不等式与数列 B专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

不等式与数列 专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A. -2 B. C. 1 D. 2. 已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15,且 ,则 ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 下列函数中最小值为 4 的是 ( ) A. B. C. D. 4. 设 是等比数列,且 ,则 ( ) A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 5. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ； ， ,依此类推,其中 ,则 ( ) A. B. C. D. 6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所, 分上、中、下三层, 上层中心有一块圆形石板 (称为天心石), 环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环, 向外每环依次增加 9 块, 下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块, 向外每环依次也增加 9 块. 已知每层环数相同, 且下层比中层多 729 块, 则三层共有扇面形石板 (不含天心石) ( ) A. 3669 块 B. 3474 块 C. 3402 块 D. 3339 块 7. 已知函数 ,若当 时, ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 8. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列 ,其中第一项是 ,接下来的两项是 ,再接下来的三项是 ,依此类推. 求满足如下条件的最小整数 且该数列的前 项和为 2 的整数幂,那么该款软件的激活码是 ( ) A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 记 为等比数列 的前 项和, 的公比为 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 10. 若 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 11. 设正整数 ,其中 , ,记 ,则 ( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 以 表示数集 中最大的数. 设 ,已知 或 ,则 的最小值为_____. 13. 将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ,则 的前 项和为_____. 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时, 发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折, 规格为 的长方形纸,对折 1 次共可以得到 两种规格的图形,它们的面积之和 ,对折 2 次共可以得到 , 三种规格的图形,它们的面积之和 ,以此类推,则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_____；如果对折 次，那么 _____ . 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 . (1)求不等式 的解集； (2)若不等式 的解集非空，求实数 的取值范围. 16. (本小题满分 15 分) 已知 为等差数列, 的前 项和, . (1)求 的通项公式； (2)证明:当 时， . 17. (本小题满分 15 分) 已知实数 满足 . (1)证明: ； (2)证明: . 18. (本小题满分 17 分) 已知数列 的首项不为零,前 项的和为 ,满足 . (1) 证明: ; (2) 若 ,证明: ; (3)是否存在常数 ，使得 是等比数列? 若存在，求出 的所有可能值; 若不存在，说明理由. 19. (本小题满分 17 分) 设 为正整数，数列 是公差不为 0 的等差数列,若从中删去两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组,且每组的 4 个数都能构成等差数列,则称数列 是 一可分数列. (1)写出所有的 ，使数列 是 一可分数列； (2)当 时,证明:数列 是(2,13)一可分数列； (3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ,证明: . 一、选择题 1. D 解析 (方法 1) 因为 , 故 ,故答案选 D. (方法 2) 因为 , 故 , 从而 ,故答案选 D. 2. C 解析 设 的公比为 , 则 解得 从而 ,故答案选 C. 3. C 解析 对于 ,当且仅当 时取等号,所以其最小值为 3,故 A 错误. 对于 ,因为 ,由 的单调性可知,当 时 取得最小值 5,故 B 错误. 对于 ,因为 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以其最小值为 4 , 故 C 正确. 对于 ,当 时, ,故 错误. 故答案选 C. 4. D 解析 设 的公比为 , 则 , 于是 , 故答案选 D. 5. D 解析 (方法 1: 不等式性质法) 因为 , 所以 ,得到 , 同理 ,可得 . 又因为 ,故 . 以此类推,可得 , 即 的奇数项单调递减,偶数项单调递增,且偶数项总小于奇数项, 从而 ,故 A 错误. 因为 ,故 B 错误. 因为 ,故 错误; 因为 ,故 正确. 故答案选 D. (方法 2: 特殊值验证法) 由于 ,可取特殊值 , 则有 , 同理可得 , 结合各选项进行比较, 只有选项 D 中的大小关系正确, 故答案选 D. 6. C 解析 设第 环天心石块数为 ,第一层共有 环, 则 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， 故 . 设 为 的前 项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为 . 因为下层比中层多 729 块,所以 ,整理得 ,解得 , 所以 , 故答案选C. 7. B 解析 当 时， 当 时, ,此时 所以 ,不符合题意. 当 时, ，有两个零点 ， 从而若当 时， 恒成立， 则有 ,解得 , 故答案选 B. 8. A 解析 由题意可知该数列的前 项的和为 , 于是若 ,则有 , 即 , 且 . 由于 ,而 ,故有 , 而 , 有 ,从而当 时, ,此时 ,故答案选 A. 二、选择题 9. (多选) AD 解析 由已知条件可得 ,即 , 又 ,则 ,故 , 所以 , 所以 ,故答案选 AD. 10. (多选) BC 解析 由 可得 ,解得 , 当且仅当 时, ,当且仅当 时, ,故 A 错误, B 正确. 由 可得 ,解得 , 当且仅当 时取等号,故 正确. 取 ,则 ,故 错误. 故答案选 BC. 11. (多选) 解析 (方法 1) 对于 - , 所以 ,故 A 正确. 对于 ,取 - ,故 , 而 ,则 ,即 ,故 错误. 对于 ,因为 ,所以 . 因为 ,所以 , 因此 ,故 正确. 对于 ,因为 ,故 ,故 D 正确. 故答案选 ACD. (方法 2) 由题意, 为 在二进制表示 下的各数位之和, 对于 ,因为 ,故 ,故 正确. 对于 ,取 ,则 1 , 故 B 错误. 对于 ,因为 ,故 , 故 C 正确. 对于 ,因为 (共 个 1 ),故 ,故 D 正确. 故答案选 ACD. 三、填空题 12. 解析 令 ,其中 ,则 设 , 则 若 ,则 , 故 , 故 ,则 . 若 ,则 ,即 故 ,则 . 取 符合题意,且此时 . 综上, 的最小值为 ,故答案为 . 13. 解析 由题意可知 是以 1 为首项、以 6 为公差的等差数列, 故 , 故答案为 . 14. 解析 (1) 由对折 2 次共可以得到 三种规格的图形, 所以对折 3 次可以得到 ; ，共 4 种不同规格(单位: )； 故对折 4 次可得到 ，共 5 种不同规格(单位: ). (2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半, 故各次对折后的图形, 不论规格如何, 其面积构成公比为 的等比数列,首项为 , 第 次对折后的图形面积为 , 对于第 次对折后的图形的规格形状种数,根据( 1 )的过程和结论，猜想为 种(证明从略)， 故猜想 , 设 则 两式作差得 , 因此, . 故答案为 . 四、解答题 15. 解析 当 时, 无解, 当 时, 的解集为 , 当 时, 恒成立, 综上, 的解集为 . ( 2 )令 ，则由题意，存在 使得 ,从而 . 由 (1) 知, 当 时, 的图象开口向下,对称轴方程为 , 于是 . 当 时, 的图象开口向下,对称轴方程为 , 于是 . 当 时, 的图象开口向下，对称轴方程为 ， 于是 . 综上, , 从而 的取值范围为 . 16. 解析 (1)设等差数列 的公差为 , 而 则 , 于是 解得 , 故 . (2)由(1)知 ， (i) 当 为偶数时, , 当 时, ,因此 . (ii)当 为奇数时, 1) , 当 时, ,因此 . 综上,当 时, . 17. 解析 (1)因为 ,则 , 从而有 (2) . 18. 解析 (1) 由 得 , 即 ,从而 . (2)由 和 得 ， 而 ，所以 . 由 得 且 , 所以 , 于是 , 从而 ,故 . (3)若存在常数 ，使得 是等比数列，不妨设其公比为 , 则 , 即 , 于是 . 从而有 . 若 ,则 ,矛盾, 故 ,则 为常数, 于是 , 于是 . 特别地, , 又 ,解得 或 , 当 时, 符合题意, 故存在常数 ,使得 是公比为 -1 的等比数列. 19. 解析 由等差数列的性质,不妨 , (1)由题意，要在1,2,3,4,5,6中删去 2 项，使得余下的数构成等差数列, 则公差只能为 1 , 从而保留的只能是1,2,3,4或2,3,4,5或 3, 4,5,6,对应的 为 . (2)当 时,去掉 2，13 后，前 14 项分为 4， ，为等差数列， 其余的按相邻四个为一组,即 ,也为等差数列, 从而 是 一可分数列. (3) 总的选取方式有 种， 首先,当 时, 剩余部分可分组为 , 其中每一组均是公差为 1 的等差数列,故数列是 可分的,此时共有 种. 其次,当 时,同(2)可知剩余部分可分组为 其中中间三部分是公差为 的等差数列, 首尾两部分是公差为 1 的等差数列, 故数列是 可分的,此时共有 种, 综上,可分的数列至少有 种, 于是 . 学科网（北京）股份有限公司 $