检测2空间向量与立体几何能力卷-2025-2026学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版专用）

检测2空间向量与立体几何能力卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若空间向量，，，，则其中单位向量的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 3．已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知在平行六面体中，设，点在对角线上，且满足．设，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 10．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 11．在正方体中，动点P满足则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的最小值是 C． D．直线与平面所成最大角的正弦值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为 ． 13．已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为 . 14．已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为 . 四、解答题(本大题共5小题,13+15+15+17+17,共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 16．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 17．如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接. (1)证明：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 19．如图，在三棱锥中，平面，,点满足. (1)若. （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B B B B B ABD BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】若，则，单位向量是模为的向量，利用这些知识求解. 【详解】，，是单位向量； ，，是单位向量； ，，是单位向量； ，，不是单位向量. 故共有3个单位向量. 故选：C. 2．D 【分析】利用向量的运算及几何意义可求答案. 【详解】取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以， 所以. 故选：D 3．B 【分析】根据向量的减法和数量积的坐标运算化简求出. 【详解】由题意得，则，解得. 故选：B 4．B 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：B 5．B 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】由向量，，且，得，解得， 所以. 故选：B 6．B 【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解. 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 7．B 【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可. 【详解】设向量在基底下坐标为， 则. 已知在基底下坐标为， 即. 所以， 即， 则：， 所以向量在基底下的坐标是， 故选：B. 8．B 【分析】将三棱锥放置于长方体中，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线，所成角的余弦值为 故选：B 9．ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 10．BC 【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合向量模公式，即可求解；对于C，结合向量垂直的性质，即可求解；对于D，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以向量与不共线，故选项A不正确； 因为，，所以，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C正确； 因为，故选项D错误. 故选：BC. 11．AC 【分析】对于选项A，证明平面，直线上的点到平面的距离为定值；对于选项B，异面直线与所成的角转化为与所成的角求解；对于选项C，证明面即可；选项D，建立空间直角坐标系，向量法求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值， 又△的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值. 故选项A正确； 因为， 所以异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点或点时，因为△为正三角形， 与所成的角最小为， 故选项B不正确； 因为面，面， 所以⊥. 故选项C正确； 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， ，，，，，，   ， 所以， ， 设面的法向量为， ，， 即， 令，，，所以， 设直线与平面所成的角为， ， 令，， 当，时，最大，最大，此时. 故选项D不正确. 故选：AC. 12．/ 【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量， 所以 所以向量在向量上的投影向量为： 向量在向量上的投影向量的模为： ， 故答案为：. 13． 【分析】由题意可知存在、，使得，化简得出，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、、四点共面，根据共面向量定理的推论， 对于空间中任意一点，存在实数使得，且满足， 将题设条件与该定理对比，可知系数之和必须为，即， 解得， 故答案为：. 14．/4.5 【分析】由题意分析出向量共面，即存在唯一的有序实数对，使得，据此列出方程组，即可求出实数. 【详解】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 15．(1)，， (2) (3) 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）    因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. （2）由（1）可知，，，则. （3）因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 16．(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    17．(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）通过延长，可求得平面与平面的交线，再通过面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点，结合（1）的结论可以以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，然后求得两个法向量的夹角，再求二面角的正弦值即可. 【详解】（1）证明：在三棱柱中，分别延长，，交于点，连接，如图所示，则即为平面与平面的交线. 因为为棱的中点，，所以是的中点， 又在正中，，所以，所以. 取中点，连接， 因为侧面是菱形，且，所以为正三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面，即平面. （2）取的中点，则易知，由（1）知平面，所以，，两两垂直， 分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，因为侧面为菱形，且， 所以，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，利用直角三角形判定证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 因为四边形是等腰梯形，， 所以，则四边形是平行四边形， 则，是直角三角形，且， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由（1）知，，平面， 由为等边三角形，得，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的一个法向量， 则，令，得； 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19．(1)（i）证明见解析；（ii） (2). 【分析】（1）（i）先由平面证得，再由解三角形证明，再由线面垂直的判定定理即可证得结论；（ii）根据平面，利用等体积转化和棱锥体积公式，求三棱锥的体积即可； （2）如图建系，写出相关点和相关向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）（i）由平面，而平面，可得， 因，则依题意，， 在中，，故， 因，平面，故平面. （ii）此时， 由勾股定理得， 于是. （2）以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 于是，. 设平面的法向量为， 则，故可取. 记直线与平面所成角为， 则， 两边平方，整理得， 即， 由可得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测2空间向量与立体几何能力卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若空间向量，，，，则其中单位向量的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 3．已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知在平行六面体中，设，点在对角线上，且满足．设，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 10．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 11．在正方体中，动点P满足则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的最小值是 C． D．直线与平面所成最大角的正弦值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为 ． 13．已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为 . 14．已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为 . 四、解答题(本大题共5小题,13+15+15+17+17,共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.    (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. (2)求向量的坐标. (3)求向量与的夹角. 16．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 17．如图，三棱柱的底面是等边三角形，侧面是菱形，且.已知为棱的中点，平面平面ABC. (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，连接. (1)证明：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 19．如图，在三棱锥中，平面，,点满足. (1)若. （i）证明：平面； （ii）求三棱锥的体积. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $