概率与统计 B专题练习-2026届高三数学二轮复习

概率与统计 B专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 如图,将钢琴上的 12 个键依次记为 ,设 ,若 且 ,则称 为原位大三和弦; 若 且 ,则称 为原位小三和弦. 用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( ) C. 10 A. 5 B. 8 D. 15 2. 为了解某地农村经济情况, 对该地农户家庭年收入进行抽样调查, 将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图: 根据此频率分布直方图, 下面结论中不正确的是 ( ) A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3. 在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为 ,且 ,则下面四种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是 ( ) A. B. C. D. 4. 某学校举办作文比赛, 共 6 个主题, 每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文, 则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 ( ) A. B. C. D. 5. 的展开式中 的系数是 ( ) A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 6. 某物理量的测量结果服从正态分布 ,下列结论中不正确的是 ( ) A. 越小，该物理量在一次测量中结果在 的概率越大 B. 该物理量在一次测量中结果大于 10 的概率为 0.5 C. 该物理量在一次测量中结果小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等 D. 该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等 7. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行,则 2 个 0 不相邻的概率为 ( ) A. B. C. D. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲、乙、 丙比赛获胜的概率分别为 ,且 . 记该棋手连胜两盘的概率为 , 则 ( ) A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛, 最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛, 最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛, 最大 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 有一组样本数据 ,其中 是最小值, 是最大值,则下列说法中正确的是 ( ) A. 的平均数等于 的平均数 B. 的中位数等于 的中位数 C. 的标准差不小于 的标准差 D. 的极差不大于 的极差 10. 下图为某地区 2012-2024 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图. ( 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 ) 根据该折线图可知，该地区 2012-2024 年 ( ) A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C. 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 11. 信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 所有可能的取值为 ,且 ,定义 的信息熵 . 则下列说法中正确的是 ( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 随着 的增大而增大 C. 若 ,则 随着 的增大而增大 D. 若 ,随机变量 所有可能的取值为 ,且 ,则 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 在如图 的方格表中选 4 个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_____种选法，在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是_____. 13. 的展开式中,各项系数的最大值为_____. 14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5, 7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸 (单位:cm). 下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸: 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10,13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 , 其中 为抽取的第 个零件的尺寸, . (1)求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (若 ,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小) (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (i) 从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查? (ii) 在 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差. (精确到 0.01) 附:样本 的相关系数 , . 16. (本小题满分 15 分) 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异, 经过大量调查, 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 未患病者 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值 ,将该指标大于 的人判定为阳性,该指标小于或等于 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为 ; 误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为 . 假设数据在组内均 匀分布, 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率 时，求临界值 和误诊率 ； (2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值. 17. (本小题满分 15 分) 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 (卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例 (称为病例组), 同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人 (称为对照组), 得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人， 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件 “选到的人患有该疾病”, 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 . (i) 证明: ; (ii) 利用该调查数据,给出 的估计值,并利用(i) 的结果给出 的估计值. 附: . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18.(本小题满分 17 分)为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效, 为此进行动物试验. 试验方案如下: 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠, 随机选一只施以甲药, 另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后, 再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题, 约定: 对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得 0 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为 . (1)求 的分布列. (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, 表示“甲药的累计得分为 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 ,其中 . 假设 (i) 证明: 为等比数列; (ii) 求 ,并根据 的值解释这种试验方案的合理性. 19. (本小题满分 17 分) 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来, 设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数, . (1) 已知 ,求 ; (2)设 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率， 是关于 的方程 的最小正实根,求证: 当 时, ,当 时, ; (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 一、选择题 1. C 解析 满足原位大三和弦和原位小三和弦时, 由 唯一确定,且 , 故每一种和弦 均有 5 种选择,故共 种，故答案选C. 2. C 解析 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为 , 故 A 正确. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为 ,故 正确. 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 (万元),超过 6.5 万元，故 C 错误. 该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比率估计值为 ,故 D 正确. 故答案选C. 3. B 解析 (方法 1)对于 ,该组数据的平均数 方差 对于 ,该组数据的平均数 , 方差为 对于 ,该组数据的平均数 , 方差为 对于 ,该组数据的平均数 , 方差为 因此, B 选项这一组的标准差最大, 故答案选 B. (方法 2)易知四个选项的均值都为 2.5 , 由直观判断数据围绕均值分布的离散程度大小可知答案选 B. 4. A 解析 (方法 1)易知所有情况一共有 种,不同主题有 种, 故所求概率为 ,故答案选 A. (方法 2)不妨设甲选择 1 号主题, 则乙共有六种选择，其中五种与甲不同， 故所求概率为 ，故答案选 A. 5. D 解析 (方法 1) 的展开式中 的系数是 . 因为 且 , 则 以此类推, ,故答案选 D. (方法 2) 1]，展开式中 的系数是 ， 故答案选 D. 6. D 解析 对于 ,因为 为数据的方差，所以 越小,数据在 附近越集中, 所以测量结果落在 内的概率越大, 故 A 正确. 对于 ,由正态分布的对称性可知该物理量一次测量结果大于 10 的概率为 0.5 , 故 B 正确. 对于 ,由正态分布的对称性可知该物理量一次测量结果大于 10.01 的概率与小于 9.99 的概率相等，故 C 正确. 对于 D，因为该物理量一次测量结果落在 (9.9,10.0) 的概率与落在 的概率不同,所以一次测量结果落在 的概率与落在(10，10．3)的概率不同，故 D 错误. 故答案选 D. 7. C 解析 (方法 1) 所有的排列共有 种排法,若 2 个 0 不相邻,利用插空法,4 个“ 1 ”产生 5 个“空”,则有 种排法, 故所求概率为 ,故答案选 C. (方法 2) 考虑反面,若 2 个 0 相邻,则易知有 5 种排法,而所有的排列总共有 种, 故所求概率为 ,故答案选 C. 8. D 解析 该棋手连胜两盘，则第二盘必须获胜, 分别记该棋手在第二盘与甲，乙，丙比赛，且连胜两盘的概率为 , 则 同理 , 则 即 ,从而 错误, 正确,故答案选 D. 二、选择题 9. (多选) BD 解析 对于 ,取样本为1,1,1,1,1,2, 则两组数据平均数不同，故 A 错误. 对于 ,不妨设 ,则可知 的中位数与 的中位数均为 ,故 正确. 对于 ,因为 是最小值, 是最大值,则 , 的波动性有可能不大于 的波动性,即 的标准差不大于 , 的标准差, 例如取样本为2,4,6,8,10,12,则 , 的标准差 的标准差 ,显然 ,故 错误. 对于 ,不妨设 ,则 ,故 D 正确. 故答案选 BD. 10. (多选) AD 解析 由图可以看出两条曲线均在上升，故 A 正确. 图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同,差额逐年增大,故 错误, 正确. 从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量, 故 C 错误. 故答案选 AD. 11. (多选) 解析 对于 ,若 ,则 , 所以 ,故 正确. 对于 ,若 ,则 ,所以 从而当 与 时, 相同,故 B 错误. 对于 ,若 ,则 从而 随着 的增大而增大,故 正确. 对于 , 而 , 故 , 所以 ,故 错误. 故答案选 AC. 三、填空题 12. 24,112 解析 (方法 1)每行和每列均恰有一个方格被选中, 则第一列有 4 个方格可选, 第二列有 3 个方格可选, 第三列有 2 个方格可选, 第四列有 1 个方格可选, 所以共有 种选法; 每种选法可标记为 分别表示第一、二、三、四列的数字, 则所有的可能结果为: 所以选中的方格中, 这 4 个数之和最大,为 , 故答案为 24,112 . (方法 2)第一空同方法 1，对于第二空，容易发现每一行从左到右，和每一列从上到下，数字都在变大, 且每行每列只能取一个数字, 第四列若取 44 , 第四行其他数字均不能选取, 而如第一列, 最大只能选 13 ，但反之第四列若取 43，第一列可以取 15， 总和可以更大，同时观察到第二列和第三列均有重复的数字, 因此变化比第一列和第四列慢, 按照以上的规律,可以选得 为最大. 故答案为24,112. 13. 5 解析 (方法 1) 由于展开式通项公式为 且 , 设展开式中第 项系数最大, 则 解得 . 又 ,得 ,故展开式中系数最大的项是第 9 项,且该项系数为 . 故答案为 5 . (方法 2) 设 ,对于 , 10，有 ， 当 时, ; 当 时, , 因此 , 故展开式各项系数中的最大值为 . 故答案为 5 . (方法 3) 设 ,对于 , 有 当 时, ; 当 时, , 因此 , 故展开式各项系数中的最大值为 . 故答案为 5 . 14. 解析 不妨假设甲的出牌顺序为 , 7),则乙对应的顺序有 种. 若甲得 3 分,则乙的出牌顺序为 ,共 1 种, 若甲得 2 分,则乙的出牌顺序为 , , , ,共 11 种, 故所求概率 ,故答案为 . 四、解答题 15. 解析 (1) 由于 ,可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (2)(i)由于 ，从样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在 3s)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. (ii)剔除离群值, 即第 13 个数据, 剩下数据的平均数为 , 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02 . 因为 1591.134, 剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为 ,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 . 16. 解析 (1)患者指标位于 的概率为 5 ,所以 , 由 得 , 此时 . (2)当 时， 当 时, , 故 当 100 时取得最小值 0.02 . 17. 解析 , 故有 99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i) (ii) 由已知 , 又 , 所以 . 18. 解析 (1) 由题意可知 的所有可能取值为 -1,0,1, 故 的分布列为: -1 0 1 (2)由(1)可得 (i) , 即 , 整理可得 , 故 , 从而 是以 为首项, 4 为公比的等比数列. (ii) 由 (i) 知 , 累加得 ,故 , 从而 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为 0.5 ,乙药治愈率为 0.8 时,认为甲药更有效的概率为 0.0039 , 此时得出错误结论的概率非常小, 说明这种实验方案合理. 19. 解析 (方法 1) (1) (2) 设 , 因为 , 故 . 若 ,则 , 故 . 而 , 故 故 有两个不同零点 ,且 , 且当 时, ; 当 时, ; 故 在 和 上为增函数,在 上为减函数. 若 ,因为 在 上为增函数且 , 而当 时，因为 在 上为减函数,故 , 故 1 为 的最小正实根. 若 ,因为 且在 上为减函数, 故 1 为 的最小正实根, 综上,若 ,则 . 若 ,则 , 故 . 此时 故 有两个不同零点 ,且 , 当 时, ; 当 时, ; 故 在 和 上为增函数,在 上为减函数, 而 ,故 , 又 ,故 在 上存在一个零点 ,且 . 所以 为 的最小正实根,此时 , 故当 时, . (3)意义:若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1 ，则若干代后必然灭绝；若繁殖后代的平均数超过 1 ，则若干代后被灭绝的概率小于 1 . (方法 2)(1) 同方法 1 ; (2)设 ， 因为 , 故 易知 恒为 的零点. 设 , 若 ,则 , 故 , 所以 , 又 ,所以 的两个零点中一个小于 0,另一个大于等于 1,因此 . 若 ,则 , 故 , 所以 , 又 ,所以 的两个零点中一个小于 0，另一个在 0 和 1 之间，因此 . (3)同方法 1 . 学科网（北京）股份有限公司 $