解析几何 A专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

解析几何 专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 若双曲线 的虚轴长为实轴长的 倍,则 的离心率为 ( ) A. B. 2 C. D. 2. 已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为 12，到 轴的距离为 9 , 则 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 3. 点 到直线 距离的最大值为 ( ) A. 1 B. C. D. 2 4. 已知曲线 ,从 上任意一点 向 轴作垂线 为垂足,则线段 的中点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 5. 已知过点 且与圆 相切的两条直线的夹角为 ,则 ( ) A. 1 B. C. D. 6. 已知椭圆 的左顶点为 ,点 均在 上,且关于 轴对称. 若直线 的斜率之积为 ,则 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 7. 设 为双曲线 上两点,下列四个点中,可为线段 中点的是 () A. B. C. D. 8. 已知椭圆 分别为两个焦点, 为原点, 为椭圆上一点. 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是_____u3. A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内,则直线 与圆 相离 C. 若点 在圆 外,则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上,则直线 与圆 相切 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,左、右顶点分别为 ,以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 两点. 若 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C. 的离心率为 D. 当 时,四边形 的面积为 11. 设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交 于点 ,过点 作直线 的垂线,交点为 ,过点 且垂直于 的直线交 于点 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则 _____. 13. 已知点 和抛物线 ,过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点. 若 ,则 _____. 14. 已知椭圆 的上顶点为 ,两个焦点分别为 ,离心率为 . 过点 且垂直于 的直线与 交于 两点, ,则 的周长是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知 和 为椭圆 上的两点. (1)求 的离心率； (2)若过点 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 9，求 的方程. 16. (本小题满分 15 分) 已知点 关于坐标原点 对称, 过点 且与直线 相切. (1)若点 在直线 上，求 的半径. (2)是否存在定点 ，使得当点 运动时， 为定值？并说明理由. 17. (本小题满分 15 分) 设抛物线 的焦点为 ,点 ,过点 的直线交 于 两点. 当直线 垂直于 轴时, . (1) 求 的方程. (2)设直线 与 的另一个交点分别为 ，记直线 的倾斜角分别为 . 当 取得最大值时,求直线 的方程. 18. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆的下顶点为 ,右顶点为 . (1)求椭圆的标准方程. (2)已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 . (i) 设 ,求点 的坐标; (用 表示) (ii) 设 为坐标原点, 是 上的动点,直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍,求 的最大值. 19. (本小题满分 17 分) 已知双曲线 ,点 在 上, 为常数, ,按照如下方式依次构造点 ,过点 的斜率为 的直线与 的左支交于点 ,令点 为点 关于 轴的对称点,记点 的坐标为 . (1) 若 ,求 ; ( 2 )证明:数列 是公比为 的等比数列； (3)设 为 的面积,证明: 对任意的正整数 . 一、选择题 1. D 解析 因为 , 所以 . 所以 ,即 , 故答案选 D. 2. C 解析 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有 , 于是 ，故答案选 C. 3. B 解析 由 可知直线过定点 ,设 , 当直线 与 垂直时,点 到直线 的距离最大, 此时 . 故答案选 B. 4. A 解析 设 ,则 . 由中点坐标公式得 . 因为点 在曲线 上, 所以 , 故线段 的中点 的轨迹方程为 ,故答案选 A. 5. B 解析 (方法 1) 因为 , 即 ,可得圆心 ,半径 , 过点 作圆 的切线,切点为 . 因为 , 则 , 可得 则 , 故答案选 B. (方法 2) 同方法 1 可得圆心 ,半径 . 过点 作圆 的切线,切点为 ,连接 , 可得 , 则 . 由余弦定理得 而 , 于是 , 即 , 解得 , 所以 ，故答案选 B. (方法 3) 同方法 1 可得圆心 ，半径 , 若切线斜率不存在,则切线方程为 ,则圆心到切点的距离 ,不符合题意; 因此切线斜率存在,设切线方程为 , 即 , 则 ,整理得 ,且 . 设两切线斜率分别为 ,则 , 可得 , 所以 , 即 ,可得 , 则 . 因为 ,则 ,解得 , 故答案选 B. 6. A 解析 设 ,则 ,而 则 , 故 . 又 ,则 , 所以 ,即 , 所以椭圆 的离心率 . 故答案选 A. 7. D 解析 设 ,则 的中点 , 可得 . 因为 在双曲线上,则 两式相减得 , 所以 . 对于 ,可得 ,则直线 , 联立 消去 得 , 此时 , 所以直线 与双曲线没有交点,故 错误. 对于 ,可得 ,则直线 联立 消去 得 , 此时 , 所以直线 与双曲线没有交点,故 错误. 对于 ,可得 ,则直线 为双曲线的渐近线, 所以直线 与双曲线没有交点,故 错误. 对于 ,因为 ,则直线 联立 消去 得 , 此时 ,故直线 与双曲线有两个交点, 故 D 正确. 故答案选 D. 8. B 解析 因为 ①， 由余弦定理得 . 即 ②, 联立①②解得 ， 而 , 所以 . 故答案选 B. 二、选择题 9. (多选) ABD 解析 圆心 到直线 的距离 若点 在圆 上,则 , 所以 , 则直线 与圆 相切,故 正确. 若点 在圆 内,则 , 所以 , 则直线 与圆 相离，故 正确. 若点 在圆 外,则 , 所以 , 则直线 与圆 相交,故 错误. 若点 在直线 上,则 , 所以 , 则直线 与圆 相切,故 正确. 故答案选 ABD. 10. (多选) ACD 解析 不妨设渐近线为 ,点 在第一象限， 由 易知 , 于是 是平行四边形且 和 垂直于 轴, 所以 ,即 正确, 且显然 B 错误. 由 正确可知 ,则 ,故 C 正确. 因为四边形 的面积 ,故 D 正确. 故答案选 ACD. 11. (多选) ACD 解析 由抛物线定义可知 ,故 正确. 当 轴时,易知 , 所以 , 故 B 错误. 当 不与 轴垂直时,设直线 ,则直线 , 所以 . 联立 可得 , 由韦达定理得 , 所以 . ,故 C 正确. 由题易知 , 所以 所以 , 当 与 轴垂直时取等号,故 D 正确. 故答案选 ACD. 三、填空题 12. 5 解析 由题意得渐近线方程为 , 从而 ,故答案为 5 . 13. 2 解析 设 , 则 所以 , 从而 . 设 中点为 , 分别过点 作准线 的垂线,垂足分别为 , 则 为梯形 的中位线, 从而 . 因为 , 从而 而 为垂足,从而点 与点 重合. 因为 ,所以 , 则 ,即 ,故答案为 2 . 14. 13 解析 由 得 , 于是 , 可得椭圆的方程为 . 不妨设左焦点为 ,右焦点为 ,则 ,且 , 从而 为正三角形. 由 过点 且垂直于 可知 为线段 的垂直平分线, 于是 , 从而直线 的方程为 . 代入椭圆方程，整理化简可得 于是 从而 ,所以 . 由 为线段 的垂直平分线,根据对称性得 , 于是 的周长等于 的周长. 利用椭圆的定义得到 的周长为 故答案为 13 . 四、解答题 15. 解析 (方法 1)(1) 由题意得 , 将点 坐标代入椭圆方程解得 , 从而 . (2)由(1)可知椭圆 的方程为 ， 当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,易知此时 , 点 到直线 的距离为 3, 则 ,矛盾. 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , 联立直线与椭圆的方程,可得 则 , 从而有 而点 到直线 的距离 , 从而 , 解得 或 , 从而直线 的方程为 或 . (方法 2) (1) 同方法 1. (2)由题意可得 ，而 ， 故点 到直线 的距离为 . 因为直线 ,故点 在直线 或 上, 将其与椭圆方程 联立， 解得 或 , 从而直线 的方程为 或 . 16. 解析 (1)因为 过点 , 所以圆心 在 的垂直平分线上. 因为点 在直线 上,且 两点关于坐标原点 对称, 所以点 在直线 上,故可设 . 因为 与直线 相切, 所以 的半径为 . 由已知得 ，而 ， 可得 ，解得 或 ， 故 的半径 或 . (2)存在定点 ，使得 为定值,理由如下: 设 ,由已知得 的半径为 由于 ,可得 , 化简得点 的轨迹方程为 . 因为曲线 是以点 为焦点,以直线 为准线的抛物线, 所以 . 从而 ,于是点 即为所求. 17. 解析 (1) 当 轴时, , 于是 , 解得 ,从而 的方程为 . (2)设 ， ， ， ， 当 与 轴垂直时,由对称性可知 也与 轴垂直,此时 ,则 . 当 不与 轴垂直时,由 (1) 可知 , , 则 . 又 三点共线, 则 ,即 , 从而 , 有 ,即 ,同理有 , 从而 . 由题意可知,直线 的斜率不为 0,设直线 , 与抛物线联立,得 , 从而 , 所以 , 于是 与 符号相同,有 , 从而 取得最大值当且仅当 取得最大值, 而 ,当且仅当 时取得最大值, 此时 而直线 的方程为 , 即 , 代入化简可得直线 的方程为 . 18. 解析 (1) 由题意得 , 所以 . 因为 ,且 , 解得 , 所以椭圆方程为 . (2)(i)设 ， 所以 . 又由共线得 , 则 . 所以点 的坐标为 . (ii) 因为 整理得 ,即点 在以点 , -4) 为圆心,半径为 的圆上运动, 所以 . 而点 在椭圆 上,故可设为 , 则 当 ,即点 ,且 三点共线,点 在射线 上时取到最大值,此时 ,所以 . 19. 解析 (1)因为点 在 上, 所以 ,从而 . 过点 且斜率为 的直线方程为 ,即 联立 解得 或 故 ,即 . (2)由题意得 ，为点 关于 轴的对称点, 而直线 的斜率为 , 从而 , ①. 而点 均在双曲线上, 故有 两式相减可得 . 将①代入得 ②. 由②一①整理可得 , 所以数列 是公比为 的等比数列. (3)记 ，而 ，则 ， 由(2)知 ， 而 ,故 , 从而 于是 , 同理计算可得 , 从而 ,有 , 于是有 . 学科网（北京）股份有限公司 $