直线：， 当时，，∴点C的坐标为, 当时，，解得，∴点B的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点与代入， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令E点坐标为， ∵直线轴，则，， ∵， ①当时，解得， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ②当时，解得， ∴点E的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 过点B作，与的延长线交于D， 过点B作直线轴，过点D作于E，过点C作于F． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式是， 把，代入解析式，得解得：， ∴直线的解析式是， ∴当时，， ∴， ∴． 25. 【问题背景】 学习三角形一章之后，八（）班各学习小组打算用两个不同的等腰直角三角形设计本组的标志，小明在设计标志的过程中发现如果两个等腰直角三角形共直角顶点摆放，某些线段和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （）如图，当点在边上时，连接，线段与的数量关系是______，______； 【深入探究】 （）如图，当点在外时，连接，请探究线段的关系，并说明理由； 【拓展探究】 （）如图，当点在外时，若，，则______（直接写出结果） 【答案】（），； （），，理由如下： 如图，延长，交于点， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，； （）或 【解析】 【分析】（）证明，可得，，即得，即可求解； （）延长，交于点，可证，可得， ，即得，即得到，进而得到，即可求解； （）分点在的右侧和左侧两种情况，分别画出图形，根据全等三角形的 判定和性质、勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， 即， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （）略 （）如图，当点在的右侧时，过点作的延长线于点，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的左侧时，过点作于点，则， 设， ∵，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $