函数与导数 B 专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

函数与导数 专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1. 函数 的单调递增区间是 ( ) A. B. C. D. 2. 设 为奇函数,且当 时, ,则当 时, ( ) A. B. C. D. 3. Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 ,其中 为最大确诊病例数. 当 时,标志着已初步遏制疫情,则 约为 ( ) A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 4. 已知函数 在区间 上单调递增,则 的最小值为 ( ) A. B. e C. D. 5. 已知函数 有唯一零点,则 ( ) A. B. C. D. 1 6. 若过点 可以作曲线 的两条切线,则 ( ) A. B. C. D. 7. 设函数 ,若 ,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 1 8. 若实数 满足 ,则 的大小关系不可能是 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 设函数 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. 是 的极小值点 B. 当 时, C. 当 时, D. 当 时, 10. 若函数 既有极大值也有极小值,则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C. D. 11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 ,若 , 均为偶函数,则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知函数 ,若 ,则 13. 写出一个同时具有下列性质 ①②③ 的函数 :_____. ① ； ② 当 时， ； ③ 是奇函数. 14. 已知 和 分别是函数 的极小值点和极大值点. 若 ,则 的取值范围是 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 . (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围. 16. (本小题满分 15 分) 已知函数 . (1) 设 是 的极值点. 求 的值,并求 的单调区间; (2) 证明: 当 时, . 17. (本小题满分 15 分) 已知函数 为 的导数. 证明: (1) 在区间 上存在唯一极大值点； (2) 有且仅有 2 个零点. 18. (本小题满分 17 分) 已知函数 . (1)讨论 的单调性； (2)设 为两个不相等的正数，且 ，证明: . 19. (本小题满分 17 分) (1)求函数 在 上的最大值； (2)给定 和 ,证明: 存在 ,使得 ; (3)设 ，若存在 使得 对 恒成立，求 的最小值. 一、选择题 1. D 解析 的定义域为 , 而 在 上单调递减, 在 上单调递增, 由 单调递增可知 的单调递增区间为 ,故答案选 D. 2. D 解析 当 时, , 从而 , 故答案选 D. 3.(全国Ⅲ卷(文／理)2020-T4) C 解析 因为 , 所以 , 则 , 所以 , 解得 ,故答案选 C. 4. C 解析 在 上恒成立,显然 ,所以 恒成立. 设 ,则 ,所以 在 上单调递增, 从而 ,即 ,故答案选 C. 5. C 解析 因为 , 设 ,则 . 因为 ,所以函数 为偶函数. 若函数 有唯一零点, 则函数 有唯一零点, 根据偶函数的性质可知, 为 的唯一零点,即 是函数 的唯一零点, 所以 ,解得 . 故答案选 C. 6. D 解析 在曲线 上任取一点 , 求导得 , 所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 由题意可知,点 在直线 上,可得 . 令 ,则 . 当 时, ,此时函数 单调递增, 当 时, ,此时函数 单调递减, 所以 ,作出函数 的图象如图所示. 由题意可知,直线 与曲线 有两个交点,故 ,故答案选 D. 7. C 解析 (方法 1) 由题意可知 的定义域为 , 令 ,解得 , 令 ,解得 , 则当 时, , 故 ,所以 ; 当 时, , 故 ,所以 ; 故 ,即 , 则 , 当且仅当 时,等号成立, 所以 的最小值为 ,故答案选 C. (方法 2) 由题意可知 的定义域为 , 具有零点 ,且在零点处变号, 从而若 ,则 也在 处变号,从而 ,即 , 则 ,当且仅当 时,等号成立, 所以 的最小值为 ,故答案选 C. 8. B 解析 (方法 1:特殊值法) 设 , 则 . 分别取 时,可以排除 ACD 选项. 故答案选 B. (方法 2) 由于 , 利用换底公式可得 ,即 令 ,则要比较 的大小,只要比较 的大小即可. 在同一坐标系下作出 的图象,不难发现 以及 均是可能的,因此答案为 B. 二、选择题 9. (多选) ACD 解析 对于 , 在 和 上 单调递增,在 上 单调递减, 故 是函数 的极小值点,故 正确. 对于 ,当 时, , 又 在 上单调递增, 则 ,故 B 错误. 对于 ,当 时, , 又 在 上单调递减, 则 , 即 ,故 正确. 对于 ,当 时, , 则 ,故 正确. 故答案选 ACD. 10. (多选) BCD 解析 函数 的定义域为 , 求导得 . 因为函数 既有极大值也有极小值,则 在 上有两个变号零点, 而 ,因此方程 有两个不等的正根 , 于是 即有 , 从而 ,即 , 故 A 错误, BCD 正确, 故答案选 BCD. 11. (多选) BC 解析 (方法 1: 对称性和周期性的关系研究) 对于 ，因为 为偶函数， 所以 , 即 ①, 所以 ,所以 的图象关于直线 对称,则 ,故 正确. 对于 ，因为 为偶函数， ,所以 的图象关于直线 对称. 由 ① 求导以及 ,得 , 即 , 则 , 所以 , 所以 的图象关于点 对称. 因为 的定义域为 ,所以 , 结合 的图象关于直线 对称, 从而周期 , 所以 ,故 正确, 错误. 若函数 满足题设条件,则函数 ( 为常数) 也满足题设条件,所以无法确定 的函数值，故 A 错误. 故答案选 BC. (方法 2: (最优解) 特殊值, 构造函数法) 由方法 1 知 的周期为 2，其图象关于直线 对称，故可设 ，则 ,显然 错误, 正确. 故答案选 BC. (方法 3) 因为 均为偶函数,所以 , 即 , 所以 , 则 ,故 正确. 因为函数 的图象分别关于直线 对称, 又 ,且函数 可导, 所以 , 所以 , 所以 , 所以 ,故 B 正确, D 错误. 若函数 满足题设条件,则函数 ( 为常数) 也满足题设条件,所以无法确定 的函数值, 故 A 错误. 故选 BC. 三、填空题 12. e 解析 由 可得 , 于是 ,有 , 故 ,故答案为 . 13. (答案不唯一) 解析 取 , 则 , 满足①. ,当 时有 ,满足②. 的定义域为 . 又 ,故 是奇函数，满足③. 故答案为 . (答案不唯一, )均满足) 14. 解析 (方法 1) , 由题意得 有两个零点 , 由 为极大值点可知在 上 ,故 , 从而 在 上单调递减, 且存在唯一零点 , 则 在 上单调递增,在 , 上单调递减. 由题意得 , 即 , 即 ,于是 , 则 ,即 , 于是 ,即 ,从而 , 故答案为 . (方法 2) 因为 , 所以方程 的两个根分别为 , 即方程 的两个根分别为 , 即函数 与函数 的图象有两个不同的交点. 因为 分别是函数 的极小值点和极大值点, 所以函数 在 和 上递减，在 上递增， 所以当 时， 0,即 的图象在 图象的上方, 当 时, ,即 的图象在 图象的下方. 当 时,图象显然不符合题意,所以 . 令 , 则 , 设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 , 则切线的斜率为 , 故切线方程为 , 则 ,解得 , 则切线的斜率为 . 如图，因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点, 所以 ,解得 . 又 ，所以 ， 故答案为 . (方法 3) . 方程 的两个根分别为 . 因为 分别是函数 的极小值点和极大值点, 所以函数 在 和 上递减，在 上递增. 设函数 , 则 , 若 ,则 在 上单调递增,此时若 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,此时若有 和 分别是函数 的极小值点和极大值点,则 ,不符合题意. 若 ,则 在 上单调递减,此时若 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减, 令 ,则 ,此时若有 和 分别是函数 且 1) 的极小值点和极大值点,且 ,则需满足 即 , 故 , 所以 . 故答案为 . 四、解答题 15. 解析 (1) 当 时， , 则 , 所以切线方程为 , 即 . (2)求导得 ， 若 ,则 单调递增,无极值, 不符合题意； 若 ,在 上 单调递减，在 上 单调递增， 则 有极小值 , 由题意得 , 即 . 令 , 则 , 从而 单调递增, 于是由 可得 . 16. 解析 的定义域为 , 则 . 由题设知, ,所以 . 从而 . 在 上, 单调递减; 在 上, 单调递增. (2)(方法 1)当 时， . 设 ,则 , 在 上, 单调递减; 在 上, 单调递增. 故 ,从而 . (方法 2) 因为 , 所以 在区间 上单调递增. 设 ,当 时, , 当 时， ， 所以 , 所以 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,且 , 所以 . 设 , 则 , 所以 在区间 上单调递减, 故 ,即 成立. (方法 3) 要证 时 , 即证 ,则证 成立. 令 ,则 . 令 ,则 , 由 知 在区间 , 上单调递减, 从而 在 上单调递增,在区间 , 上单调递减. 所以 ,而 , 所以 恒成立,原命题得证. 17. 解析 (1) . 当 时, 单调递减, 而 , 故 在 内有唯一零点,设为 , 则当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, 故 在 内存在唯一极大值点 . (2) 的定义域为 . (i) 当 时,由 (1) 知, 在 , 上单调递增,而 ,从而 , 故 在 上单调递减,又 ,从而 是 在 内的唯一零点. (ii) 当 时,由 (1) 知, 在 上单调递增,在 上单调递减, 而 , 所以存在 ,使得 , 在 上, 单调递增,在 上, 单调递减. 又 , 所以当 时, . 从而 在 上没有零点. (iii) 当 时, ,所以 单调递减. 而 , 所以 在 上有唯一零点. (iv) 当 时, , 所以 , 从而 在 上没有零点. 综上, 有且仅有 2 个零点. 18. 解析 (1) 函数 的定义域为 , 在 上, 单调递增, 在 上, 单调递减. (2)因为 ， 故 , 即 ,故 . 设 ,由 (1) 不妨设 . 因为当 时, ,当 时, , 故 . 先证 . 若 必成立. 若 ,要证 ,即证 , 而 , 即证 , 即证 ,其中 . 设 , 则 因为 ,故 , 故 , 所以 , 故 在 上单调递增, 所以 , 故 , 即 成立, 所以 , 综上, 成立. 再证 . 设 ,则 , 结合 可得 即 , 故 . 要证 ,即证 , 即证 , 即证 , 即证 . 令 , 则 . 由 可得当 时, ,故 恒成立, 故 在 上为减函数, 故 , 故 成立, 即 成立. 综上所述， . 19. 解析 (1) , 因为 ,故 ,故 , 当 时, 即 , 当 时, 即 , 故 在 上为增函数,在 上为减函数， 故 在 上的最大值为 (2)由余弦函数的性质知 的解为 若每个 与 的交集都为空, 则对每个 ,必有 或 之一成立. 此即 或 ,但长度为 1 的闭区间 上必有一整数 ,该整数 不满足条件, 矛盾. 故存在 ,使得 成立. (3)记 ， 因为 故 为周期函数且周期为 , 故只需讨论 的情况. 当 时, , 当 时, , 此时 , 令 ,则 , 而 故 . 当 ,在 (2) 中取 ,则存在 ,使得 , 取 ,则 , 取 即 , 故 ,故 , 所以 ,可取 使得等号成立. 综上, . 学科网（北京）股份有限公司 $