精品解析：湖南省邵阳市九年级联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2026年邵阳市初中联考试题卷 九年级数学 温馨提示： （1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分； （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小． 比较各数的大小，负数小于零和正数，因此最小． 【详解】解：∵， ∴ ∴是最小的数． 故选B． 2. 根据公开信息，2025年“湘超”联赛自9月7日开赛至12月27日决赛结束，现场观赛人数累计约232万人，数据232万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法标准形式为（，n为整数），确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：∵232万， ∴， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除以及合并同类项．根据运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A． ，故错误． B．，正确． C．，故错误． D．，故错误． 故选：B． 4. 某学校举行元旦文艺汇演，七位评委对某班的节目给出的评分为：9.2，9.4，9.3，9.0，8.9，9.4，9.5，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.0 B. 9.2 C. 9.3 D. 9.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的概念以及求解方法是解题的关键． 中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数． 由于数据个数为奇数，中位数是第4个数，据此求解即可． 【详解】解：将评分从小到大排序：8.9， 9.0， 9.2， 9.3， 9.4， 9.4， 9.5． ∵数据个数7为奇数， ∴中位数是第4个数据，即9.3． 故选：C． 5. 如图，在中，，，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由等腰三角形的性质可得，，结合两直线平行，内错角相等，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的解集与数轴，掌握好不等式的解法是解题关键． 先得出不等式的解集，根据解集确定选项． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解为． 故选：B． 8. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，能够通过一元二次方程的根计算出参数是解决本题的关键． 将代入方程求解a的值 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选A． 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的对角线相互平分且垂直是解题的关键． 根据菱形的对角线相互平分且垂直，可得，，，然后由勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，对角线相交于点，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 连接，根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，结合，可推出，得到，再结合图象可知，，从而求得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ∴， 同理，即． ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴，即． 由图象可知，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用提取公因式法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若为整数，且，则整数的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，与相交于点，．若，，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．首先把点代入直线求出的值，进而得到点的坐标即可． 【详解】解：直线过点， ，解得： 点， 直线与直线相交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，在中，,, ，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点,，过点,作直线，交于点，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，三角形中线性质，在中，根据勾股定理求出直角边，由此得出，由作图知，是线段的垂直平分线，得出，根据三角形中线平分三角形面积即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图象关于直线对称，有下列四个结论：；；；对于任意实数，都有．其中正确的结论有_____（填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴、轴的交点问题，函数最值并综合运用是解决本题的关键．由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置，可判断结论；由二次函数与有两个不同的交点，可判断结论；根据对称性可得当时，，可判断结论；根据当时，二次函数取得最小值，可判断结论． 【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ，， ． 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴， ， ，故错误； 由图可知，二次函数与有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即，故正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，，即，故错误； 当取任意实数时，， 当时，， 由图象可知，当时，二次函数取得最小值， ，即，故正确． 综上，正确的结论有． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题10分，第23，24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．先分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，从，1，2中选一个合适的值，代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简和求值，掌握好分式的性质与运算法则是关键． 先根据分式的性质和混合运算的法则进行化简，再代入合适的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ． ∵， ∴取， 当时，原式． 19. 如图，四边形的对角线与相交于点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． ∴, ． 又∵， ∴． （2）的周长是3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论； （2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，四边形是平行四边形． ∴平行四边形是矩形． ∴．即． ∴， 即的周长是3． 20. 某校为了解师生对“校园餐”的满意程度，随机抽取了部分师生进行调查，此次调查共分成四个等级：“非常满意”“满意”“基本满意”“不满意”．为了解调查情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答以下问题： （1）本次调查的师生共有_____人，请将图（1）补充完整； （2）求“满意”等级对应的圆心角度数； （3）若该校共有3000名师生，请你估计“非常满意”等级的师生人数． 【答案】（1）200， 如图，补全条形统计图即为所作， （2）“满意”等级对应的圆心角度数为 （3）该校“非常满意”等级的师生约为600人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图，结合扇形统计图、条形统计图得到有用的信息是解题的关键． （1）首先根据条形统计图得到“非常满意”等级的师生人数是40人结合扇形统计图得到非常满意”等级的师生人数的占比是，即可求得本次调查的师生总人数；再利用总人数算出“基本满意”等级的师生人数即可补全条形统计图； （2）根据“满意”等级的人数计算出占比，进而即可计算“满意”等级对应的圆心角度数； （3）首先根据扇形统计图得到“非常满意”等级的师生占比为，即可计算该校共有3000名师生中“非常满意”等级的师生人数． 【小问1详解】 解：由题意知，“非常满意”等级的师生人数是40人，占比， ∴人， ∴本次调查的师生共有200人； ∴“基本满意”等级的师生人数为人， 【小问2详解】 解：∵， ∴“满意”等级对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：∵人， ∴该校“非常满意”等级的师生约为600人． 21. 芯片是信息技术的核心载体，近年来，我国大力推动芯片的自主研发．某芯片研发企业欲新增两条生产线共同生产同型号芯片，助力国产芯片升级．已知生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200颗，，两条生产线一天共生产芯片1000颗． （1）求，两条生产线每天分别生产多少颗芯片？ （2）该企业计划用这两条生产线共同生产18000颗芯片，且生产线生产的芯片量不超过生产线生产的芯片量的2倍．若生产线生产一颗芯片的成本是30元，生产线生产一颗芯片的成本是35元，请你帮该企业设计出生产成本最低的生产方案，并求出最低生产成本． 【答案】（1）生产线每天生产600颗芯片，生产线每天生产400颗芯片 （2）该企业可以设计生产线共生产12000颗芯片，生产线共生产6000颗芯片，成本最低，最低生产成本为570000元 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数解析式是关键． （1）设生产线每天生产颗芯片，生产线每天生产颗芯片．生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200颗，，两条生产线一天共生产芯片1000颗．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设生产线共生产颗芯片，则生产线共生产颗芯片，生产成本为元．先求出的取值范围，再利用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设生产线每天生产颗芯片，生产线每天生产颗芯片．根据题意得： 解得 答：生产线每天生产600颗芯片，生产线每天生产400颗芯片． 【小问2详解】 解：设生产线共生产颗芯片，则生产线共生产颗芯片，生产成本为元．根据题意得：， 解得． 因为， 所以随的增大而减小，故当时，有最小值， 此时元， 生产线共生产12000颗芯片，生产线共生产颗芯片，． 答：该企业可以设计生产线共生产12000颗芯片，生产线共生产6000颗芯片，成本最低，最低生产成本为570000元． 22. 如图，一位探究爱好者利用无人机测量建筑物的高度．无人机飞行至点处，测得正前方水平方向与建筑物的顶端的仰角为，继续沿垂直方向飞行至点处，测得该建筑物顶端的仰角为．已知无人机在点处距离地面的垂直高度为50米，且无人机与建筑物的水平距离为40米（无人机近似看作一个点），请根据提供的信息解决下列问题（结果保留整数）． （1）求建筑物的高度； （2）若无人机从点处水平飞行至点处，此时测得建筑物的顶端的仰角为，求的长． （参考数据：，） 【答案】（1）建筑物的高度约为米 （2）约为13米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意得，在中，，结合，即可解答； （2）延长交于点，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，从而得到米，然后在中，由求得，结合即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，米，， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高度约为119米． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴米． 由题意知，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 即约为13米． 23. 如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． （1）求的表达式； （2）连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； （3）如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的平移利用待定系数法求得的解析式； （2）将化为顶点式，得到点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立与直线得点D坐标，设，则，求出的表达式，此时的表达式为二次函数，将二次函数化为顶点式后即可求得最大值； （3）作的对称轴，则，过点A作直线的垂线，交于点，求得的坐标，由分析点P的位置，此时点P的位置即为的位置，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵由平移得来， ∴设， ∵与交于点，且与y轴交于点， 得： 解得 ∴的表达式为：． 【小问2详解】 解：由（1）知，的表达式为：， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立与直线得：， 解得， ∴， ∵E在线段上，G在上，轴， 设，则， 则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：如图，作的对称轴，则， ∴， 过点A作直线的垂线，交于点， ∵的对称轴是直线， ∴的坐标为． ∵A，关于对称， ∴， ∴，即点P和点重合时满足条件， 当点P在对称轴的右边时，，故这样的点P不存在， 综上所述，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值及二次函数与角度的综合问题，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 综合与实践 在几何学中，旋转是一种基本的图形变换，它让静态的图形展现出动态的魅力．一个图形绕固定点旋转，不仅改变了位置，更创造出新的视觉形态．如图（1），在矩形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作的垂线交直线于点． （1）若，求旋转角的大小； （2）若，如图（2）所示，求点到的距离； （3）若，且点，，三点共线，求四边形的面积． 【答案】（1）旋转角 （2）点到的距离为 （3）四边形的面积为或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到 在中，，则，得到，即可求出答案； （2）过点作，交于点，延长，交于点，求出． 得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形进行解答即可． 【小问1详解】 解：连接， 因为由旋转得来，所以． 因为，四边形为矩形， 所以． 在与中， 所以， 所以 因为， 在中，， 所以，所以， 所以，即旋转角． 【小问2详解】 过点作，交于点，延长，交于点，如图所示． 因为，所以． 因为，四边形是矩形，所以． 由题意得：，所以． 所以， 故点到的距离为． 【小问3详解】 分两种情况： ①当时，连接，如图所示． 由（1）得，所以． 因为，点三点共线， 所以．又， 在中，，所以． 设，则． 在中，，即， 解得，所以． 所以． ②当时，如图所示． 在中，，所以． 因为四边形是矩形，所以． 在与中， 所以． 所以 ． 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质、旋转的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年邵阳市初中联考试题卷 九年级数学 温馨提示： （1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分； （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 10 2. 根据公开信息，2025年“湘超”联赛自9月7日开赛至12月27日决赛结束，现场观赛人数累计约232万人，数据232万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校举行元旦文艺汇演，七位评委对某班的节目给出的评分为：9.2，9.4，9.3，9.0，8.9，9.4，9.5，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.0 B. 9.2 C. 9.3 D. 9.4 5. 如图，在中，，，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 10. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：_____． 12. 若为整数，且，则整数的值为_____． 13. 如图，与相交于点，．若，，，则_____． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为_____． 15. 如图，在中，,, ，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点,，过点,作直线，交于点，连接，则_____． 16. 如图，二次函数的图象关于直线对称，有下列四个结论：；；；对于任意实数，都有．其中正确的结论有_____（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，第17，18题每小题6分，第19，20题每小题8分，第21，22题每小题10分，第23，24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，从，1，2中选一个合适的值，代入求值． 19. 如图，四边形的对角线与相交于点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 20. 某校为了解师生对“校园餐”的满意程度，随机抽取了部分师生进行调查，此次调查共分成四个等级：“非常满意”“满意”“基本满意”“不满意”．为了解调查情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答以下问题： （1）本次调查的师生共有_____人，请将图（1）补充完整； （2）求“满意”等级对应的圆心角度数； （3）若该校共有3000名师生，请你估计“非常满意”等级的师生人数． 21. 芯片是信息技术的核心载体，近年来，我国大力推动芯片的自主研发．某芯片研发企业欲新增两条生产线共同生产同型号芯片，助力国产芯片升级．已知生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200颗，，两条生产线一天共生产芯片1000颗． （1）求，两条生产线每天分别生产多少颗芯片？ （2）该企业计划用这两条生产线共同生产18000颗芯片，且生产线生产的芯片量不超过生产线生产的芯片量的2倍．若生产线生产一颗芯片的成本是30元，生产线生产一颗芯片的成本是35元，请你帮该企业设计出生产成本最低的生产方案，并求出最低生产成本． 22. 如图，一位探究爱好者利用无人机测量建筑物的高度．无人机飞行至点处，测得正前方水平方向与建筑物的顶端的仰角为，继续沿垂直方向飞行至点处，测得该建筑物顶端的仰角为．已知无人机在点处距离地面的垂直高度为50米，且无人机与建筑物的水平距离为40米（无人机近似看作一个点），请根据提供的信息解决下列问题（结果保留整数）． （1）求建筑物的高度； （2）若无人机从点处水平飞行至点处，此时测得建筑物的顶端的仰角为，求的长． （参考数据：，） 23. 如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． （1）求的表达式； （2）连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； （3）如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 综合与实践 在几何学中，旋转是一种基本的图形变换，它让静态的图形展现出动态的魅力．一个图形绕固定点旋转，不仅改变了位置，更创造出新的视觉形态．如图（1），在矩形中，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作的垂线交直线于点． （1）若，求旋转角的大小； （2）若，如图（2）所示，求点到的距离； （3）若，且点，，三点共线，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $