河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二上期01月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若为等比数列，则“”是“（s，t，p，）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 4．如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） 1 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 5．已知直线：，：若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．3或 6．设数列的前项之积为，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（   ） A．16 B．14 C．12 D．10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则，，成等比数列 10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（   ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线． C．当时，双曲线的渐近线方程为 D．当曲线的离心率为时，的值为 11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 13．已知点，点在圆上运动，则的取值范围是 . 14．如图，已知，且边OA，OB有无限长，按下面操作：在边OA，OB上分别取，沿剪去一个，再在边，上分别取，沿剪去一个梯形，依次操作，在边，上分别取，沿剪去一个梯形，使得每一个梯形的面积都等于的面积的一半，则 （用含的式子表示）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）直线与直线垂直，且经过点. (1)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (2)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 16．（15分）已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球的体积； (3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18．（17分）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． (1)求双曲线的方程； (2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期01月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D A B D B C BC BC CD 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （2）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （2）设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式； （2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，整理得 又∵，∴，, ∴数列是首项为3、公比为3的等比数列， ， 设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列 ∴. ，即，即 ， 解得，∴. （2）由（1）可知 则 17．(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 18．(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）直接代入公式计算得解. （2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围. 【详解】（1）当时，由，，得， 所以. （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. 19．(1)； (2)①证明见解析，；②证明见解析. 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【详解】（1）得 双曲线的方程为：. （2）①当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $