三角函数专项突破版寒假作业02与对称性有关的ω的范围与最值问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版02 ——与对称性有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的对称性（对称轴、对称中心）求ω的解题策略： 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 二、典例讲解 例1、若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的性质知，其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心，所以，又，故当时，，所以的最小值为，故选：C． 例2、若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数， 将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3， 因此，的最小值为3，所以B正确.故选：B. 例4、已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴，，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8．故选：C． 例5、已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，由函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，得或， 解得或则，所以实数的取值范围是，故答案为：. 小结： 基本步骤：①明确对称性类型（对称轴/对称中心），写出对应的核心等式（如对称轴需，对称中心需）；②将对称轴或对称中心横坐标代入解析式，得（）；③若有定义域限制，需确保在定义域内，列出关于ω的不等式；④解等式与不等式，结合及等约束，确定ω的取值范围 （1）解题技巧： 1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. （2）常用结论： 若关于x=a对称，则（k∈Z）； 若关于点(a,0)对称，则（k∈Z）； 相邻对称轴/对称中心的间距为，对称轴与相邻对称中心间距为，可结合间距条件求ω. 【跟踪练习02】 一、单选题 1、已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则.故选：A 2．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用变换得出曲线的方程，再结合正弦型函数的性质可得. 【详解】由题意可知，曲线：， 因为曲线关于轴对称，所以，即， 又，所以的最小值是. 故选：D 3．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到，若的图象关于原点对称， 若为奇函数，则，解得，且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 4．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称，则， 所以，，解得，，又，所以的最小值为4， 故选：A 5．已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知正弦函数关于对称，得出，求出表达式，再利用的范围确定的值． 【详解】，图象关于对称，， ，解得，，，故A正确． 故选：A． 6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由函数和的关系可以求得的一条对称轴，即可求解. 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，.因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A 7．设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可. 【详解】因为，所以.的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数，因为曲线关于直线对称， 所以，，解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 9．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，，当时，. 正弦函数的对称轴满足（），要使在内恰有三条对称轴， ，，，，因此， 正弦函数的零点满足（），要使在内恰有两个零点， 则，，，因此， 联立两式：，解得. 故选：C 二、多选题 10．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】ABD 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得，由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，综上，，又关于直线对称，所以，解得，，在的范围内，满足条件的值为和和。 11．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 【详解】函数化简得， 由，可得函数的对称轴为， 由题意知，且，即，，若使该不等式组有解， 则需满足，即，又，故，即，所以，又， 所以或，所以． 三、填空题 12、已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义，则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，，故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为.故答案为:. 13．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为 . 【答案】 【分析】根据函数图象的平移可得，即可由对称性求解． 【详解】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以．因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为，所以， 即，所以，所以，又，所以． 14．将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】先利用平移变换法则求得解析式，然后根据正弦函数对称中心列式求得，即可得解. 【详解】将函数图像向左平移个单位长度，得到， 由题意，所以，当时，. 故答案为：（答案不唯一，只要满足即可） 15．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，求解不等式即可. 【详解】当时，，当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围是． 16．已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，将图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称，则 ，的最小正值为 【答案】 4 / 【分析】由周期求出，利用图象平移后关于y轴对称求出. 【详解】由题意得的最小正周期，得， 则．因为函数的图象关于y轴对称， 所以，得的最小正值为. 故答案为：①4；②. 17．已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为 ． 【答案】 【分析】由正弦函数的最小正周期公式确定，再代入点，结合正弦函数的性质可得答案. 【详解】根据题意，，因为，所以，所以．又函数的图象关于点中心对称，所以，所以，，所以，． 因为，所以，解得，又，所以，故． 18．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是 【答案】 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用对称性列方程求得，即可得解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即，又因为曲线关于原点对称，所以，，解得，，因为， 所以当时，取得最小值，的最小值是. 19．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由的范围确定的范围，再根据余弦型函数的图像特征求解出的范围即可. 【详解】当时，，由函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，得或 解得或则，所以实数的取值范围是， 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版02 ——与对称性有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的对称性（对称轴、对称中心）求ω的解题策略： 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围. 二、典例讲解 例1、若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2、若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例4、已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 例5、已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 小结： 基本步骤：①明确对称性类型（对称轴/对称中心），写出对应的核心等式（如对称轴需，对称中心需）；②将对称轴或对称中心横坐标代入解析式，得（）；③若有定义域限制，需确保在定义域内，列出关于ω的不等式；④解等式与不等式，结合及等约束，确定ω的取值范围 （1）解题技巧： 1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. （2）常用结论： 若关于x=a对称，则（k∈Z）； 若关于点(a,0)对称，则（k∈Z）； 相邻对称轴/对称中心的间距为，对称轴与相邻对称中心间距为，可结合间距条件求ω. 【跟踪练习02】 一、单选题 1、已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 2．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 5．已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 7．设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 9．设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B． C．5 D． 11．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（      ） A． B． C． D． 三、填空题 12、已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 13．已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为 . 14．将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为 15．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 16．已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，将图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于y轴对称，则 ，的最小正值为 17．已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为 ． 18．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是 19．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $