概率与统计 A专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

概率与统计 A专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为 ( ) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况,用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生, 已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生,则不同的抽样结果共有 ( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 的学生喜欢足球或游泳, 的学生喜欢足球,82% 的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( ) A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 4. 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数,则这 2 个数互质的概率为 ( ) A. B. C. D. 5. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ,各成员的支付方式相互独立,设 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, ,则 ( ) A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D.0.3 6. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训,每名志愿者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不同的分配方案共有 ( ) A. 60 种 B. 120 种 C. 240 种 D. 480 种 7. 的展开式各项的系数中最大的是 ( ) A. 的系数 B. 的系数 C. 的系数 D. 的系数 8. 有 6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取 1 个球, 甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1 ”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2 ”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8 ”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7 ”, 则 ( ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列统计量中,能度量样本 的离散程度的是 ( ) A. 样本 的标准差 B. 样本 的中位数 C. 样本 的极差 D. 样本 的平均数 10. 随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 ,样本方差 ,已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ,假设推动出口后的亩收入 服从正态分布 ,则 (若随机变量 服从正态分布 ,则 ) A. B. C. D. 11. 在信道内传输 0,1 信号,信号的传输相互独立. 发送 0 时,收到 1 的概率为 , 收到 0 的概率为 ; 发送 1 时,收到 0 的概率为 ,收到 1 的概率为 . 考虑两种传输方案: 单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 1 次, 三次传输是指每个信号重复发送 3 次. 收到的信号需要译码, 译码规则如下: 单次传输时, 收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码. (例如,若依次收到1,0,1,则译码为 1)下列说法中正确的是 ( ) A. 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为 B. 采用三次传输方案,若发送 1,则依次收到1,0,1的概率为 C. 采用三次传输方案,若发送 1,则译码为 1 的概率为 D. 当 时,若发送 0,则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0 的概率 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课,学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课,并且每类选修课至少选修 1 门,则不同的选课方案共有_种. (用数字作答) 13. 的展开式中常数项是_. (用数字作答) 14. 有 8 张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这 8 张卡片中随机抽出 3 张,则抽出的 3 张卡片上的数字之和与其余 5 张卡片上的数字之和相等的概率为_. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度, 进行如下试验: 将 200 只小鼠随机分成 两组,每组 100 只,其中 组小鼠给服甲离子溶液, 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图: 甲离子残留直方图 乙离子残留直方图 记 为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”,根据直方图得到 的估计值为 0.70 . (1)求乙离子残留百分比直方图中 的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值. (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 16. (本小题满分 15 分) 为研究某疾病与超声检查结果的关系, 从做过超声检查的人群中随机调查了 1000 人,得到如下列联表: 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声检查结果不正常者患该疾病的概率为 ,求 的估计值; (2)根据小概率值 的独立性检验,分析超声检查结果是否与患该疾病有关。 附: . 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. (本小题满分 15 分) 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量, 将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据 , ,其中 和 分别表示第 个样区的植物覆盖面积 (单位: 公顷) 和这种野生动物的数量,得到相关数据 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值;(这种野生动物数量的估计值等于样区内这种野生动物数量的平均数乘以地块数) (2)求样本 的相关系数; (精确到 0.01 (3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大. 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由. 附:相关系数 . 18. (本小题满分 17 分) 盒中有标记数字1,2,3,4的小球各 2 个,随机一次取出 3 个小球. (1)求取出的 3 个小球上的数字两两不同的概率; (2)记取出的 3 个小球上的最小数字为 ,求 的分布列及数学期望 . 19. (本小题满分 17 分) 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的命中率均为 0.8 . 由抽签确定第 1 次投篮的人选, 第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 . (1)求第 2 次投篮的人是乙的概率. (2)求第 次投篮的人是甲的概率. (3)若随机变量 服从两点分布,且 , 则 . 记前 次 (即从第 1 次到第 次) 投篮中甲投篮的次数为 ,求 . 一、选择题 1. B 解析 将这些数据从小到大排列可得: 10 , 12,14,14,16,20,24,30,40, 故中位数为 16 , 故答案选 B. 2. D 解析 因为初中部共抽取 人,高中部共抽取 人, 故不同的抽样结果共有 种, 故答案选 D. 3. C 解析 由容斥原理, 同时喜欢足球和游泳所占比例为 , 故答案选 C. 4. D 解析 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数, 共有 21 种不同的取法, 考虑反面,若两数不互质,不同取法有 , ,共 7 种, 故所求概率 ,故答案选 D. 5. B 解析 由题意得 ,故 ,从而 或 , 又 ,即 ,故 , 从而 ,故答案选 B. 6. C 解析 等同于看成将 5 个不同的球 (志愿者)放入 4 个不同的盒子(项目),考虑先分组再排序的策略. 根据题意,有一个项目分配 2 名志愿者,其余各项目分配 1 名志愿者, 可以先从 5 名志愿者中任选 2 人,组成一个小组,有 种选法;然后分配给 4 个项目,不同的排列方法数有 种, 根据乘法原理,共有 种不同的分配方案,故答案选C. 7. B 解析 (方法 1) 通项 . , 设第 项的系数最大, 则 由 得 即 ,解得 . 由 得 即 ,解得 . 又 ,故 ,展开式各项的系数中最大的是第 8 项, , 即 的系数最大,故答案选 B. (方法 2) 对于 ,令 - ,解得 , 因此 , 故展开式各项系数中的最大值为 - ,故答案选 B. (方法 3) 对于 ,令 ,解得 , 因此 , 故展开式各项系数中的最大值为 - ,故答案选 B. 8. B 解析 因为 , 所以 , , , , 故答案选 B. 二、选择题 9. (多选) AC 解析 由标准差的定义可知, 标准差反映的是数据的离散程度. 由中位数的定义可知, 中位数反映的是数据的集中趋势. 由极差的定义可知, 极差反映的是数据的离散程度. 由平均数的定义可知,平均数反映的是数据的平均趋势. 故答案选 AC. 10. (多选) BC 解析 由题意可知, ,所以 , 故 ,故 正确, 错误. 因为 , 所以 , 因为 ,所以 , 而 ,故 B 正确, A 错误. 故答案选 BC. 11. (多选) ABD 解析 对于 ,由于每次传输独立, ,故 A 正确. 对于 ,由于每次传输独立, ,故 B 正确. 对于 ,则译码为 1 表示收到 2 个 1 或 3 个 1 . 由 可知 ,故 C 错误. 对于 ,同 可知,采用三次传输方案译码为 0 的概率为 , 而采用单次传输方案译码为 0 的概率为 ,而 , 因此 ,即 ,故 正确. 故答案选 ABD. 三、填空题 12. 64 解析 (1)从 8 门课中选修 2 门,不同的选课方案共有 种; (2)从 8 门课中选修 3 门, ①若体育类选修课 1 门,则不同的选课方案共有 种; ②若体育类选修课 2 门,则不同的选课方案共有 种; 综上所述,不同的选课方案共有 64 种, 故答案为 64 . 13. 240 解析 . 令 ,得 ,故展开式中常数项是 ,故答案为 240 . 14. 解析 从 8 张卡片中随机抽出 3 张,共有 种情况, 因为 ,所以要使抽出的 3 张卡片上的数字之和与其余 5 张卡片上的数字之和相等,则抽出的 3 张卡片上的数字之和应为 18,有8,7,3或8,6,4或7,6,5共 3 种,故所求概率为 ,故答案为 . 四、解答题 15. 解析(1)由题意得 ,解得 , 而 ,解得 . (2)由直方图可得,甲离子残留百分比的平均值为 乙离子残留百分比的平均值为 16. 解析 (1)超声检查结果不正常的有 200 人, 其中患病的有 180 人,所以 . (2) 所以可以认为超声检查结果与患该疾病有关. 17. 解析 (1) 样区内这种野生动物数量的平均数为 ,地块数为200, 所以该地区这种野生动物的估计值为 . (2) (3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,由于各地块间植物覆盖面积差异很大, 从而各地块间这种野生动物的数量差异很大, 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性, 提高了样本的代表性, 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 18. 解析 (1)所有情况共有 种, 要使得数字两两不同, 先确定 3 个不同数字的小球,有 种方法,然后每种小球各取 1 个,有 种取法, 故 . (2)由题意可知, 的可能取值为1,2,3, 当 时,分为两种情况: 只有一个数字为 1 的小球、有两个数字为 1 的小球, 所以 . 当 时,分为两种情况: 只有一个数字为 2 的小球、有两个数字为 2 的小球, 所以 . 当 时,分为两种情况: 只有一个数字为 3 的小球、有两个数字为 3 的小球, 所以 . 所以 的分布列为 1 2 3 9 14 所以 . 19. 解析 (1)记“第 次投篮的人是甲”为事件 ,“第 次投篮的人是乙”为事件 , 则 . (2)设 ,由题意得 , 则 , 即 +0.2, 从而 , 于是 , 故 . (3)由(2)可知 学科网(北京)股份有限公司 $