精品解析：广东省深圳市高级中学初中部2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

深圳市高级中学2025－2026学年第一学期期末测试 初三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡写上学校、班级、姓名、准考证号、座号，条形码按要求粘贴在答题卡上指定区域． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（ ） A 2倍 B. 3倍 C. 倍 D. 倍 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 6. 在紫憩水吧，小深通过将固体糖溶入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁．然后，将四杯糖水关键信息绘制如图：轴为糖水质量，轴为含糖浓度（固体糖质量与糖水质量之比）．乙、丁两点恰好在同一反比例函数图象上．则含固体糖质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则_____． 10. 在锐角三角形中，若满足，则_____． 11. 当时，二次函数中随的增大而减小，则可能是_____．（写出一个即可） 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 13. 如图，中，为线段上一点（不与、重合），连接，在内部作线段，使得，连接，则_____． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 深中大桥（如图1）是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥．在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图2是其设计的测量示意图．已知桥塔垂直于桥面，测角仪、在两侧，垂直于桥面，，点与点相距（点，，在桥面所在直线上），在处测得桥塔顶点的仰角为，在处测得桥塔顶点的仰角为．求桥塔的高度（参考数据：，结果精确到）． 16. 东校区为课程建设打造了基于“AI学习空间＋校内实践基地＋校外实践基地”的项目式学习新平台，其中校内实践基地包括：“紫·耘农场”“紫·膳厨房”“紫·憩水吧”“紫·护养殖基地”（分别记作，，，），某班同学采取小组合作的方式参与实践基地学习．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫·憩水吧”的概率为_____； （2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的实践基地．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小深代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小高代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组实践基地不同的概率． 17. 小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 （1）小益通过分析表格数据发现，是函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （2）根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． （3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由． 18. 下面是小高同学设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程： 已知：如图1，是直角三角形，，是中点．求作：点，使得四边形是矩形．作法：①作射线； ②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点； ③连接、，所以四边形为矩形，点即为所求． 根据小高同学设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，图1中补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形是矩形； （3）如图2，在矩形的边、上各有一点、，且经过中点，请在、上各找一点、，使得四边形为菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）． 19. 【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 图1 【定义】将二次函数图像上任意一点的横、纵坐标同乘实数，得到新的点称为点的“倍位似点”，连接二次函数图像上所有点的“倍位似点”所形成的曲线称为二次函数的“倍位似曲线”． 【探究】“探思社”的同学对二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”进行了探究： 上的点 … … 对应“倍位似点” … … 对应“倍位似点” … … （1）①列表：填写表格，其中点的坐标为_____； ②描点：将二次函数图像上点所对应的“倍位似点”与“倍位似点”分别描在下面的图与图中； ③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”． 【发现】（2）①发现：的“倍位似曲线” 的表达式为：_____； 的“倍位似曲线” 的表达式为：_____； ②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为_____； ③验证：请用证明验证你的猜想． 【拓展应用】（3）若二次函数：的顶点为，其所对应的“倍位似曲线” 与轴分别交于两点，若满足，请求出的取值范围． 20. 【综合与探究】 （1）小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形．连接对角线，经测量，小紫尝试用已学知识证明，以下是其思路与方法，请完成填空： 证明：如图3，作，，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴____________________， 且在与中，，， ∴， ∴____________________， ∴平分， ∴． （2）爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形中，，，对角线与交于点． ①图4中存在多对相似三角形，如：，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形； ②在图4中，若，，则求出值； 【变式拓展】 （3）如图4，若在（2）的四边形中有，为边上一动点，将沿翻折，点对应点为，射线交于点，其中，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市高级中学2025－2026学年第一学期期末测试 初三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡写上学校、班级、姓名、准考证号、座号，条形码按要求粘贴在答题卡上指定区域． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义解答即可得． 【详解】解：正六棱柱的主视图是， 故选：C． 2. 数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 3. 在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，根据题意，构造，则，解答即可． 本题考查了网格上计算正切函数值，熟练掌握定义，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 根据题意，构造， 则， 故选：B． 4. 如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 6. 在紫憩水吧，小深通过将固体糖溶入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁．然后，将四杯糖水关键信息绘制如图：轴为糖水质量，轴为含糖浓度（固体糖质量与糖水质量之比）．乙、丁两点恰好在同一反比例函数图象上．则含固体糖质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 根据题意可知的值为糖水中含糖质量，再根据各点与图象的位置分析判断即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知的值为糖水中含糖质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数图象上， ∴乙、丁两瓶糖水的含糖质量相同； ∵点甲在反比例函数图象的下方，点丙在反比例函数图象的上方， ∴甲瓶的值最小，即含糖质量最少，丙瓶的值最大，即糖水中含糖质量最大． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则作答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到； 再向上平移1个单位长度，得到． 故选：B． 8. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设身高GE=h，CF=l，AF=a， 当x≤a时， 在△OEG和△OFC中， ∠GOE=∠COF（公共角），∠AEG=∠AFC=90°， ∴△OEG∽△OFC， ∴， ∵a、h、l都是固定的常数， ∴自变量x的系数是固定值， ∴这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线； ∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大． 故选A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 【详解】解：由已知=，交叉相乘得， 两边同除以，得． 故答案为． 10. 在锐角三角形中，若满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，绝对值和偶次方的非负性，三角形内角和，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 在锐角三角形中，，， ∴． 故答案为：． 11. 当时，二次函数中随的增大而减小，则可能是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性． 根据二次函数的性质可知当时，随的增大而减小，根据题意求出，进而作答即可． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 即． 故可取． 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 13. 如图，中，为线段上一点（不与、重合），连接，在内部作线段，使得，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，过点作，交的延长线于点，证明，可得，再推出，可得，再利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， 根据勾股定理可得， ， 故答案为： 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 或 ； 【小问2详解】 解：原方程两边同乘以4，得 ． 15. 深中大桥（如图1）是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥．在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图2是其设计的测量示意图．已知桥塔垂直于桥面，测角仪、在两侧，垂直于桥面，，点与点相距（点，，在桥面所在直线上），在处测得桥塔顶点的仰角为，在处测得桥塔顶点的仰角为．求桥塔的高度（参考数据：，结果精确到）． 【答案】桥塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 连接交于点，则，由题意得，，再设，则，然后根据相等可得方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，则， 由题意得：，， 设，则， 在中，， ． 在中，， ， ， 解得：， ， ， 桥塔的高度约为． 16. 东校区为课程建设打造了基于“AI学习空间＋校内实践基地＋校外实践基地”的项目式学习新平台，其中校内实践基地包括：“紫·耘农场”“紫·膳厨房”“紫·憩水吧”“紫·护养殖基地”（分别记作，，，），某班同学采取小组合作的方式参与实践基地学习．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫·憩水吧”的概率为_____； （2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的实践基地．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小深代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小高代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组实践基地不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫·憩水吧”的概率为； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 总共有16种等可能的结果，其中有12种结果符合两小组实践基地不同的要求， ∴这两个小组实践基地不同的概率为． 17. 小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 （1）小益通过分析表格数据发现，是的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （2）根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． （3）已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），当的长增大时，拉力减小 （3）小益不能成功 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数性质即可得到答案； （3）根据横杆总长为，，得出的长，求出此时需要的拉力的值，再与进行比较，即可判断． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 根据表中数据，可发现与的乘积为定值300， 关于的函数表达式为：． 当的长增大时，拉力减小，理由如下： 、都是正数， ∴这条曲线是反比例函数的一支， ， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 即当的长增大时，拉力减小． 【小问3详解】 横杆总长为，， ，即． 当时，， ， 小益不能成功． 18. 下面是小高同学设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程： 已知：如图1，是直角三角形，，是中点．求作：点，使得四边形是矩形．作法：①作射线； ②以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点； ③连接、，所以四边形为矩形，点即为所求． 根据小高同学设计的尺规作图过程完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，在图1中补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形是矩形； （3）如图2，在矩形的边、上各有一点、，且经过中点，请在、上各找一点、，使得四边形为菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目描述，使用直尺和圆规补全图形即可； （2）由，，得出四边形为平行四边形，再结合，即可得证； （3）连接并延长交于点，作的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接、、、，则四边形即为所作． 【小问1详解】 解：如图所示：四边形为矩形，点即为所求， ； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交于点，作的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接、、、，则四边形即为所作， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由线段垂直平分线的性质可得，， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19. 【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 图1 【定义】将二次函数图像上任意一点的横、纵坐标同乘实数，得到新的点称为点的“倍位似点”，连接二次函数图像上所有点的“倍位似点”所形成的曲线称为二次函数的“倍位似曲线”． 【探究】“探思社”的同学对二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”进行了探究： 上的点 … … 对应“倍位似点” … … 对应“倍位似点” … … （1）①列表：填写表格，其中点的坐标为_____； ②描点：将二次函数图像上点所对应的“倍位似点”与“倍位似点”分别描在下面的图与图中； ③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”． 【发现】（2）①发现：的“倍位似曲线” 的表达式为：_____； “倍位似曲线” 的表达式为：_____； ②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为_____； ③验证：请用证明验证你的猜想． 【拓展应用】（3）若二次函数：的顶点为，其所对应的“倍位似曲线” 与轴分别交于两点，若满足，请求出的取值范围． 【答案】（1）①；②见解析；③见解析； （2）①；； ②； ③验证见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意将的横纵坐标分别乘以即可； ②根据题中表格给出的坐标，分别在图和图中描出即可； ③在②的基础上分别用光滑的曲线顺次连接各点即可得到两个二次函数的图像． （2）①根据题中给出的点，利用待定系数法，先设出表达式，代入即可解得解析式； ②利用①得出的两个解析式，与进行对比，找到相同之处与不同之处，即可得出猜想结论； ③利用待定系数法，设的“倍位似曲线”的对应点为，代入中，整理即可得出结论． （3）先由推出两点的坐标，结合顶点的坐标表示出的表达式，最后根据题中给出的范围解出即可． 【详解】（1）解：①过点， 对应“倍位似点” 为， 故答案为：； ②③描点与连线如下图 （2）解：①设的表达式为， 把点、点、点代入得 ，解得， 的表达式为， 同理：的表达式为， ②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为； ③证明：设为二次函数对应的“倍位似曲线”上的任意一点， 则在二次函数图像上， ， ； （3）解：令， 或，即图像与轴交点为， 分别为，故， 又顶点为，即， ， ，即， 解得或， 或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，位似图形的坐标变化规律，二次函数的顶点式，二次函数的实际应用，掌握函数图像的画法及图形变换的规律等知识点是解题的关键． 20. 【综合与探究】 （1）小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形．连接对角线，经测量，小紫尝试用已学知识证明，以下是其思路与方法，请完成填空： 证明：如图3，作，，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴____________________， 且在与中，，， ∴， ∴____________________， ∴平分， ∴． （2）爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形中，，，对角线与交于点． ①图4中存在多对相似三角形，如：，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形； ②在图4中，若，，则求出的值； 变式拓展】 （3）如图4，若在（2）的四边形中有，为边上一动点，将沿翻折，点对应点为，射线交于点，其中，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）①，，，，；②； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质补全证明过程即可； （2）①根据可知、、、四点共圆，作出四边形的外接圆，根据圆周角定理及相似三角形的判定定理找出所有相似三角形即可； ②分别过点、作的垂线，垂足为、，根据勾股定理计算出，由三角形面积公式得出．容易判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出．容易证明，则． （3）根据（2）中的相似三角形可以得出，，从而求出和．根据点在上方或下方，分两类讨论．当点在下方时，作，垂足为，容易证明，从而求出和．在直角中，使用勾股定理构造方程，求出；点在上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：证明：如图3，作，，垂足分别为， ∵， ∴， ， ∴， 且在与中，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 即、、、四点共圆， 如图，作出四边形的外接圆， ∵，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案：，，，，； ②如图，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 由（2）可知，，， ∴， ∵ ∴，变形得，， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴， ①当点在下方时，如图，作，垂足为，设， 由折叠的性质可知，，，， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在直角中，，，， 由勾股定理可得，， 解得，， ∴； ②当点在上方时，如图，作，垂足为，设， 在直角中，， ∴， 同理①可得，，， 在直角中，，，， 由勾股定理可得，， 解得，， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $