精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高一年级期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题所给的选项中只有一个是正确答案. 1. 已知集合，，则的子集个数为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 集合，，那么“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A. （） B. C （） D. （） 4. 函数的部分图象如图所示，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列选项正确的是（  ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 6. 已知是上的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，若有4个不同实根，设4个不同实根，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） （参考数据：） A. B. 若，且扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，扇形半径，则此时的扇形面积为 10. 下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若对任意实数，都有意义，则实数k的取值范围是 11. 设函数，其中a，b，c为的三边，且满足，，，，．下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则对任意，，，都能构成一个三角形的三边边长 B. 若，则的零点大于1 C. ， D. 若为直角三角形，则， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______（用含有，式子表示）. 13. 已知，则________. 14. 若函数，在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______________. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题共15分，18、19题共17分，共77分，解答应写出演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的值域及单调递增区间. 17. 已知函数 （1）求的最大值及对应的的集合； （2）求在上单调递增区间； 18. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性并证明. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高一年级期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题所给的选项中只有一个是正确答案. 1. 已知集合，，则的子集个数为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的运算可得：,再由集合子集的个数运算可得解. 【详解】解：由已知得：， ， 则, 即的子集个数为， 故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算及集合子集的个数，属基础题. 2. 集合，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程求出两个集合，再利用充分不必要条件的定义求解即可. 【详解】令，解得，所以， 令，解得或，所以， 当时，一定成立，故充分性成立， 当时，不一定成立，故必要性不成立， 即”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A 3. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A. （） B. C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 4. 函数的部分图象如图所示，则可以是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合函数定义域、奇偶性及当时值情况判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，， 函数是偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意，A不是； 对于B，函数的定义域为，图象不过原点，不符合题意，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，函数是奇函数， 图象关于原点对称，当时，的图象恒在函数的上方，恒有，符合题意，C是； 对于D，当时，，则， 而函数在上的取值集合是， 因此函数在上无最大值，不符合题意，D不是. 故选：C 5. 已知函数，则下列选项正确的是（  ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期的定义、对称轴的定义，结合换元法、正弦型函数的最值性质、单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为 ， 所以不是函数的一个周期，因此本选项说法不正确； B：因为 ， 所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确； C：令， 则， 对两边同时平方，得 ，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，当时，函数取得最大值， 因为， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此本选项说法不正确； D： 当时，， 所以函数单调递减，且， 由上可知：函数的对称轴为，所以该函数在上先增后减， 因为函数在上不单调，所以本选项说法不正确. 故选：B 6. 已知是上的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若令，则，再将代入中化简，再结合偶函数的定义可得时的函数关系式. 【详解】当时，，则. 【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 7. 若函数，若有4个不同实根，设4个不同实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象和直线，由图可得的关系与性质，从而得结论． 【详解】作出函数的图象，再作出直线，如图， 由图可得，，因此， ∴， 故选：D． 8. 设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得或，作出函数的图象，将原方程三个不同的实数根转化为方程有两个解，方程有且只有一个解，数形结合求解即可. 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知， 要使方程有三个不同的解， 需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） （参考数据：） A. B. 若，且扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用扇形面积公式来求解各选项即可. 【详解】对于A，因为与所在扇形的圆心角分别为，， 所以，故A正确： 对于B，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， C. “”是“”充分不必要条件 D. 若对任意实数，都有意义，则实数k的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由基本不等式代入计算，即可判断A，由函数的奇偶性代入计算，即可判断B，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题即可判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，即时，等号成立， 又，所以，故A错误； 对于B，设，则，所以， 且是定义在上的偶函数，则，故B正确； 对于C，“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，由条件可得恒成立， 当时，恒成立，符合题意， 当时，，解得， 综上，实数k的取值范围是，故D正确； 故选：AC 11. 设函数，其中a，b，c为的三边，且满足，，，，．下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则对任意，，，都能构成一个三角形的三边边长 B. 若，则的零点大于1 C. ， D. 若为直角三角形，则， 【答案】BD 【解析】 【分析】取特值，不符合三角形两边之和大于第三边即可判断A；先解得零点，再利用对数函数性质判断范围判断B；化简函数，判断符号即可判断C；化简函数，即可判断D. 【详解】A，，，，当时，，，， 因为，所以不能构成三角形的三边边长，A错误． B，当时，， 由，得，解得， 又，则，因此， 所以当时，函数的零点大于1，B正确． C，由，，得，， 又，则当时， ，C错误． D，由为直角三角形，得， ， 当且仅当时取等号，D正确． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______（用含有，式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】因为，所以. . 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：3. 14. 若函数，在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】通过化简得到，结合正弦函数的图象列不等式即可求出答案. 【详解】 ， 当时，， 又在上有且仅有两个零点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题共15分，18、19题共17分，共77分，解答应写出演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式、指数不等式求集合，再应用集合的交并补运算求集合； （2）根据已知有，讨论、求参数范围. 【小问1详解】 由，即， 由，即， 所以，且，则. 【小问2详解】 由题设， 若，即时，满足要求； 若，即时，则，故， 综上，. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的值域及单调递增区间. 【答案】（1） （2）值域，增区间为 【解析】 【分析】（1）由两角差的余弦定理结合辅助角公式可得，据此可得周期； （2）由正弦函数值域及单调区间可得答案. 【小问1详解】 因为 所以 因为，所以的最小正周期为π； 【小问2详解】 当，时，，则，，有最大值为， 当，时，，则，，有最小值为， 所以的值域为 当时，解得 得的单调递增区间为. 17 已知函数 （1）求的最大值及对应的的集合； （2）求在上的单调递增区间； 【答案】（1），此时的集合为 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解； （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案. 【小问1详解】 解：当，即时， ，所以，此时的集合为； 【小问2详解】 令， 则， 又因，所以在上单调递增区间为. 18. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性并证明. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心； （2）根据单调性定义证明即可. 【小问1详解】 设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则，即， 整理得， 可得，解得，所以的对称中心为． 【小问2详解】 函数在上单调递增； 证明如下：任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析 （2） （3）答案和理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合“伪奇函数”的定义判断即可； （2）令结合对数运算可知在有解，可得出的取值范围，再由在时恒成立，可得出，综合可得出实数的取值范围； （3）由在上有解，可化为在上有解，令，可知在有解，令，，对的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，，则， 故函数是“伪奇函数”． 【小问2详解】 令，则， 可得，可得， 即在有解， 而，则，所以，则， 又因为在时恒成立，所以，则，即， 因此实数的取值范围为． 【小问3详解】 当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 因为，则， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， 函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在上单调递增， 此时只需，解得， 此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，解得，此时. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $