精品解析：湖南株洲市攸县2025-2026学年上学期九年级期末学业质量监测 数学试卷

2025年下学期九年级期末学业质量监测 数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）： 1. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似； 故选：B． 2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质判断选项即可． 【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确； 对称轴为，B正确； ，且对称轴，当时，y随x的增大而减小，C正确； 顶点坐标为，而非，D不正确． 故选：D． 3. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 4. 已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选B． 5. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 6. 求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的众数是6 B. 该组数据的平均数是7 C. n的值是5 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 7. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 9. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，则线段的长为（　　） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键． 连接，得出平分，垂直平分，得出相等的边和角，证明，根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）： 11. 若 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知比例 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入计算即可． 本题考查了分式的加减法，分式的化简，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2−a＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可求得a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−a＝0的一个根是2， ∴22−a＝0， 解得a＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13. 若，且，若的面积为，则的面积为________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：，且， ， 的面积为， ， 的面积为， 故答案为：． 14. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据题意直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加3即可得新函数解析式即可． 【详解】解：∵向上平移3个单位长度， ∴得的抛物线的解析式为． 故答案为：． 15. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 16. 如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正八边形的性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，求得的坐标是解题的关键．作轴于，求得正八边形的内角的度数，即可求得△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，进而得出，得到，利用待定系数法即可求得的值． 【详解】解：作轴于， 正八边形中，内角的度数为， ， ， △是等腰直角三角形， 同理△是等腰直角三角形， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）： 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的解法是解题的关键． （1）根据完全平方公式分解后求出解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴． 19. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，某校组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”分成四组，分别是A．学习成绩；B．课余生活；C．朋友交流；D．师长意见．在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回，且全部有效，调查小组将调查结果绘制成图1和图2统计图 (均不完整)，请根据图中提供信息，解答下列问题： “七年级学生最关心的问题”调查问卷调查表 请在下列选项中选择您最关心的问题，并在其后“□”内打“√”(每名同学必选且只能选择其中一项)，非常感谢您的合作． A．学习成绩□ B．课余生活□ C．朋友交流□ D．师长意见□ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少人，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数； （3）若七年级共有学生1320人，估计本校七年级学生选择C组的人数． 【答案】（1）本次调查共抽取了50人， 补全条形统计图如下： （2）圆心角度数是． （3）选择C组的人数为264人． 【解析】 【分析】本题考查了从扇形统计图和条形统计图中获取信息，并根据结果进行分析；利用样本估计总体，能从扇形统计图和条形统计图中正确获取信息是解题的关键． （1）由占有人，求出调查人数，再补全图，即可求解； （2）求出的百分比，即可求解； （3）求出的百分比，即可求解； 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查共抽取了50人． B组对应的人数为（人）， 【小问2详解】 解：由题意得， 扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：由题意得 （人）， 估计九年级学生选择C组的人数为264人． 20. 如图，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，可知，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB=5米，且sin∠DCB＝． （1）求钢缆CD的长度． （2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？ 【答案】（1）CD=米；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数可求得CD； （2）过点E作EF⊥AB于点F．由∠EAB=120°，得∠EAF=60°，再根据三角函数求得AF，从而得出答案． 【详解】（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB==， ∴设DB=4x，DC=5x，由勾股定理得： ∴， 解得或（舍）， ∴CD=米，DB=米； （2）如图，过点E作EF⊥AB于点F， ∵∠EAB＝120°， ∴∠EAF＝60°， ∴AF＝AE·cos∠EAF=1.6×=0.8（米）， ∴FB＝AF＋AD＋DB=0.8＋2＋=（米）， ∴灯的顶端E距离地面米． 考点： 解直角三角形的应用． 22. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即且为半径， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，又， ∴等腰直角三角形， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． （1）求m，b的值； （2）设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题为反比例函数与一次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式利用数形结合的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为，设，则，根据，可列出关于t的方程，求出t的值即可得出点D坐标．联立，求解即可得出点A坐标，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设， ∵轴交反比例函数的图象于点D， ∴． ∵， ∴， 解得，（舍）， ∴． 联立， 解得或， ∴， ∴． 24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线及直线的表达式； （2）求证：是等腰直角三角形； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】（1）， （2） 证明：由（1）可得抛物线的对称轴为． ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，且． （3） 【解析】 【分析】（1）利用点A及B的坐标运用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再根据坐标系中的两点距离公式分别求出，，，然后利用勾股定理逆定理即可证明． （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解： 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级期末学业质量监测 数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号． 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）： 1. 下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 3. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的众数是6 B. 该组数据的平均数是7 C. n的值是5 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 7. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，使，分别以点M和N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； ②分别以点C和D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，则线段的长为（　　） A. B. C. 5 D. 10. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）： 11. 若 ，则 ________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则______． 13. 若，且，若的面积为，则的面积为________． 14. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是_______． 15. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 16. 如图，正八边形的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数的图象上，若，则k的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）： 17. 计算： 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，某校组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”分成四组，分别是A．学习成绩；B．课余生活；C．朋友交流；D．师长意见．在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回，且全部有效，调查小组将调查结果绘制成图1和图2统计图 (均不完整)，请根据图中提供信息，解答下列问题： “七年级学生最关心的问题”调查问卷调查表 请在下列选项中选择您最关心的问题，并在其后“□”内打“√”(每名同学必选且只能选择其中一项)，非常感谢您的合作． A．学习成绩□ B．课余生活□ C．朋友交流□ D．师长意见□ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少人，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数； （3）若七年级共有学生1320人，估计本校七年级学生选择C组的人数． 20. 如图，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB=5米，且sin∠DCB＝． （1）求钢缆CD的长度． （2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？ 22. 如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． （1）求m，b的值； （2）设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积． 24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线及直线的表达式； （2）求证：是等腰直角三角形； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $