检测6圆锥曲线的方程能力卷-2025-2026学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测6圆锥曲线的方程能力卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 2．抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知为椭圆的焦点，则的值为（    ） A． B． C． D．20 4．已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 8．已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（   ） A．的虚轴长为 B． C．的焦距为3 D．的渐近线方程为 10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（   ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线． C．当时，双曲线的渐近线方程为 D．当曲线的离心率为时，的值为 11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为 ． 14．记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知抛物线的焦点在轴上，直线经过抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围． 16．已知抛物线：的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于，两点，且的面积为4，求直线的方程． 17．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于M、N两点，且. (1)求直线l的方程； (2)若直线l与圆交于P、Q两点，求|PQ|的值. 18．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 19．已知椭圆的两个焦点为，动点在椭圆上，且的面积最大值为 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与相交于两点A，B（在的左侧），设直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②设直线相交于点，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D B A D D AB BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据双曲线方程求出，即可求出虚轴长. 【详解】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 2．B 【分析】根据方程求出焦点和准线即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离为2. 故选：B 3．C 【分析】求出椭圆的标准方程，进而确定基本量，再结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 因为为椭圆的焦点，所以，， 可得，解得，符合题意，故C正确. 故选：C 4．D 【分析】根据题意，分别求得直线与坐标轴的交点为，得到，求得，即可得到椭圆的标准方程. 【详解】由直线，令，可得，令，可得， 即直线与坐标轴的交点分别为， 因为直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 可得，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 5．B 【分析】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 6．A 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标，椭圆在长轴上的顶点，即可求出，从而求出抛物线方程及准线方程，最后由焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为， 又椭圆在长轴上的顶点为和， 所以，解得， 所以抛物线，则抛物线的准线方程为， 所以上一点到的焦点的距离为. 故选：A 7．D 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 8．D 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合圆的定义和方程，双曲线渐近线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由双曲线和抛物线的方程可得， 因为，所以点在以线段为直径的圆上， 显然该圆的圆心坐标为，半径为， 根据双曲线和圆的对称性， 不妨设点在双曲线的渐近线上，， 点在渐近线和圆上， 所以有到直线的距离不大于， 即， 即，而，所以. 故选：D 9．AB 【分析】将双曲线方程化为标准方程，结合虚轴、定义、焦距、渐近线的定义求解. 【详解】双曲线的标准方程为，则 则虚轴长为，A正确； ，B正确； 焦距为，C错误； 渐近线方程为，故D错误. 故选：AB 10．BC 【分析】利用椭圆，双曲线的标准方程的特点依次判断A,B；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为；分两种情况讨论，即可求解. 【详解】当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误； 当时，即或时曲线为双曲线，故B正确； 当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确； 当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或. 经检验或符合题意.故D错误 故选：BC 11．ABD 【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D. 【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为； 设，的中点， 则到准线的距离为，， 所以以为直径的圆与准线相切，故A正确； 过点作垂直于准线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 由得， 所以，， 所以，故C错误； 假设点的坐标为，则， 由直线与抛物线交于两点得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 即，点在直线上， 由得，，故D正确. 故选：ABD    12． 【分析】利用方程表示焦点在y轴上的椭圆建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 13．3 【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得， 可得，，所以. 故答案为：3. 14． 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即，    ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的标准方程为，进而得到，可得，进而求解即可； （2）由题设可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合求解即可. 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 直线经过抛物线的焦点， ，解得， 抛物线的标准方程为. （2）直线经过点，且斜率为， 直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，解得或， 实数的取值范围为. 16．(1) (2)或． 【分析】（1）先根据抛物线的方程确定焦点所在位置，再根据焦点在直线上确定焦点坐标，进而确定的值，得到抛物线的方程. （2）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，用表示出，结合可求的值，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为抛物线：（）的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线E的方程为． （2）如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设：，， 联立及的方程得，则， 此时，，解得． 故直线的方程为或． 17．(1)或. (2) 【分析】（1）直线与抛物线联立，用韦达定理，代入弦长公式. （2）直线恒过圆心，即可求出弦长. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，， 联立，得， 由韦达定理：， 又弦长公式：， 代入已知得， 即，即，解得， 当时，直线方程为，即， 当时，直线方程为，即， 综上，直线的方程为：或. （2）圆方程可得， 圆心，半径 直线过点，即直线恒过圆心， 因此，直线 与圆的交点为圆的直径， 故. 18．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 19．(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆对称性求出即可求出椭圆标准方程. （2）①设出直线方程，与椭圆方程联立，结合斜率坐标公式列式计算得证；②作关于轴的对称点，由①的结论求出直线方程，并求出交点的坐标，进而求出其轨迹即可. 【详解】（1）令椭圆的焦距为2c，则，设的顶点的纵坐标为， 则，当且仅当时取等号，， 所以椭圆的标准方程为. （2）①直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得， ，， 则，又，则， 所以. ②由①知，则，作关于轴的对称点，则三点共线， 设，直线方程即为直线方程为， 又直线方程为，由，解得， 则，由，得，而，则， 即，因此点在以为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测6圆锥曲线的方程能力卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 2．抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知为椭圆的焦点，则的值为（    ） A． B． C． D．20 4．已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 8．已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（   ） A．的虚轴长为 B． C．的焦距为3 D．的渐近线方程为 10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（   ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线． C．当时，双曲线的渐近线方程为 D．当曲线的离心率为时，的值为 11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为 ． 14．记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知抛物线的焦点在轴上，直线经过抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围． 16．已知抛物线：的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于，两点，且的面积为4，求直线的方程． 17．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于M、N两点，且. (1)求直线l的方程； (2)若直线l与圆交于P、Q两点，求|PQ|的值. 18．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 19．已知椭圆的两个焦点为，动点在椭圆上，且的面积最大值为 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，且斜率不为0的直线与相交于两点A，B（在的左侧），设直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②设直线相交于点，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $