1.1空间向量及其运算-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

1.1空间向量及其运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 5 【巩固训练】 9 【提升训练】 14 知识回顾 1. 空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2. 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 3. 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 4. 空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 5. 空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 6. 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 7. 空间向量的数量积及性质 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 8. 向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 4．（24-25高二上·浙江·期中）在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 6．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽合肥·期中）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（   ） A．不确定 B．2 C． D．4 8．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 10．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）以下说法正确的是（    ） A．设、是两个空间向量，则、不一定共面 B．设、是两个空间向量，则 C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D．设、、是三个空间向量，则 11．（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·浙江宁波·期中），，，则 ． 13．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 14．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求的坐标； (2)求的值 16. (15分) （23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 17. (15分) （23-24高二·湖南·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 18. (17分) （23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与模长相等的所有向量； (2)若，求向量的模． 19. (17分) （23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（   ） A．点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为 B．点在平面Ozx面上 C．点，的中点坐标是 D．两点，间的距离为3 10．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 13．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 14．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 16. (15分) （24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 17. (15分) （2023高三·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 18. (17分) （24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 19. (17分) （2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 2．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）如图所示，在平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏盐城·期中）在平行六面体中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（    ）      A． B． C． D． 6．（22-23高二上·云南红河·阶段练习）在三棱锥中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．（24-25高三上·上海·开学考试）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏南京·期末）三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（    ） A．当P为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 10．（24-25高三上·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点G在底面内运动含边界，且平面，则（    ） A．若，则平面 B．点G到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 13．（23-24高二上·北京·期中）如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    14．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：      (1)； (2)． 16. (15分) （23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知，，且，求的值； （2）已知都是空间向量，且，求． 17. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 18. (17分) （23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，∥，∥，． （1）证明：四点共面； （2）设． ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离． 19. (17分) （2023·河北衡水·三模）如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面 （2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 5 【巩固训练】 16 【提升训练】 30 知识回顾 1. 空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2. 空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 3. 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 4. 空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 5. 空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 6. 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 7. 空间向量的数量积及性质 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 8. 向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 4．（24-25高二上·浙江·期中）在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 6．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽合肥·期中）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（   ） A．不确定 B．2 C． D．4 8．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（    ）    A． B． C． D． 10．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）以下说法正确的是（    ） A．设、是两个空间向量，则、不一定共面 B．设、是两个空间向量，则 C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D．设、、是三个空间向量，则 11．（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·浙江宁波·期中），，，则 ． 13．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 14．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求的坐标； (2)求的值 16. (15分) （23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 17. (15分) （23-24高二·湖南·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 18. (17分) （23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与模长相等的所有向量； (2)若，求向量的模． 19. (17分) （23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D D A D B AD BD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 2．D 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 3．C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 4．D 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D． 5．D 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【详解】由题意，，，，， ， . 故选：D. 6．A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模长度. 【详解】如图，由已知，，， ∵， ∴ ， ∴，即， 故选：A. 7．D 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，， ,1,， ． 故选：D． 8．B 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长. 【详解】由已知可得，与的夹角为， 且，，不共面， 以，，为空间向量基底， 则， 即 ， 所以， 故选：B. 9．AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及共线向量的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 10．BD 【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误． 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误； 对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，， 由于，故，B正确； 对于C选项，在中，，，，则、、共面，C错误；    对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D正确． 故选：BD． 11．AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 12． 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】，解得，故， 故答案为： 13． 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 14． 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 15．(1)，，， (2)6 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）写出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【详解】（1）∵， ∴，，，， （2）由（1）可知，， ∴. 16．(1)10 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求解； （2）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）． （2）因为， 所以． 17．(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可. 【详解】（1）∵是的中点， ∴； （2）∵是的中点， ∴； （3）∵是的中点， ∴. 18．(1) (2)3 【分析】（1）根据向量模长相等判断求解； （2）应用立体图形结合定义求出模长. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. 19．(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知正方体的棱长为1，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（   ） A．点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为 B．点在平面Ozx面上 C．点，的中点坐标是 D．两点，间的距离为3 10．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 13．（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 14．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 16. (15分) （24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 17. (15分) （2023高三·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 18. (17分) （24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点. (1)若，求的值； (2)求的值. 19. (17分) （2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，． (1)证明：当取最小值时，； (2)设，求的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D C C B D BCD BD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 故选：B. 2．B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 3．C 【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案. 【详解】由题设，易知，且， . 故选：C 4．D 【分析】根据题意，连接，由向量的线性运算可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 连接， 由题意可得， 所以 ， 所以. 故选：D 5．C 【分析】先表示出，根据可求出结果. 【详解】因为， ， 所以， 故选：C. 6．C 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可． 【详解】根据题意知， 则， 所以原式， 故选：C． 7．B 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 8．D 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 9．BCD 【分析】A项，通过计算即可求出关于坐标平面的对称点的坐标；B项，通过点的坐标即可得出点在面上；C项，通过中点坐标公式即可得出结论；D项，根据两点间距离公式计算即可. 【详解】由题意， 对A，点 关于坐标平面的对称点的坐标为，A错误; 对于B，点 的坐标为 0，则点 在平面上，B正确; 对于C，点与点，则的中点坐标是，C正确; 对于 D，两点，间的距离为：，D正确. 故选：BCD. 10．BD 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 11．ABD 【分析】A项由空间向量的模为实数可知；B项由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项由两向量共线且反向情况可判断；D由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，方向上与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 12．6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 13． 【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 14．/ 【分析】用表示，根据四点共面的向量表达关系，即可求得参数的值. 【详解】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解； （2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解. 【详解】（1）因为是的中点，，所以， 又，所以， 则. （2）因为， 所以由正四面体的棱长为4， 可得， 故. 16．(1) (2)6 【分析】（1）写出各点坐标，设，写出相关向量得到方程组，解出即可； （2）出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. （2）∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 17．(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可． 【详解】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 18．(1)，，； (2) 【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1） ， 又， ∴，，； （2）由余弦定理得， 易知； 故 ， ∴． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据条件确定点的位置，再证明线线垂直. （2）先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围. 【详解】（1）如图：取中点，中点，连接， 则，. 因为，， 所以三点共线. 又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值. 又，所以. （2）易知， . 所以，，， 故（）. 根据二次函数的性质，当时，有最小值，为； 当或时，有最大值，为. 故的取值范围为： 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 2．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）如图所示，在平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏盐城·期中）在平行六面体中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（    ）      A． B． C． D． 6．（22-23高二上·云南红河·阶段练习）在三棱锥中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．（24-25高三上·上海·开学考试）如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏南京·期末）三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（    ） A．当P为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 10．（24-25高三上·安徽·期中）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点G在底面内运动含边界，且平面，则（    ） A．若，则平面 B．点G到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 13．（23-24高二上·北京·期中）如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    14．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：      (1)； (2)． 16. (15分) （23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知，，且，求的值； （2）已知都是空间向量，且，求． 17. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 18. (17分) （23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，∥，∥，． （1）证明：四点共面； （2）设． ①求与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离． 19. (17分) （2023·河北衡水·三模）如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面 （2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B C C C BCD ACD 题号 11 答案 ABCD 1．B 【分析】由，，共面，设，列方程求解即可. 【详解】向量，，，若，，共面， 所以设，则，解得， 故选：B 2．B 【分析】利用空间向量加减的几何意义得到，应用向量数量积的运算律求长度. 【详解】由题设， 所以 ， 所以. 故选：B 3．C 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：C. 4．A 【分析】利用作为基底表示向量，再根据数量积求模即可. 【详解】在平行六面体中， 因为，， 则 . 故选：. 5．B 【分析】由平面向量共面定理可知：点在平面内，则的最小值即为点到平面的距离，求出三棱锥为正四面体，过点作平面，求解即可得出答案. 【详解】因为， 则， 即， 由平面向量共面定理可知：点在平面内， 则的最小值即为点到平面的距离， 连接，，，，，， 因为平行六面体各棱长为，且， 所以，， 所以三棱锥为正三棱锥， 如图所示，    设中点为，过点作平面， 则点为的中心，即在上， 则， 则， 所以， 故选：B. 6．C 【分析】由向量的线性运算得到，从而说明，即可求解. 【详解】， ， ，即，所以是等腰三角形. 故选：C 7．C 【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 8．C 【分析】设，根据对角线向量的性质列方程求关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，可将三棱锥补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积. 【详解】设，则， 因为 ， 所以，解得：， 即，可知， 过作，连接，则， 可知，且二面角的平面角为， 则为等边三角形，即， 设，因为， 即，解得：或， 可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合， 则，，由，平面，则平面， 且为二面的平面角，可知为等边三角形， 可将三棱锥补充直棱柱，如图所示， 为底面正的外心，即， 为的外接球球心，可知，且， 则三棱锥的外接球半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 9．BCD 【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】对于A，当为底面的中心时，由，则 故，故A错误； 对于B，当时， 当且仅当，取最小值为，故B正确; 对于C，当时，，则点在及内部， 而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分， 当时，，当时，，可得最大值为，故C正确； 对于D，， ， 而，所以 ，则为定值，故D正确. 故答案选：BCD. 10．ACD 【分析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面，及点G的轨迹．对于A，由条件得点G为棱的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由，可得点G到的距离即为与间的距离，求解即可判断；对于C，连，与的交点即为点G，求解即可得出；对于D，设面，根据对称性可知，为的中点，由已知得为直线与平面所成的角，即可求解判断. 【详解】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q， ∵点E，F分别为棱，的中点，∴， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，同理， ∵平面，∴平面， 根据条件平面，可得平面即为平面， 于是点G的轨迹即为线段 对于A，若，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P， 连，∵，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴， ∴正六边形的边长为， 设正六边形的中心， 则均是边长为的正三角形， ∵, ∴，即与间的距离， 因为，所以点G到的距离即为与间的距离， 所以点G到的距离为，所以 B错误； 对于C，连，交点为， ∵，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点， ∵分别为的中点，则， 此时，于是满足，所以C正确； 对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点， ∴， ∵平面，∴为直线与平面所成的角， 又， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确， 故选：ACD. 11．ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 12．1 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得数量积的表达式，再由二次函数性质得出最小值. 【详解】依题意以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，设， 所以， 因此，当时，取得最小值1. 故答案为：1 13． 【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在空间四边形中，点为的中点，为的中点， 连接，根据空间向量的运算法则，可得 所以. 故答案为：.    14． 2 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 15．(1) (2) 【分析】根据空间向量线性运算求得正确答案. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以 ．    16．（1）；（2）0 【分析】（1）根据题意可得，再利用空间向量数量积的运算性质即可求解. （2）将两边平方，即可得到答案. 【详解】（1）∵，，且，∴，，， ∴. （2）由两边同时平方，可得 即，所以 17．(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 18．（1）证明见解析（2）①② 【分析】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面（2），写出点的坐标，求出平面的法向量①写出向量，根据线面角公式计算即可②写出，根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】， 由平面平面，，得平面，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： （1）设， 则， ， 故， ， 共面. （2）设， 则，故， ①设平面的法向量为， 由， 得， ， , 即与平面所成角的正弦值为. ②,平面的法向量为, , 即点到平面的距离为. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明平行，计算线面角，点到平面的距离，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点. 【分析】（1）根据题目条件证明平面，从而得到//，得出//平面; （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，计算平面和平面的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的值确定点的位置. 【详解】解：（1）因为，是边长为4的等边三角形， 所以， 所以是等腰直角三角形，． 又点为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为，， 所以，， 所以与都是直角三角形， 故，． 又， 所以平面， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设存在，使得二面角为直二面角，易知，且． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 设平面的法向量为， 则由，， 得，令，得，， 故． 由，得，故． 所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角． 【点睛】本题为空间立体几何综合题，考查空间中线面平行的证明及根据二面角大小确定动点的位置问题，难度较大. 解决根据二面角大小求参的问题关键点在于合理设元、计算法向量，使法向量的夹角余弦值符合题目条件即可. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$