精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上期9月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期09月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解. 【详解】因为， 所以， 所以集合C的子集个数为. 故选：D 2. 若复数，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及模长公式求解即可． 【详解】由，则， 所以． 3. 已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（ ） A. ，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B. ，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C. ，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，，，的极差等于，，，，的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义，逐一判断各选项的正误即可. 【详解】选项A：新数据的平均数为，与原数据的平均数相等. 选项B：设原数据的方差为，新数据的平均数仍为2026， 故新方差， 显然，即新方差不大于原方差. 选项C：将原数据从小到大排序为， 若原中位数为， 插入后中位数. 选项D：若原数据全相等，则，两组数据极差均为0，相等. 若原数据不全相等，则最小值小于2026小于最大值，极差不变. 4. 一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（ ） A. 恰有一个红球的概率为 B. 两个球都是红球的概率为 C. “至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件 D. “至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，再根据相关定义逐项分析. 【详解】从6个球中任取2个球共有种取法， 设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为， 记事件A为恰有一个红球， ，即，A正确； 记事件B为两个球都是红球，，，B正确； 记事件为至少一个是黄球，表示2个球中有1个是黄球，另一个是红球或绿球， 2个球都是红球，则不可能包含黄球，即C和B不可能同时发生，是互斥事件，C正确； 记事件为至少一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 记事件为至多一个绿球， 则E也包含恰有1个绿球， 所以，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，D错误； 故选：D． 5. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的最小正周期为，， ， 又， ， 则 ， ， 的最大值为． 6. 如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱锥几何关系得出边长计算求解. 【详解】在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点， 将分别沿折起，使得三点重合记为，如图所示， 因为，所以，因为，所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点，所以，所以，所以. 故选：B. 7. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ） A. B. -1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用二次函数求解最值即可， 【详解】由题意，，， ，所以， 所以，即平分， 由可得 ， 所以当时，有最小值为. 故选：A 8. 已知定义在上的函数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数单调性可得，再令，对原式进行化简，利用两次基本不等式求最小值即可． 【详解】解：，，即， 又，， 函数在单调递增， ，即， 令，则， ，当且仅当时取等， 又，当时取等， 综上，时，取得最小值． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B. 已知两条直线，若，则； C. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 【答案】BC 【解析】 【分析】结合已知条件，利用直线方程的性质和图像对各选项进行逐一分析，选项A需考虑直线过原点和不过原点两种情况；选项B需根据平行条件，得出斜率相等，但截距不相等；选项C通过直线过定点，结合直线与线段相交求的范围；选项D需分析三条直线不能构成三角形的所有情况求的值． 【详解】选项A：如下图所示，过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线为：和，共两条，故A错误； 选项B：， 整理得：，， ①，②，解①得或，解②得， ，故B正确； 选项C：直线等价于，恒过定点， 直线的斜率分别为， 又直线与线段相交， 或，即为或，故C正确； 选项D：当直线与平行时，即时不能构成三角形； 当直线与平行时，即时不能构成三角形； 直线与交于点， 当点在直线上时，即时，三条直线不能构成三角形， 实数的取值集合为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：来求解即可. 【详解】由，，所以，即，故A错误； 由于，所以，则有， 即，故B正确； 因为，，所以， 又因为，所以，故C错误； 由 ， 因为，，所以， 则，故D正确； 故选：BD. 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项由线线平行得到异面直线的夹角，用余弦定理即可得出结果；B选项动直线平行于平面等价于面面平行，从而得到动点运动轨迹，找垂线即为最短距离，求出最小值；C选项找球心，便可得到半径，然后求出体积；D选项利用空间直角坐标系由空间向量得到点的坐标，然后求出线段长，从而得出周长. 【详解】A．，直线与所成角， 在中，根据余弦定理可知， ， 代入求得，A错误； B．取的中点，取的中点，取的中点，连接， ，，所以四边形是平行四边形， 且，，平面， 同理可得平面， 平面，平面， 所以点的运动轨迹为线段， 在中，过点作，此时取得最小值， 由题意可知，， ，B正确； C．取的中点，连接，则， 过点作，且， 为外接球的半径，在中，， ， ，C错误； D．由平面平面得，过点的平面必与有交点， 设过点的平面与平面和平面分别交于 ，同理可得 过点的平面截长方体所得的截面图形为五边形， 如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， ，， ，解得， ， 所以五边形的周长为 ，D正确． 故选：BD 【点睛】方法点睛：利用向量共面来找立体图形中截面问题，先找到面与棱的交点，设交点坐标，得到空间向量的坐标，由向量平行建立方程，解出点的坐标，即可确定截面位置. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将直线整理为斜截式方程求出其斜率和倾斜角，结合两直线夹角，得到所求直线的倾斜角，进而得到斜率，再根据直线过定点，即可求出直线的方程. 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 13. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求该几何体内切球的表面积，根据几何关系求半径，再求表面积. 【详解】几何体内最大的球为几何体的内切球，如图，点分别是切点， 连接交圆锥底面于点，连结，，， 因为，所以， 又，，且， 所以四边形是正方形，且， 则，即，解得：， 所以内切球的表面积为，即这个球的表面积的最大值为. 14. 已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解. 【详解】设， 易知为的重心， 又，由重心为中线三等分点可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，求其最小值即可， 上式化简可得：， 也即当且仅当时取得等号， 所以， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）若=，求的取值； （2）若向量，夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】(1)由题意知，再结合向量模的运算公式解方程即可； (2)由题意知且，不共线，再结合向量共线的坐标关系，数量积运算的坐标表示求解即可。 【小问1详解】 解：因为向量， 所以， 所以=，即，解得：或. 【小问2详解】 解：因为向量，夹角为钝角， 所以且，不共线， 又因为，解得， 当，反向共线时，有，解得 ， 所以且，不共线时，的取值范围为： 综上，向量，夹角为钝角时，的取值范围为 16. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理进行求解； （2）由三角形的面积公式及余弦定理得，再由基本不等式求解． 【小问1详解】 因为， 所以：， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 由余弦定理得，即， 设 ，则 ， 由基本不等式：，故， 解得，故， 又 ，所以， 因此. 17. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 18. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出；再由频率直方图中平均数的求法，即可求解； （2）根据条件，求出样本空间和基本事件，利用古典概率公式，即可求解； （3）根据条件，利用互斥事件的概率公式和相互独立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得， 估计高一年级初赛成绩的平均数为. 【小问2详解】 组与组的频率比为，因此抽样人数分别为人与人， 设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组， 因此样本空间，， 记“有名或名学生成绩在”为事件，，， 因此根据古典概型的计算公式． 【小问3详解】 设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件为甲在第三局中获得胜利， 因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利， 故，， 甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢． 即为事件， 因此 故． 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线,依题可知是中的一条中位线，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面． （2）根据可得点位置，利用可得长度，利用勾股定理可证，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （3）建立空间直角坐标系，表示点坐标，利用空间向量求二面角余弦值公式建立关于的函数，利用换元法化简函数，之后求函数值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期09月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组样本数据，，，，的平均数为2026，则下列叙述中错误的是（ ） A. ，，，，，的平均数等于，，，，的平均数 B. ，，，，，的方差不大于，，，，的方差 C. ，，，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，，，的极差等于，，，，的极差 4. 一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误的是（ ） A. 恰有一个红球的概率为 B. 两个球都是红球的概率为 C. “至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件 D. “至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件 5. 已知函数的最小正周期为T，若，则的最大值为（   ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ） A. B. -1 C. D. 2 8. 已知定义在上的函数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为； B. 已知两条直线，若，则； C. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或； D. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为． 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 13. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 14. 已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）若=，求的取值； （2）若向量，夹角为钝角，求的取值范围． 16. 在中，内角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围. 17. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 18. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $