解析几何 B专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

解析几何 B专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 双曲线 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 2. 设 为抛物线 的焦点,点 在 上,点 ,若 ,则 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 3. 如图 1 是中国古代建筑中的举架结构, 是桁,相邻桁的水平距离称为步, 垂直距离称为举. 图 1 图 2 如图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中 是举, , 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 , 若 是公差为 0.1 的等差数列,且直线 的斜率为 0.725,则 A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D.0.9 4. 若圆 上到直线 的距离为 1 的点有且仅有 2 个, 则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 5. 设 是椭圆 的长轴的两个端点,若 上存在点 满足 , 则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 6. 设 是双曲线 的两个焦点, 为坐标原点,点 在 上且 , 则 的面积为 ( ) A. B. 3 C. D. 2 7. 已知 为抛物线 的焦点,过点 作两条互相垂直的直线 ,直线 与 交于 两点,直线 与 交于 两点,则 的最小值为 ( ) A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 设 是椭圆 的上顶点,若 上的任意一点 都满足 ,则 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知点 在圆 上,点 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. 点 到直线 的距离小于 10 B. 点 到直线 的距离大于 2 C. 当 最小时, D. 当 最大时, 10. 已知 为坐标原点,过抛物线 的焦点 的直线与 交于 两点, 点 在第一象限,点 ,若 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. 直线 的斜率为 B. C. D. 11. 造型列 可以做成美丽的丝带,将其看作图中的曲线 的一部分,已知 过坐标原点 ,且 上的点满足横坐标大于 -2,到点 的距离与到定直线 的距离之积为 4 ，则下列说法中正确的是 ( ) A. B. 点 在 上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 当点 在 上时, 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 设点 在直线 上,点 和 均在 上,则 的方程为_____. 13. 设 为椭圆 的两个焦点, 为 上一点且在第一象限. 若 为等腰三角形,则点 的坐标为_____. 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 上,点 在 轴上,若 ,则 的离心率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 中,曲线 与 轴交于 两点, 点 的坐标为 . 当 变化时,解答下列问题: (1)能否出现 的情况？说明理由； (2)证明:过 三点的圆被 轴截得的弦长为定值. 16. (本小题满分 15 分) 已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 . (1) 证明: ; (2)设 为 的右焦点， 为 上一点，且 . 证明: ， 成等差数列,并求该数列的公差. 17. (本小题满分 15 分) 已知双曲线 的右焦点为 ,渐近线方程为 . (1)求 的方程. (2)过点 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点,点 在 上,且 . 过点 且斜率为 的直线与过点 且斜率为 的直线交于点 . 从下面 ①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ① 点 在 上；② ；③ . 注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分. 18. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 的中心为坐标原点,对称轴分别为 轴、 轴,且过 两点. (1)求 的方程； (2)设过点 的直线交 于 ， 两点，过点 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ,点 满足 ,证明: 直线 过定点. 19. (本小题满分 17 分) 在直角坐标系 中,点 到 轴的距离等于点 到点 的距离,记动点 的轨迹为 . (1)求 的方程； (2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明:矩形 的周长大于 . 一、选择题 1. C 解析 由题意得 ，所以渐近线方程为 ,故答案选 C. 2. B 解析 由题意得 ,则 从而点 到准线 的距离为 2, 所以点 的横坐标为 , 则 , 所以 , 故答案选 B. 3. D 解析 设 ,则 由题意得 ,且 , 所以 , 故 ,故答案选 D. 4. B 解析 设与直线 的距离为 1 的平行直线的方程为 , 由 得 或 , 则 , 则圆与 共有两个交点. 由于圆心 位于直线 下方, 故圆只能与 相交且与 不相交, 所以 , 即 ,故答案选 B. 5. A 解析 当点 与短轴顶点 重合时, 最大; 当点 与点 重合时 (此时 应视为点 处的切线), 最小,为 , 故存在点 满足 ,当且仅当 ,即 , 当焦点在 轴上时, , 解得 , 当焦点在 轴上时, ,解得 , 故答案选 A. 6. B 解析 由题意知 , 则 . 因为 , 故点 在以 为直径的圆上, 故 , 则 . 由双曲线定义知 , 所以 , 所以 , 所以 的面积为 , 故答案选 B. 7. A 解析 设 的方程为 , 与抛物线联立得 , 则 , 同理得 , 所以 ,当且仅当 时取得等号,故答案选 A. 8. C 解析 由题意得 ,设 , 因为 当 ,即 时, 的最大值为 ,不符合题意, 当 ,即 时, 的最大值为 ,符合题意, 故 ,故答案选 C. 二、选择题 9. (多选) 解析 由题意可得直线 1,即 , 圆 的圆心为 ,半径 , 圆心到直线 的距离 于是点 到直线 的距离的取值范围为 从而点 到直线 的距离小于 10,但不一定大于 2，故 正确， 错误. 如图,当过点 的直线与圆相切时,满足 最小或最大 (当点 位于点 时 最小,当点 位于点 时 最大),此时 从而 ,故 CD 正确. 故答案选 ACD. 10. (多选) 解析 对于 ,易得 ,由 可得点 在 的垂直平分线上, 则点 的横坐标为 , 代入抛物线方程可得 , 则 ，直线 的斜率为 ，故 A 正确. 对于 ，由斜率为 可得直线 的方程为 联立抛物线方程得 . 设 ,则 ,有 代入抛物线方程得 ,解得 ,则 , 则 ,故 B 错误. 对于 ,由抛物线定义知 ,故 C 正确. 对于 ,则 为钝角, 又 ,则 为钝角, 又 ,则 ,故 正确. 故答案选 ACD. 11. (多选) ABD 解析 对于 ,因为点 在曲线上,所以点 到直线 的距离为 ,而 , 所以有 ,即 ,故 正确,且曲线的方程为 . 对于 ,将 代入方程可知其在曲线上, 故 B 正确. 对于 ,设 , 求导得 , 则有 , 于是在直线 的左侧必存在一小区间 满足 , 因此 的最大值一定大于 1,故 错误. 对于 ,曲线方程可化为 当点 在 上时, ,从而 ,故 正确. 故答案选 ABD. 三、填空题 12. 解析 设 ， 圆 的半径为 , 因为点 和 均在 上, 所以 , 解得 ，从而 ， ， 故答案为 . 13. 解析 由点 在第一象限，可知 从而 或 . 由已知可得 , 于是 , 从而 . 设点 的坐标为 , 则 . 又 , 所以 . 代入椭圆方程，解得 ( 舍去)， 于是点 的坐标为 , 故答案为 . 14. 解析 设 ,则 在 Rt 中, , 则 , 故 或 (舍去), 所以 ,则 , 故 , 所以 在 中, ,整理得 , 故 ,故答案为 . 四、解答题 15. 解析(1)不能出现 的情况，理由如下: 设 ， ，则 满足 ,所以 . 又点 的坐标为 , 故 , 所以不能出现 的情况. (2)因为 中点为 ，从而 的中垂线方程为 . 由 (1) 可得 , 所以 的中垂线方程为 . 联立 又 ,可得 从而过 三点的圆的圆心坐标为 ,半径 . 故圆被 轴截得的弦长为 , 即过 三点的圆被 轴截得的弦长为定值 3 . 16. 解析 (1)设 , 则 . 两式相减,并由 得 - . 由题意知 , 于是 . 而要使得 与椭圆相交,则点 应位于椭圆内部,从而 ,且 , 从而 ,故 . (2)由题意得 . 设 ，则 ， . 由 (1) 可得 . 又点 在 上,所以 , 从而 , 于是 , 同理 . 所以 , 故 ,即 , 成等差数列. 设该数列的公差为 , 则 而 的方程为 , 代入 的方程，整理得 . 故 , 从而 ,即 . 17. 解析 (1) 由题意可得 ,于是 ,因此 的方程为 . (2)设直线 的方程为 ， 与双曲线方程联立，可得 ,从而 . 由 得 ,从而 , 所以 设点 的坐标为 , 则 由②一①得 , 而 , 于是 , 从而 , 由①+②得 , 从而 . 若选择①②: 此时直线 的方程为 ,设 , , 与渐近线方程联立,可解得 因为点 在 上,而 ,可解得 , 从而 为 的中点,即 . 若选择①③: 当直线 的斜率不存在时,点 即为点 ,此时不在直线 上,矛盾. 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 与渐近线方程联立，可解得 于是 . 由 得 ,从而 . 若选择②③: 此时直线 的方程为 ,设 , , 与渐近线方程联立,可解得 设 的中点为 ,则 而 ,故点 在 的中垂线上, 从而点 在直线 上, 与 联立,解得 即点 恰为 中点，故点 在直线 上. 18. 解析 (1)设椭圆 ， 将 ， 代入得， 解得 , 所以椭圆 的方程为 . (2)因为 ， ， 所以直线 , ① 若过点 的直线斜率不存在，则直线为 , 代入 ，得 ， ， 代入 得 ， 由 得 , 从而求得直线 ,过点 . ② 若过点 的直线斜率存在，设直线为 . 联立 则 , 可得 从而 且 . 联立 可得 , 此时 . 将 代入整理得 将 代入，得 此式显然成立,于是点 在直线 上. 综上,直线 过定点 . 19. 解析 (方法 1) (1) 设 ,则 ,化简得 , 所以轨迹 的方程为 . ( 2 )设矩形的三个顶点 在 上,且 , 易知矩形四条边所在直线的斜率均存在且不为 0,则 . 令 ,则 ,即 . 设矩形周长为 ,由对称性不妨设 , 则 令 , 则 , 当 时, ,此时 单调递减, 当 ,此时 单调递增, 则 , 故 ,即 . 当 时, 中的等号不能成立,故 . (方法 2)(1) 同方法 1. (2)不妨设点 ， ， 在 上，且 ，设 , 易知直线 的斜率均存在且不为 0,设 的斜率分别为 和 ,不妨设 , 直线 的方程为 , 联立 则 , ,则 , 此时 , 同理 , 于是 令 ,则 . 设 , 则 . 当 时, ,此时 单调递减, 当 时, ,此时 单调递增, 则 , 从而 , 但 处取等条件为 ,与 取得最小值的条件不一致, 故 ,即矩形 的周长大于 . 学科网（北京）股份有限公司 $