精品解析：重庆南岸区2025--2026学年上学期七年级期末数学质量监测题

2025～2026学年度上期七年级期末质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项． 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解重庆市中学生的视力情况 B. 了解一批牛奶的质量是否合格 C. 了解川剧在某校学生中的受欢迎程度 D. 了解某班学生的身高情况 3. 如图，已知平面内的三个点，，，按要求画图：画线段，画射线，画直线，下列画出图形正确的是（ ） A B. C. D. 4. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明在一条南北方向的健身步道上跑步，他从A地出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m）：，1200，，1000．后他停下来休息，此时他的位置是（ ） A. A地向南 B. A地向北 C. A地向南 D. A地向北 6. 2015年我国自主研发的超算运算速度约为次/s，2025年我国最快超算运算速度达其20倍，则2025年我国最快超算运算速度约为（ ） A. B. C. D. 7. 将正方体的表面分别标上数字，，，，，，使它的任意两个相对面的数字之和为，将它沿某些棱剪开，可以得到的展开图是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A. B. C. D. 9. 某超市去年8月—11月，每月销售总额的条形图和每月水果类销售额占销售总额百分比的折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 该超市去年8月—11月的平均月销售总额为75万元 B. 月销售总额与水果类销售额变化不一致 C. 10月份水果类销售额比11月份少 D. 四个月中8月份水果类销售额最高 10. 如图所示，是一个由连续奇数组成的三角形数阵，下列说法： 　 ①前行共有个数字； ②第行的个数字的和是； ③当时，第行第个数为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 一个七棱柱，所有侧棱长的和为21cm，则每条侧棱的长是____________cm． 13 比较大小：________．（填“”“ ”或“”） 14. 商场销售某品牌冰箱，已知进价为1800元，若按标价的八折销售，每件可获利200元，冰箱标价_________元． 15. 如图，是直角，是的平分线，若度，则______度（用含的代数式表示）． 16. 2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数23化为三进制数：．将三进制数化为十进制数为______；将十进制数41化为三进制数为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图所示，是由若干个棱长为的小立方块搭成的几何体． （1）请在图相应的方格内，画出从正面看、从左面看、从上面看的形状图； （2）求这个几何体的表面积． 20. 为响应“书香南岸”全民阅读活动，某校决定购进一批图书供同学们借阅．现对七年级部分学生开展“学生课外阅读最喜欢的书籍类型”调查分析，绘制出了如下不完整的统计图： 学生课外阅读最喜欢的书籍类型情况 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）学生课外阅读最喜欢的书籍类型属于______（填或）； ．定量数据 ．定性数据 （2）求参与本次调查的人数，并补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，科普类所对应的扇形圆心角的度数是多少？ 21. 已知：，从的内部引出一条射线．用尺规完成下列作图，并回答问题： （1）求作：以点为顶点，射线为一边，在外部作，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）和满足怎样的数量关系，请说明理由． 22. 如图所示，将以内连续的奇数，，，，…排成的数表，用形框任意框住日历中的个数（如图中的阴影部分），探究形框中的五个数的和与中间数的关系． （1）通过计算，说明图中形框中的五个数之和与中间数有什么关系； （2）设形框的中间数为，请用代数式及其运算说明形框中的五个数的和与中间数的关系； （3）在这个数表中，形框中的五个数之和的最大值比最小值大多少？ 23. 在大数据、智能分拣、无人配送等科技创新强劲驱动下，物流行业呈现出高质量蓬勃发展的良好态势．某快递公司对单件普通物品（不含包装，质量及以内）的收费标准如下表： 质量 送达地 及以内 超过部分（计量单位为，不足按计量） 市内 10元 3元 市外 12元 6元 例如：寄往市外一件的物品，计量为．运费（元）． （1）寄往市内一件物品，应付运费多少元？ （2）寄往市外一件物品，实际质量为，若m的整数部分为a（即），应付运费多少元（用含a的代数式表示）？ （3）某日小明和小红同时在该快递公司寄物品，相关信息如下：小明寄往市外，物品实际质量比小红的物品多；小红寄往市内，物品实际质量为整数千克，且超过，小红所付的运费比小明所付的运费少29元．求小红所寄物品的实际质量． 24. 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，数轴上点，，表示的数分别为，，． （1）线段的中点表示的数为______；线段的中点表示的数为______；线段的中点表示的数为______； （2）若点，表示的数分别为，，线段的中点表示的数为______； （3）若点是数轴上任意一点，且不与点，重合，点为的中点，点为的中点，线段的长度与点的位置是否有关？若有关，请说明理由；若无关，请求出线段的长． 25. 用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． （1）直接用含的代数式表示出方案中的长； （2）当，通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ （3）若用这张长方形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为，容积最大，在下图中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上期七年级期末质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项． 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解重庆市中学生的视力情况 B. 了解一批牛奶的质量是否合格 C. 了解川剧在某校学生中的受欢迎程度 D. 了解某班学生身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查即普查，对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时， 不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键．根据全面调查的特点，结合抽样调查特点，逐项分析即可． 【详解】解：A、涉及重庆市中学生，群体庞大，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意； B、涉及一批牛奶，数量可能较多，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意； C、涉及某校学生，群体较大，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意； D、仅某班学生，数量少，适宜采用全面调查方式，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知平面内的三个点，，，按要求画图：画线段，画射线，画直线，下列画出图形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据线段、射线、直线的定义画图即可． 【详解】解：按题意如下图：   故选：C． 4. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：A． 5. 小明在一条南北方向的健身步道上跑步，他从A地出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m）：，1200，，1000．后他停下来休息，此时他的位置是（ ） A. A地向南 B. A地向北 C. A地向南 D. A地向北 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的应用，有理数加法的实际应用，直接把各数相加即可得出结论． 【详解】解：， ∵向南为正方向， ∴向北为负方向， ∴最终位置在A地向北， 故选：B． 6. 2015年我国自主研发的超算运算速度约为次/s，2025年我国最快超算运算速度达其20倍，则2025年我国最快超算运算速度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据题意，2025年超算运算速度是2015年的20倍，直接计算20乘以2015年的速度值即可． 【详解】解：． 故选：C． 7. 将正方体的表面分别标上数字，，，，，，使它的任意两个相对面的数字之和为，将它沿某些棱剪开，可以得到的展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的识别与性质，正方体相对面的判断，准确判断相对面是解题关键． 准确找出所有相对面，然后检查每一组相对面的数字之和是否都等于，据此对选项判断即可． 【详解】解：选项：数字和是相对面，和为，不符合条件； 选项：数字和是相对面，和为，不符合条件； 选项：数字和是相对面，和为，不符合条件； 选项：每个相对面的数字之和都是，符合条件． 故选：． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据竹竿总数不变，每人6竿多14竿时竹竿总数为，每人8竿少2竿时竹竿总数为，两者相等列方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设牧童有x人， ∵每人6竿多14竿， ∴竹竿总数为； ∵每人8竿少2竿， ∴竹竿总数为， ∴， 故选：A． 9. 某超市去年8月—11月，每月销售总额的条形图和每月水果类销售额占销售总额百分比的折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 该超市去年8月—11月的平均月销售总额为75万元 B. 月销售总额与水果类销售额变化不一致 C. 10月份水果类销售额比11月份少 D. 四个月中8月份水果类销售额最高 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形图和折线图分别判断即可． 【详解】解：A、该超市去年月—月的平均月销售总额为万元，说法正确，故本选项不符合题意； B、月销售总额与水果类销售额变化不一致，说法正确，故本选项不符合题意； C、∵月份水果类销售额为（万元），月份水果类销售额为（万元）， ∴月份水果类销售额比月份多，说法错误，故本选项符合题意． D、∵月份销售总额最高，水果类销售额占总销售额百分比也最高， ∴四个月中月份水果类销售额最高，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况． 10. 如图所示，是一个由连续奇数组成的三角形数阵，下列说法： 　 ①前行共有个数字； ②第行的个数字的和是； ③当时，第行第个数为． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查规律与通项公式，代数式化简，归纳特殊规律是解题关键． ①利用连续奇数求和公式，算出前行的数字总个数； ②发现第行数字之和为的规律，据此算出第行的数字之和； ③推导出第行第个数的表达式为，与题目给出的表达式进行比对然后判断． 【详解】解：①据图可知，第行有个数字， 则前行共有数字个，正确； ②第行的数字之和为， 第行的数字之和为， 第行的数字之和为， 可知第行的数字之和为， 则可知第行的数字之和为，错误； ③前行共有个数字，且所有数字中，第个数字为， 即第个数字为， 据图可知，后一个数字比前一个数字大， 则第行的第一个数字为， 则第行的第个数字为，错误． 综上，正确只有①． 故选：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法运算，绝对值，先计算绝对值，再进行减法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个七棱柱，所有侧棱长的和为21cm，则每条侧棱的长是____________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确七棱柱有7条侧棱且侧棱长度相等． 根据七棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【详解】解：七棱柱有7条侧棱，且每条侧棱的长度相等，则每条侧棱的长为． 故答案为3． 13. 比较大小：________．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较．两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 14. 商场销售某品牌冰箱，已知进价为1800元，若按标价的八折销售，每件可获利200元，冰箱标价_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设冰箱标价为元，根据八折销售获利元，列出关于的一元一次方程求解． 【详解】解：设冰箱标价为元，则售价为元． 根据题意，得． 解得，． 答：冰箱标价为元． 故答案为：． 15. 如图，是直角，是的平分线，若度，则______度（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，代数式的化简，明确目标角的构成是解题关键． 先根据直角和已知角求出，再利用角平分线得到，最后通过角的差求出的表达式． 【详解】解：是直角，， ， 是的平分线， ， ． 故答案为：． 16. 2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数23化为三进制数：．将三进制数化为十进制数为______；将十进制数41化为三进制数为______． 【答案】 ①. 13 ②. 【解析】 【分析】本题考查进制转换，需要将三进制数转换为十进制数，以及将十进制数转换为三进制数，利用乘方的应用和除法取余法进行转换． 【详解】解：三进制数转换为十进制的数为； 余 2， 余1， 余1， 余1， 从下往上读取余数，得到． 故答案为：13，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先计算乘方，再计算加减即可求解； （2）先计算乘方，括号，将除法变形为乘法，利用乘法分配律简便计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，合并同类项即可． 小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图所示，是由若干个棱长为的小立方块搭成的几何体． （1）请在图相应的方格内，画出从正面看、从左面看、从上面看的形状图； （2）求这个几何体的表面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查从不同的方向看几何体，几何体的表面积计算，准确计算总面数是解题关键． （1）从正面、左面、上面三个方向观察几何体，数出每个方向可见的小正方形数量，据此画图即可； （2）先算出单个小正方形面的面积，再统计总面数，两者相乘得到几何体的表面积． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：已知小正方体棱长为，则其一个面的面积为， 据图可知，该几何体的面数为个， 则其表面积为． 20. 为响应“书香南岸”全民阅读活动，某校决定购进一批图书供同学们借阅．现对七年级部分学生开展“学生课外阅读最喜欢的书籍类型”调查分析，绘制出了如下不完整的统计图： 学生课外阅读最喜欢的书籍类型情况 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）学生课外阅读最喜欢的书籍类型属于______（填或）； ．定量数据 ．定性数据 （2）求参与本次调查的人数，并补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，科普类所对应的扇形圆心角的度数是多少？ 【答案】（1） （2）人，图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图表的解读与计算，扇形图圆心角的计算，条形图的补全，准确从统计图表中获取信息是解题关键． （1）判断“书籍类型”是描述类别的定性数据； （2）用文学类的人数和占比算出总人数，再用总数减去已知人数得到历史类人数，最后补全条形图； （3）先算出科普类人数的占比，再用该值乘，求出对应的扇形圆心角． 【小问1详解】 解：“最喜欢的书籍类型”是对事物类别的描述，属于定性数据，故选． 答：． 【小问2详解】 解：据图可知，喜欢文学类的学生人数为人，在参加调查的学生中占比为， 则参加调查的学生人数为（人）， 喜欢历史类的学生人数为（人）． 如图，为补全的条形统计图： 答：人． 【小问3详解】 解：据条形图可知，科普类人数为人， 在参加调查的学生中占比为， 则科普类所对应的扇形圆心角的度数是． 答：科普类所对应的扇形圆心角的度数是． 21. 已知：，从的内部引出一条射线．用尺规完成下列作图，并回答问题： （1）求作：以点为顶点，射线为一边，在的外部作，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）和满足怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，角的和差关系，掌握尺规作图的原理是解题关键． （1）以为圆心，任意长为半径作圆，分别交于点，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，交圆于点，过点作射线，即为所求； （2）利用和，通过角的和差推导得出和的关系． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：，理由如下： 设， 可得，， 则． 22. 如图所示，将以内连续的奇数，，，，…排成的数表，用形框任意框住日历中的个数（如图中的阴影部分），探究形框中的五个数的和与中间数的关系． （1）通过计算，说明图中形框中的五个数之和与中间数有什么关系； （2）设形框的中间数为，请用代数式及其运算说明形框中的五个数的和与中间数的关系； （3）在这个数表中，形框中的五个数之和的最大值比最小值大多少？ 【答案】（1）形框中的五个数之和是中间数的倍 （2）形框中的五个数之和是中间数的倍 （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数运算，列代数式与整式的加减，正确总结规律是解题关键． （1）通过计算框内五个数的和，再除以中间数，得出五个数之和与中间数的关系； （2）用含中间数的代数式表示框内四个角的数，再将五个数相加化简，然后推导出五个数之和与中间数的关系； （3）根据数表的边界列出不等式，确定中间数的取值范围，再利用“和为”的规律，计算出和的最大值与最小值的差． 【小问1详解】 解：框中五个数之和为，， 形框中五个数之和是中间数的倍． 答：形框中的五个数之和是中间数的倍． 【小问2详解】 解：已知中间数为， 其余四个数分别为，，，， 框中五个数的和为：． 故形框中的五个数之和是中间数的倍． 答：形框中的五个数之和是中间数的倍． 【小问3详解】 解：据图可知，在数表中作形框，需，， 即， 故形框的中间数最小为，此时五个数之和为， 形框的中间数最大为，此时五个数之和为， ， 则五个数之和的最大值比最小值大． 答：． 23. 在大数据、智能分拣、无人配送等科技创新的强劲驱动下，物流行业呈现出高质量蓬勃发展的良好态势．某快递公司对单件普通物品（不含包装，质量及以内）的收费标准如下表： 质量 送达地 及以内 超过部分（计量单位为，不足按计量） 市内 10元 3元 市外 12元 6元 例如：寄往市外一件的物品，计量为．运费（元）． （1）寄往市内一件的物品，应付运费多少元？ （2）寄往市外一件物品，实际质量为，若m的整数部分为a（即），应付运费多少元（用含a的代数式表示）？ （3）某日小明和小红同时在该快递公司寄物品，相关信息如下：小明寄往市外，物品实际质量比小红的物品多；小红寄往市内，物品实际质量为整数千克，且超过，小红所付的运费比小明所付的运费少29元．求小红所寄物品的实际质量． 【答案】（1） 应付运费元； （2） 应付运费元； （3） 小红所寄物品的实际质量为． 【解析】 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格收费标准列式计算即可； （2）根据表格收费标准列代数式即可； （3）设小红所寄物品的实际质量为，则小明所寄物品的实际质量为，即按计算，根据小红所付的运费比小明所付的运费少29元，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：（元）， 答：应付运费元； 【小问2详解】 解：根据题意，得元， 答：应付运费元； 【小问3详解】 解：设小红所寄物品的实际质量为，则小明所寄物品的实际质量为，即按计算， 根据题意，得， 整理得， 解得， 答：小红所寄物品的实际质量为． 24. 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，数轴上点，，表示的数分别为，，． （1）线段的中点表示的数为______；线段的中点表示的数为______；线段的中点表示的数为______； （2）若点，表示的数分别为，，线段的中点表示的数为______； （3）若点是数轴上任意一点，且不与点，重合，点为的中点，点为的中点，线段的长度与点的位置是否有关？若有关，请说明理由；若无关，请求出线段的长． 【答案】（1），， （2） （3）线段的长度与点的位置无关，长度为，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查数轴的基本概念与数形结合，数轴中点公式的应用，动点问题的代数分析，掌握中点公式是解题关键． （1）利用中点公式计算出各线段中点表示的数； （2）利用中点公式对线段的中点进行表示； （3）设动点的坐标为，用中点公式表示、的坐标，再列式表示的长度，化简后分析的长度与点的位置的关系． 【小问1详解】 解：已知点，，表示的数分别为，，， 可得中点表示的数为， 中点表示的数为， 中点表示的数为． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：已知点，表示的数分别为，， 则的中点表示的数为． 答：． 【小问3详解】 解：线段的长度与点的位置无关，长度为，理由如下： 设点表示的数为， 则点表示的数为， 点表示的数为， 可得线段的长度为， 故线段的长度与点的位置无关，长度为． 25. 用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． （1）直接用含的代数式表示出方案中的长； （2）当，通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ （3）若用这张长方形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为，容积最大，在下图中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积． 【答案】（1） （2）方案纸盒的容积最大 （3） 【解析】 【分析】本题考查代数式的表示与化简，图形的裁剪与折叠，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据硬纸板的宽和，求出剪去的小正方形边长，再用原纸板的长减去两个小正方形边长，得到的长度； （2）将代入各方案，分别计算出三个方案的纸盒容积，比较大小后得出容积最大的方案； （3）在高固定为的条件下，分两种布局方向计算底面的长和宽，进而确定使容积最大的底面尺寸，最终算出最大容积． 【小问1详解】 解：由纸片为长方形，纸盒为长方体，可知图的阴影部分为四个全等的正方形， ，长方形的长为，宽为， 小正方形的边长为， ． 答：． 【小问2详解】 解：据（1），方案中长方体长为，宽为，高为， 则其容积为； 方案中长方体长为，即，宽为，高为， 则其容积为； 方案中长方体长为，即，宽为，高为， 则其容积为． 综上，方案纸盒的容积最大． 答：方案纸盒的容积最大． 【小问3详解】 解：设纸盒底面长为，宽为，已知高为， 则盒子的容积为， 分两种布局进行计算， 当底面长平行于边： 可得，即， ，即， 此时纸盒的容积为； 当底面长平行于边： 可得，即， ，即， 此时纸盒的容积为， 下图即为纸盒的设计图： 可知，纸盒的最大容积为． 答：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $