与圆有关的计算2026年九年级数学中考一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“与圆有关的计算”专题，覆盖正多边形、弧长、扇形、圆锥侧面积四大中考核心考点，以“概念-性质-计算”逻辑架构梳理知识，通过考点解析构建正多边形与圆、公式推导与应用的内在联系，设计“考点梳理-方法指导-真题训练”三阶教学流程，助力学生突破正多边形转化直角三角形、公式灵活应用等难点。 亮点在于“问题转化”教学策略与分层实战训练，如正多边形中通过连接中心与顶点构建直角三角形，培养几何直观与推理意识，真题演练涵盖选择、填空、解答题，解析中强化数学语言表达，配合难度梯度设计，帮助学生提升应用意识与解题效率，教师可依此精准把控复习节奏，实现高效备考。

与圆有关的计算 1．会计算圆的弧长、扇形的面积 2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 考点1：正多边形 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 注： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 （1）正ｎ边形每一个内角的度数是； （2）正ｎ边形每个中心角的度数是； （3）正ｎ边形每个外角的度数是. 注：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 考点2：弧长 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 注： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 考点3：扇形 1.扇形的定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 注： （1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； （2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； （4）扇形两个面积公式之间的联系： . 考点4：圆锥侧面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 注： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长. 因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 真题演练： 一、单选题 1．（2024九年级上）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 2．（2024江苏苏州）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2 3．（2024湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长AB为30cm，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）CD为15cm，则这个弓形的面积是（　　）cm2. A．300π-450 B．900π-225 C．900π-450 D．300π-225 4．（2024江苏苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 5．（2024九年级·浙江）如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东德州）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024江苏苏州）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若此扇形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏苏州）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广西玉林）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 10．（2025安徽安庆）如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 11．（2025九年级上）如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏苏州）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 13．（2025九年级上·江苏泰州·期中）给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为 （结果保留π）. 14．（2025全国·单元测试）圆锥的侧面展开图是一个半圆(如图所示)，它的底面圆的直径为，母线长为，则该圆锥的表面积为 ． 15．（23-24九年级上·北京昌平·期末）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为 ． 16．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 17．（2025年江苏省苏州市中考二模数学试题）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ． 19．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ． 20．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为3，则的长为 ．    21．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 22．（2024·陕西渭南·三模）如图，正六边形的中心与的圆心重合于点处，若的半径为6，正六边形的边心距为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留和根号） 23．（2024·江苏镇江·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆（半径为r）的内接正八边形的面积来估计这个圆的面积，则估计值比圆的实际面积少 （用含r的代数式表示） 24．（2025·新疆昌吉·一模）如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 25．（天津南开·三模）如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    26．（2025·江苏苏州·二模）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为3，分别以和为圆心，3为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 三、解答题 27．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，以为直径的分别交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，当时， ①求的值； ②的面积___________． 28．（2025·江苏苏州·二模）如图，中，．以为直径的交于点，交于点，过点作，且使，连接． (1)求证：为的切线； (2)已知的半径为5，，求的长． 29．（江苏苏州·二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D． （1）若∠B＝28°，求的度数； （2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积； （3）若AC＝，求AD•AB的值． 30．（九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．    (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 31．（2023江苏泰州·三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．    答案 一、单选题 1．（2024九年级上·北京昌平）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数综合、正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质 【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解． 【详解】解：连接，交于点M，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∵经过圆心O， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 2．（2024江苏苏州）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆，正方形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系．根据正方形、正三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵，， ∴，， ， 设半径为，则， 在中，，， ， ， 在中，， ， 同理， ， ， 故选：C． 3．（2024湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长AB为30cm，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）CD为15cm，则这个弓形的面积是（　　）cm2. A．300π-450 B．900π-225 C．900π-450 D．300π-225 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求扇形面积、利用垂径定理求值、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、含30度角的直角三角形 【分析】设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB，在构造的Rt△OAD中，利用垂径定理和勾股定理即可求出弧ACB的半径长，即弓形面积=扇形AOB面积－△AOB面积． 【详解】解：设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB， ∵CD⊥AB， ∴C，D，O三点共线， 在Rt△OAD中，设OA=xcm，则OD=x-CD=（x-15）cm，（cm）， ∴， 即， 解得：0， ∴OD=15cm，AO=30， ∴∠OAD=30°， ∴∠AOD=60°， ∴∠AOB=120°， ∴，， 所以所求弓形面积， 故选：D． 【点睛】此题考查弓形面积求解，涉及知识点有垂径定理，扇形面积公式，30°所对直角边等于斜边一半，勾股定理等，通过构造辅助线求出半径长是解此题的关键． 4．（2024江苏苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求扇形面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】连接OC，易证，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案． 【详解】连接OC 点为的中点 在和中 又 四边形CDOE为正方形 由扇形面积公式得 故选B． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 5．（2024九年级）如图，四边形的顶点，，都在上，，，，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求弧长 【分析】求出∠BAC，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠BAD=140°， ∴∠ABC=40°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∴∠BAC=180°-80°=100°， ∴的长=， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2024山东德州）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆锥的实际问题、求圆锥侧面积 【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 根据题意得2 πr， 解得r＝1， 侧面积= ， 底面积= 所以圆锥的表面积=， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 7．（2024·江苏苏州）如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若此扇形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】连接OD，易证△OAD是等边三角形，由弧长的比等于圆心角的比，可得扇形OBA的圆心角的度数，根据面积可得半径，由弧长公式可得答案． 【详解】解：连接OD，则OD=OA， 由折叠的性质可得OA=DA， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=60°， 由， 可得 ∴∠BOD=20°， ∴∠AOB=80°， 又 ， 解得r=4， ， 故选C 【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式，根据题意正确添加辅助线是解题的关键． 8．（2024江苏苏州）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 9．（2024·广西玉林）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求其他不规则图形的面积、已知比例系数求特殊图形的面积、利用菱形的性质求面积、反比例函数与几何综合 【分析】将点代入反比例之中即可求出的值；连接交于，根据菱形性质得与互相垂直平分，则，，，，进而得，在中由勾股定理得，从而得为等边三角形，由此得，从而得，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，由此可得图形阴影部分面积之和． 【详解】解点在反比例的图象上， ； 连接交于点，设与交于点，如图所示： 四边形为菱形， 与互相垂直平分，， 点的纵坐标为， ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为菱形， 和互相垂直平分， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 图形阴影部分面积之和为：． 故选：B． 10．（2025安徽安庆）如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求扇形面积、正多边形和圆的综合 【分析】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，得，根据求解即可 【详解】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，如图， 由割补法原理可知 又∵ ∴ ∵ 又∵ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 11．（2025九年级上）如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质 【分析】阴影部分为等边三角形，要求三角形的面积就要先求它的边长，根据正多边形与圆的关系即可求出． 【详解】解：连接OE、OC，过点O作OH CE于H 在六边形ABCDEF中 AF=FE=DE=DC=CB=AB 同理， 是等边三角形 阴影部分的面积=3 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的性质，得出阴影部分三角形的边长是解题的关键． 12．（2024·江苏）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据三线合一证明、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正余弦定理的应用，等腰三角形的性质，先根据题意得出顶角，再由等腰三角形性质可知，表示出，通过周长近似即可求解． 【详解】解：如图：圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形，其顶角，过点O作，垂足为C，    设， ， ， 在中，， ， ∴由“割圆术”可得圆周率的近似值， 故选：D． 二、填空题 13．（九年级上·江苏泰州·期中）给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为 （结果保留π）. 【答案】72 【难度】0.85 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥的侧面积等于πrl计算即可. 【详解】12÷2=6cm, π×6×12=72（cm2）. 故答案为72. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于πrl. 14．（七年级上·全国·单元测试）圆锥的侧面展开图是一个半圆(如图所示)，它的底面圆的直径为，母线长为，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由展开图计算几何体的表面积、求圆锥侧面积 【分析】根据圆锥的表面积底面积侧面积计算即可，圆锥的底面是以为半径的圆，圆锥的侧面积等于以为半径的半圆． 【详解】解：由题意得， 圆锥的表面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15．（23-24九年级上·北京昌平·期末）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的判定和性质、求弧长、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式，先根据中心角定义求出的度数，然后证明是等边三角形，可求出圆的半径，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解∶如图， ∵正六边形的边长是4， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正多边形和圆的综合、求圆锥侧面积、求弧长 【分析】本题考查了正多边形的外角和、弧长公式、圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为： ， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高 ． 故答案为：． 17．（2025年江苏省苏州市中考二模数学试题）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，构造三角形相似是解题的关键．连接，过点作于点H，证明，求出，再证明，求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点作于点H， ，，，，为的直径， ， ， ∵， ， ，即， 解得， ，， ， ∵， ， ， 解得， ∴圆心O到的距离是， 故答案为：． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，根据阴影面积总体面积空白面积即可得出答案． 【详解】解：如图，正六边形内接于中，已知外接圆的半径，过作于， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影面积为， 故答案为：． 19．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ． 【答案】2.4 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，连接，过点O作于点H，证明，得，再证明是的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点H，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴点为的中点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离是2.4． 故答案为：2.4． 20．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为3，则的长为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形 【分析】连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接、、，    ∵六边形是正六边形， ∴经过O点，且O是的中点， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用各知识点． 21．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 22．（2024·陕西渭南·三模）如图，正六边形的中心与的圆心重合于点处，若的半径为6，正六边形的边心距为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留和根号） 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了圆内接正多变形的性质，熟悉掌握正边形能平均分成个全等的等腰三角形是解题的关键． 利用圆内接正多边形的性质得到六边形的边长，再分别运算圆的面积和六边形的面积作差即可． 【详解】解：连接，，过作于点，如图所示： ∵六边形ABCDEF的边心距为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵圆的面积， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 23．（2024·江苏镇江·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆（半径为r）的内接正八边形的面积来估计这个圆的面积，则估计值比圆的实际面积少 （用含r的代数式表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查正多边形和圆．根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知正八边形内接于， 正八边形内接于， ， 在中，，， ， ， 这个估计值比圆的实际面积少． 故答案为：． 24．（2025·新疆昌吉·一模）如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正多边形的内角问题、求圆锥底面半径、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆㩁的底面圆周长是扇形的长计算即可． 【详解】解：正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆的底面圆的半径是， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 25．（天津南开·三模）如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆，设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，      设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中， ，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ； 故答案为：． 26．（2025·江苏苏州·二模）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为3，分别以和为圆心，3为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，弧长公式．连接，，根据作图可得是等边三角形，得到，根据弧长公式求出，，进而即可解答． 【详解】解：连接，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴阴影部分的周长为． 故答案为：． 三、解答题 27．（2025·江苏苏州·二模）如图，在中，，以为直径的分别交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，连接，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，当时， ①求的值； ②的面积___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据等边对等角可得，，等量代换得出，进而可得，根据得出，即可得证； （2）①连接，，证明，得出，则，在，中，勾股定理求得，根据，进而根据正弦的定义，即可求解； ②连接，过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据正弦的定义得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：①如图，连接，， ∵为的直径 ∴， ∵的半径为， ∴， ∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，， 在中， ∵ ∴； ②连接，过点作， ∴， ∵为的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2025·江苏苏州·二模）如图，中，．以为直径的交于点，交于点，过点作，且使，连接． (1)求证：为的切线； (2)已知的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)6 【难度】0.65 【知识点】已知圆内接四边形求角度、全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定，直径定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据平行线的性质证出，得到，根据直径定理得到，继而根据平行线的性质可得出结论； （2）连接，，利用圆内接四边形的性质得出，证出，然后利用锐角三角函数和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ， ， 又∵， ， ∵为的直径， ， ， ∵， ， ∴为的切线； （2）解：如图，连接，， ∵为的直径， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∵的半径为5， ∴， ∵为的直径， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 由勾股定理得． 29．（江苏苏州·二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D． （1）若∠B＝28°，求的度数； （2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积； （3）若AC＝，求AD•AB的值． 【答案】（1）的度数为56°；（2）阴影部分的面积＝π﹣；（3）AD•AB＝6． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC=62°，然后计算出∠ACD的度数，则根据圆心角定理得到的度数； （2）利用斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=AB=1，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD=60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积=S扇形ACD-S△ACD进行计算； （3）根据垂径定理得到AH=DH=AD，再根据相似三角形的性质得到AC2=AH•AB，然后把AC=代入计算可得到AD•AB的值． 【详解】解：（1）连接CD，如图， ∵∠ACB＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°， ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝62°， ∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°， ∴的度数为56°； （2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝AB＝1， ∵CD＝CA， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD ＝﹣×12 ＝π﹣； （3）过点C作CH⊥AD于H， ∴AH＝DH＝AD， ∵∠ACB＝90°，CH⊥AB， ∴∠ACB＝∠AHC， 又∠A＝∠A， ∴ ∴ ∴AC2＝AH•AB， 即（）2＝AD•AB， ∴AD•AB＝6． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了垂径定理和相似三角形的性质． 30．（九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．    (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，是的中点， ， ∴是等边三角形， ， 的半径为3， ， ，， 阴影部分的面积． 31．（2023·江苏泰州·三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．    【答案】【概念认识】；【数学理解】见解析；【问题解决】或 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形； （3）连接，由（2）可得等腰，从而求出，作，根据条件证明，利用相似三角形的性质可求设，作，证明即可求出． 【详解】（1）解：由垂等四边形的定义得， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：作，分别交于点D、C，即可得到垂等四边形， 如图，    以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点A、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D， 以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点B、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点C， 连接，四边形即为所求的垂等四边形； （3）解：连接，由（2）可得等腰，    ∴， 作， ∴，， ∵四边形是垂等四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或3， ∴或3， ∵， ∴或， 作， ∵ ∴， ∴， ∴ 或， ∴或； 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $