不等式与数列专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

不等式与数列 专题练习-2026届高三数学二轮专题复习 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 记 为等差数列 的前 项和. 若 ,则 的公差为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知等比数列 的前 3 项和为 ,则 ( ) A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 3. 不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. 4. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 ( ) A. -20 B. -15 C. -10 D. -5 5. 设 为等差数列 的前 项和,若 ,则 ( ) A. -12 B. -10 C. 10 D. 12 6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍, 则塔的顶层共有灯 ( ) A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盡 D. 9 盏 7. 在数列 中, ,若 ,则 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 位于数轴上 处的质点沿数轴匀速运动,经过 个单位时间,质点所处位置的坐标记为 . 已知 ,则质点初始位置的坐标 可以是 ( ) A. -54 B. -46 C. 46 D. 54 10. “ 0-1 周期序列” 在通信技术中有着重要应用. 若序列 满足 ,且存在正整数 ,使得 成立,则称其为 “ 周期序列”,并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期. 对于周期为 的“ 0 -1 序列” 是描述其性质的重要指标. 下列周期为 5 的 “ 序列” 中,满足 的序列是 ( ) A. B. 11011... C. 10001... D. 11000... 11. 已知 ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 _____. 13. 记 为数列 的前 项和,若 ,则 _____. 14. 数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似值: “约率” 与“密率” . 它们可用 “调日法”得到: 称小于 3.1415926 的近似值为弱率,大于 3.1415927 的近似值为强率. 由 ,取 3 为弱率,4 为强率,得 ,故 为强率,与上一次的弱率 3 计算得 ,故 为强率,继续计算……若某次得到的近似值为强率,与上一次的弱率继续计算得到新的近似值; 若某次得到的近似值为弱率, 与上一次的强率继续计算得到新的近似值,依此类推,已知 ,则 _____; _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知 是各项均为正数的等比数列, . (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和. 16. (本小题满分 15 分) 设 ,函数 . (1)求不等式 的解集； (2)若曲线 与 轴所围成的图形的面积为 2，求 . (2)若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围. 17. (本小题满分 15 分) 已知数列 满足 (1) 记 ,写出 ,并求数列 的通项公式; (2)求 的前 20 项和. 的解集; 19. (本小题满分 17 分) 设数列 满足 . ) 解集包含 ,求 的取值范围. (1)证明: 为等差数列； (2)设 ，求 . 一、选择题 1. C 解析 设数列 的公差为 ,由题意可得 , 联立 解得 ,故答案选 C. 2. D 解析 设 的公比为 , 若 ,则 ,与题意矛盾, 所以 , 则 解得 所以 ,故答案选 D. 3. C 解析 (方法 1) 因为 等价于 ,即 , 所以不等式的解集为 . 故答案选 C. (方法 2)1 显然不在解集内，故排除 A，0 显然在解集内，排除 B，D. 故答案选 C. 4. B 解析 设 ,则 ,故 为等差数列,该等差数列的公差为 ,可得 ,则 , 则 ,即 , 故答案选 B. 5. B 解析 设 的公差为 , 则 解得 ,所以 -10，故答案选B. 6. A 解析 因为 为等比数列 的前 项和，所以 ， ， 成等比数列， 而 ,故 , 从而 ,故答案选 A. 7. B 解析 设塔顶有 盏灯,由题意得 是公比为 2 的等比数列, 故 ,解得 . 故答案选 B. 8. C 解析 在等式 中,令 ,可得 ,即 , 故数列 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 . 所以 , 所以 ,解得 ,故答案选 C. 二、选择题 9.(多选) BD 解析 设质点的速度为 ,则 ,从而 , 解得 ,从而 , 故答案选 BD. 10. (多选) CD 解析 由题意得 , 对于 ,故 A 错误. 对于 ,故 B 错误. 故答案选 CD. 11. (多选) ABD 解析 对于 ,因为 ,从而 ,故 A 正确. 对于 ,因为 ,从而 ,故 B 正确. 对于 ,取 ,则 ,故 C 错误. 对于 ,因为 ,从而 ,故 D 正确. 故答案选 ABD. 三、填空题 12. 100 解析 由题意得 解得 从而 ,故答案为 100 . 13. -63解析 由 可得 +1 , 两式相减得 , 即 , 当 时, ,解得 , 所以数列 是以 -1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 从而 ,故答案为 -63 . 14. 解析 因为 为强率, >3.1415927,即 为强率; 从而 ,即 为强率; 从而 ,即 为强率; 从而 ,即 为强率,且 ; 从而 ,即 为弱率; 从而 . 故答案为 . 四、解答题 15. 解析 (1)设 的公比为 , 由 知 , 而 , 所以 , 解得 (舍去) 或 ,故 . (2)因为 为等差数列， 故 . 16. 解析 (1)若 ,则 , 解得 , 若 ,则 ,解得 , 综上,不等式的解集为 . (2) 画出 的大致图象,如图. 则 的图象与 轴围成的图形为 ,其中 , 从而 边上的高为 , 解得 或 (舍去). 17. 解析 (1) 由题设可得 又 , 故 ,即 , 故 . (2)设 的前 20 项和为 ， 因为 , 所以 18. 解析 (1) 当 时,由 得 . 当 时,有 ,无解; 当 时,有 ,解得 ; 当 时,有 ,解得 . 综上, 的解集为 (2)当 时， . 所以 的解集包含 ,等价于当 时, . 又由二次函数的单调性可知, 在 上的最小值必为 或 , 所以 且 ,解得 . 所以 的取值范围为 . 19. 解析 (1) 由题意得 , 则 , 所以 是以 1 为公差的等差数列. (2)因为 ， 所以 , 所以 . 因为 ①, ②， 由①-②得 令 , 则 则 . 学科网（北京）股份有限公司 $