广东省部分学校2025-2026学年高三1月综合练习数学试卷

绝密★启用前 高三年级上学期综合练习 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的： 1.已知集合A={0,1,2,3,4,B={xlx>√2{，则A∩B A.{xlx>√2} B.{0,1,2,3} C.{3,4} D.{2,3,4} 2 3-的实部为 C.1 D.0 3.某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》 《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选(《数书九章》，100人选《缀术》， 50人选《海岛算经》.若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感， 则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有 A.25 B.30 C.35 D.50 4.2x- 2/ 的展开式中x4的系数为 B.-2 C.168 D.-168 8 3 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=5,c=3,且osC=5,则△ABC的面积为 A.2 B.3 C.4 D.6 高三数学第1页（共4页） 已知等比数列a,的前n项和为S,若a+S,=2,a,+;+2a,=6,则0 a5+a7 1 1 1 1 .3 B. C.9 D. 12 7.已知函数f八x)=x-2a满足对任意x∈[3,5]，f(x+2a)·[f(x)]2+16f(x)≤0，则实数a的取值范 围为 阁+ [层小 c[3 &知椭圆C的无点分别为上上.直线与C交于A,6两点，h =3.若直线l 恒过x轴上定点P(非椭圆长轴端点)，当四边形AF,BF2的面积最大时，设△AF,P的内切圆半径 为r1,△AF2P的内切圆半径为r2,则r1-r2= A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知公差d不为0的等差数列{an的前n项和为Sn,且S,+Sg=34,a+a6+a,=12,则 A.a1=-1 B.d=1 C.8.-n是递减数列 D.当且仅当n=1时，Sn取得最小值 10巴知双前线C:号片1(>0)的左，右焦点分别为F,R,其中一条新近线的倾斜角为后，则下 2 列说法正确的有 23 A.m= 3 B.存在直线l交C于A,B两点，且线段AB的中点为P(3,1) 3 C.焦点到渐近线的距离为3 OF D若点Q满足QP=Q,4且02，测点Q的轨迹方程是=12 44 3 3 1 11.已知a=ln ,6=5.9 c=8d=30g,5则 (参考数据：e°≈1.445) A.a<d B.b>c C.c>a D.b>d 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a,b满足a-b=(2,3),a+b=(0,-1),若(ka+b)⊥b,则k= [-x2+2x+1,x≤0， 13.已知函数fx)= 则不等式x3)>4x)的解集是」 1og4(x+4),x>0, 14.已知三棱锥P-ABC的体积为V,PA⊥平面ABC,AB=2,BC=3.若三棱锥P-ABC的外接球的表面积 为36π，则当V取得最大值时，cos∠ABC= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)某校举办校园手工作品大赛，低年级组提交240件，高年级组提交260件.经评选，共有 10件作品获奖，其中金奖2件、银奖8件， (1)现从所有参赛作品中随机抽取1件，求抽到获奖作品的概率； (2)现有1名同学从这10件获奖作品中随机选取2件欣赏，设选到的金奖作品的数量为X,求X 的分布列及数学期望 16.(15分)将函数)=os(3xφ)0<4≤）的图象向左平移g个单位长度后得到函数()的图 象且- (1)求p; (2)求函数()与)的图象在区间π，23m 24’72 内的交点横坐标 高三数学第3页（共4页） 17.（15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD且PA=2,∠ABC=90°， AB∥CD,AB=2CD=2,E,F分别是线段PD,AC的中点. (1)证明：EF平面PAB; 2)若平面PEF与平面CEF夹角的余弦值为05，求5C (3)在(2)的条件下，求点A到平面PEF的距离. 18.（17分)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且斜率为k的直线与C交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，且x1x2=1. (1)求C的方程； (2)过点A作C的切线，交准线1于点Q,交x轴于点P(异于点Q),连接FQ,过点P作PH⊥AB, 垂足为H. 调g (i)当x1∈（0,1)时，求△PHF面积的最大值. 19.（17分)已知函数fx)=e2-ax2-(2e+1)x(a>0). (1)若a=2,求f八x)在区间[1,2]上的最值； (2)若fx)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围； (3)若a=1,函数g(闭=四-(e-3)(>0),证明：g()有且仅有2个零点，且2个零点之和小 3 高三数学第4页（共4页）高三年级上学期综合练习 数学参考答案及评分细则 1.【答案】D 【解析】B={xx>2},A=0,1,2,3,4{,故AnB={2,3,4.故选D. 2.【答案】A 【保桥片侣骨特宁宁则其实部为号放注入 3.【答案】C 【解析】选《九章算术)和《数书九章》的学生抽取的人数共有50x20t50=35.故选C. 500 4.【答案】C 【解折122友 的通为=c5(2(2 =C2-4(-）x.令7-3 6=4，解得k=2,故 7 的展开式中x的系数为C27-4·(-1)2=168.故选C. 5.【答案】A 【解析】由余弦定理得9=m2+h2-2 abeos C=a2+62-6 b=2516 ab=(a+h)216 ab,所以ab=5,△ABC的面积为 1 =2.故选A 6.【答案】A a3+53=2, 【解析】设an}的公比为g,因为 所以，+2a,=2 a4+a5+2a6=6,auta5t2a6=6, 式相除得，=3，所以把亨号故 选A. 7.【答案】D 【解析】因为f(x)=x-2a,所以由f(x+2a)·[f(x)]2+16(x)≤0，得(x+2a-2a)(x-2a)2+16(x-2a)≤0，得 x-2a≤0， x(x-2a)2+16(x-2a)≤0，得(x-2a)(x2-2ax+16)≤0对任意x∈[3,5]恒成立，所以 或 x2-2ax+16≥0， 「x-2a≥0， ( 对任意x∈[3,5]恒成立，所以 或 x,8 x2-2ax+16≤ 24.且 y=2+x1 K3利上单润送减在区同4，司上单别造增，当=4时位》=4当=时号是容 当=5时子-0名所以宁引名对框意e1侵)-名同)-所以≤a4故 选D. 高三数学第1页（共8页） 8.【答案】B 【解析】设直线1的方程为x=my+n,F,(-1,0)到直线1：x-my-n=0的距离为d,= 1-1-nl In+11 /+(-m)了√+m n+1 F2(1,0)到直线l:x-my-n=0的距离为d2= 1-nl-1-n,所以 d,√+m d,1-n =3,解得 +(-m)2√+m2 √+m 1 1 22 x=2 n=或n=2(舍去)，放P分0小当四边形4，B,的面积最大时，4B1:轴，联立 解得 或 (431, 35 4 35 不防取4在销上方点41刊可=,P35 4 4 3宁解得25以 35-335-51 88故选B. 9.【答案】AB(每选对1个得3分) [S,+Sg=7a a1=-1, 【解析】由题意 718,87=15a49=34. 解得 故A、B正确；an=-1+(n-1)×1= a5+a6+a2=3a,+15d=12, d=1, n-2,所以2-n= 2m=1(民+切，当n=1或2时，1仔+=（径2，则m不是递减数列，故C错误： n-2 s=2-1n-2)=2(a-3) 2n28,则当n=1或2时，S.都取最小值-1，放D错误故选AB. =1-329 10.【答案】BC(每选对1个得3分) 【解析】因为C的条新近线的颜斜角为所以受-号解得m一手故A结误：曲人知双鱼线6号 x22 =1 3 股直线的方程为h,4,B则无山，专作指得力十又P6.D 44 x1-x23y1+y2 3 所以x,+x2=6,y,+y2=2,则k=1,所以1的方程为x-y-2=0,经验证符合题意，故B正确：焦点到渐近线的距离 为m= ，故C正确：因为1Q5,-Q5,=4=2a,所以点Q的轨迹是双线C:号 23 =1的右支，又因为 44 3 高三数学第2页（共8页） 2所以g1‘0高>2期1k4,停利所以 45 1QF2I +y2<4,即 不码任-刂<4，解得-厅<35，又点Q在双通线c:香子1的右支上，所以2≤<35.所以点 Q的轨迹方程是二=1(2≤r<3,放D错误故选BC 44 1L.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解折1a=叫=eh子>h(o户e1,d=3bg子<3s31,故a>d,放A错误：比较6.c的大小关系，令 fx)=e-x-1,可知f'(x)=e-1,故当xe(-0,0)时，f'(x)<0,当xe(0,+o)时，f'(x)>0,故x)≥f0)=0,则 2+1当宜仅当0时等号成立，b55×-0.1+D；号3c故B正确：此较a,c的♪ 49E4e 小关系.设m()=宁-e山0)则m(=--,放当w,m>0,m单调莲 增，当0cr<6,m'()<0,m()单调递减.因此m()≥m(U同=-dn6=0.因此-ehn≥0，当且仅当 1、/312 时取等号，故22 -eln >0，即c>a,故C正确：由不等式的传递性，得b>d,故D正确.故选BCD. 3 12I答案)号 【解析】因为a-b=(2,3),a+b=(0,-1),所以a=(1,1),b=(-1,-2),由题意可得ka+b=(k-1,k-2),因为 (a+b)1b,所以(a+)·b=(k-I)×(-)+(k-2)×-2)=0,解得= 13.【答案】(-2,0)U(2,+oo) 【解析】依题意，y=-x2+2x+1的图象开口向下，对称轴为直线x= 2x-)=L,所以y=-x2+2x+1在区间 2 「-x2+2x+1,x≤0， (-0,0]上单调递增，且-0+2×0+1=log(0+4)=1,所以函数f(x)= 在R上单调递增，所以不 l0g4(x+4),x>0 等式x)>f(4x)可化为x3>4x,即(x2-4)x>0,解得-2<x<0或x>2.故不等式f(x)>f(4x)的解集是 (-2,0)U(2,+0). 14【答案】片 【解析】设△ABC外接圆的半径为r,因为PA⊥平面ABC,三棱锥的外接球可看作以△ABC的外接圆为底面、PA 为高的圆柱的外接球，其半径R满足R2=r2+ PA h ·易知R=3,设PA=h,∠ABC=0,则9=2+ ,得2= 高三数学第3页（共8页） 4(9-2).在△4BC中，由余弦定理得AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+9-12cos0=13-12cos0,由正弦 定理得4C=2rn9.得AC=4n0.因此，13-12ms0=4rma,则子=13-26，所以2=4(9-= 4sin20 49 13-12cos0A 4sin20 360l120,所以V=了×宁B,c血0h-写2x3血0-A=hn8,则 sin20 Min20=36sin0-13+12c0s0=36(1-cos20)-13+12cs0=-36c0s20+12cs9+23=-36cos9- +24,当cos0= 6 时，2=24，所以当V取得最大值时，c0s∠ABC= 6 61 15.解：(1)由题知所有参赛作品共500件，获奖作品共10件，(3分) 故从所有参赛作品中随机抽取1件，抽到获奖作品的概率P= 101 0050(6分) (2)X的可能取值为0,1,2.(7分) 则P(X=0)= C8C28 C451 P(X=1)= c_16 C%45PK=2) C2C9 1 C。45(10分) 则X的分布列如下表所示. X 0 1 2 28 16 (11分) 45 281×6+2x2 则E(0=0x45+1×452×455(13分) 【评分细则】 第2)同最后一行利用超九月分布的期塑公式以)兴沿号求解照样给分 16解：(1)由题意，函数&()的图象经过点(？》(1分) 所以函数八)的图象经过点(？+号》)唧智》2分) 代人=o(3中，得个g=号即管到4分) 由0受得行(5分 所以解得e=（1分) (2)(1)得)=m3x2.(8分) -+）=m3+}2-m3x.(9分) 高三数学第4页（共8页） 令到=g,得m32-m3周(0分) 则332e0或23周-2nke刀 解得语行ke或行-2me(合去.(12分) 1443 当k=-1时，x= 语层别当=0时语[层引当1时温层别分 35π「π23π 所以函数与的图象在区间，内的交点横坐标为红(15分) 24'72] 【评分细则】 第1)问先求函数)的解析式.再代入日)=之求解只要正确也可给分。 17.(1)证明：如图，取AB的中点G,连接CG,DG,PG. 因为AB∥CD,AB=2CD, 所以AG∥CD,AG=CD,(1分) 所以AGCD是平行四边形，所以对角线AC与DG相交于点F,即F是DC的中点， 所以EF是△PDG的中位线，所以EF∥PG,(3分) 又EF平面PAB,PGC平面PAB, 所以EF∥平面PAB.(4分) (2)解：以G为坐标原点，G,GB,AP的方向分别为x,y,:轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设Bc=6,则点P0,-1,2,6.0,0),台，7r台0.0G61.0。 则(07-m(台1，-2（台1.0.(6分） 设平面PEF的法向量为m=(x,y,), m…7=0 则由 …m=分-2=0， 高三数学第5页（共8页） 令z=1,得平面PEF的一个法向量为m=(0,2,1).(8分) 设平面CEF的法向量为n=(x',y',z), =0, 由 …元-y=0, 令z=b,得平面CEF的一个法向量为n=(-4,2b,b).(10分) 因为平面PEF与平面CEF夹角的余弦值为0 所以os(m,m)1=m”三56 √/105 mn5.√/16+5b 21 解得b=1(负值舍去)，故BC=1.(12分) (3)解：由(2)得点40.-1.0，分0.0，则正（分1.0，(3分） 1 A.m ×0+1×2+0×1 25 故点A到平面PEF的距离为 (15分) 5 【评分细则】 如有其他解法酌情给分 1&(山)解：由题意直线4B的方程为y=:) 联立 消去y得k2x2-(p+2p)x+ 4 -=0,(2分) Ly2=2px, 则x山，解得p=2(负值舍去).(3分) 则C的方程为y2=4x.(4分) (2)(i)证明：由(1)得y=2x(取y>0), 1,1=(5分) 则y'=2× 2压 不妨设点A在第一象限， 则过点A的C的切线斜率为，切线方程为)=二(x-),(6分) 令x=-1,得y-y1= 六6公-肩0分 1 x 1-1 以n2 -0 11 (8分) 高三数学第6页（共8页） 又点吾 x1-12 =-1,(9分) 所以FQ⊥AB.(10分) 因为PH⊥AB,所以FQPH, 所0品n分 (i)解：在切线方程y-y,==(x-x)中，令y=0, 得x=-y1√风+x=-2√·√x+x1=-x1,则点P(-x1,0).(12分) |AQ|x1-(-1)x+1 当0<x<1时，P网(-x)-(-01= 所品- 而|AF=,+1,所以|HF=1-x1.(13分) 则|PHP=(1+x1)2-(1-x1)2=4x1, 所以△mF的面积Sm宁1-)2G,(4分) 1 1[2(1-x)+2x]3 所以$m=41-)》2.4,=(1-)2·4=2(1-)2·2≤2 33 27(15分) 当且仅当1-=2x,即x=3时取等号，(16分) 23 所以△PHF的面积的最大值为g,.(I7分) 【评分细则】 如有其他解法酌情给分 19.(1)解：若a=2,则f八x)=e2-2x2-(2e+1)xf'(x)=2e2-4x-(2e+1),(1分) 令m(x)=2e4-4x-(2e+1),1≤x≤2， 则m'(x)=4e红-4>0. 所以∫'(x)在区间[1,2】上单调递增，(2分) 又f'(1)=2e2-4-(2e+1)=2e2-2e-5>0, 所以f'(x)>0在区间[1,2]上恒成立， 所以x)在区间[1,21上单调递增.(3分) 由f1)=e2-2-(2e+1)=e2-2e-3,2)=e'-8-2(2e+1)=e4-4e-10, 所以f八x)在区间[1,2]上的最大值为e4-4e-10,最小值为e2-2e-3.(4分) (2)解：若八x)在区间[1,2】上单调递增，则f'(x)=2e“-2ax-(2e+1)≥0在区间[1,2]上恒成立， 高三数学第7页（共8页） 即Ye[1,2],a≤2c-(2e+D.(5分) 2x 设()-2c-(2e+D（1≤≤2》，则p14c.2-442(2e+2c(2x)+21.（6分) 2x (2x)2 2x2 因为x∈[1,2】，所以2e2“(2x-1)>0,所以p'(x)>0,所以p(x)在区间[1,2]上单调递增， 所以以)=22-1，所以。的取值袍用为0,2子 2 .(8分) (3)证明：若a=1,则g--(2e+)xe+3= xt-3e+2(x>0), 令g=0,得-30+2=0，整理为c产-2-(3e-2=0(201.（9分) 令(x)=e2-x2-(3e-2)x,k'(x)=2e2-2x-(3e-2), 令t(x)=2e2-2x-(3e-2),则t'(x)=4e2-2>4e°-2=2>0， 所以'(x)在区间(0，+o)上单调递增，(10分) 又k分月=2e-1(3e-2)=-e+1k0,k'(1)=2e2-2-(3e-2)=2e2-3e>0. 根据零点存在定理，存在鉴一的行，使得=0(1分) 因此，当xe(0,x)时，k'(x)<0,k(x)单调递减；当xe(xo,+∞)时，'(x)>0,k(x)单调递增. 又因为0=10分）=e号3c-2》=+0=1-(3e-2=e-3+1>0.(13分) 11 所以结合单调性，从)在区间0，)上单调递减，可知存在1个零点∈(0，： (在区间(，+四)上单调递增，可知存在1个零点∈（分小：(5分） 当x>1时，k(x)单调递增且(1)>0，故无零点.(16分) 综上80有且仅有2个零点e,》(分则（分引， 3 所以x+<2(17分) 【评分细则】 第(2)问最后a的取值范围写成集合或不等式的形式也可给分. 高三数学第8页（共8页）