四川省叙永第一中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

2025年秋期高二高考文考期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。 3.全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 3．设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 4．已知与是相互独立的随机事件，且，，则（ ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 6．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知点F为椭圆的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 10．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（    ） A．当时，平面 B．对于任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．的取值范围为 11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．椭圆的焦距等于 . 13．已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为 ． 14．已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 16．为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计消费金额的84%分位数. (2)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. (3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 17．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点． （1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值； （2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值． 18．已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点． (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，求的值； (3)直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 19．已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D B B D B ABD ACD 题号 11 答案 ABD 12．4 13． 14． 15．（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 16．（1）先计算各区间的频率： ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为. 因为，. 所以消费金额的分位数位于之间. 由. 所以消费金额的分位数为. （2）5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人）， 从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种， 至少有1人消费不低于100元的抽法有：种， 设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则. （3）游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元； 按方案二，购买10千克水果，需花费：元. 所以游客应该选择方案二更优惠. 17．（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． 又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)． 所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝， 所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为. （2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)， 则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)． 设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)， 则即 令x＝2，解得y＝0，z＝1， 所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量． 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为， 所以|cos〈，〉|＝＝＝， 解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1. 18．（1）由已知，则， 代入点得， 所以双曲线的方程为． （2）直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 （3）设，，如下图所示： 联立，化简得， 由，解得，且； 所以 原点到直线的距离 所以的面积为； 解得. 19．（1）对于椭圆，已知焦点坐标为， 则，. 对于双曲线，渐近线方程为，所以，即. 联立，将代入得，解得，， 所以椭圆的方程为，双曲线的方程为. （2）联立，消去y得. 因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以， 化简得. 设，由韦达定理，则. 当时，无不同的两点A，B，与题意不符； 当时，过点M且与l垂直的直线方程为. 可得，，即， 代入得：， 故点N的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $