第二十章勾股定理应用题专项突破（十题型）　2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章勾股定理应用题专项突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十题型） 知识归纳： 知识点1：勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 类型二、应用勾股定理解决旗杆高度 类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度 类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 类型六、应用勾股定理解决航海问题 类型七、应用勾股定理解决“走捷径”问题 类型八、应用勾股定理解决是否受台风影响问题 类型九、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 类型十、平面展开图-最短路径问题 知识点2 ：平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 1.如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 2．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 3．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 4.如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB的长为2.5米，梯子的底部离墙的距离BC为0.7米．若梯子的顶部向下滑0.4米到D处，此时梯子的底部向外滑到E处，求梯子的底部向外滑出多少米？ 题型二：应用勾股定理解决旗杆高度 1.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2.如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 3.如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 题型三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 1.如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．8米 B．10米 C．12米 D．16米 2.如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 3.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 题型四：应用勾股定理解决大树折断前的高度 1.如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 2．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（    ） A．尺 B．尺 C．5尺 D．4尺 题型五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 1.如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 2.如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 3.如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 题型六：应用勾股定理解决航海问题 1.如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（   ） A． B． C． D． 2.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 3.如图，两艘轮船M和N分别从港口A出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，MN两船的距离多少海里？ 题型七：应用勾股定理解决“走捷径”问题 1.如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 　 　米． 2.如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　） A．（16﹣8）m B．（16）m C．（16﹣4）m D．（8﹣8）m 3.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　） A．6 B．8 C．10 D．11 题型八：应用勾股定理解决是否受台风影响问题 1.如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 2.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 3.据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 题型九：应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 1.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 2.如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 3.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米． （1）求BF与FC的长． （2）求EC的长． 题型十：平面展开图-最短路径问题 1.如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 2.一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 3.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 4.如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 第二十章勾股定理应用题专项突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十题型） 知识归纳： 知识点1：勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 类型二、应用勾股定理解决旗杆高度 类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度 类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 类型六、应用勾股定理解决航海问题 类型七、应用勾股定理解决“走捷径”问题 类型八、应用勾股定理解决是否受台风影响问题 类型九、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 类型十、平面展开图-最短路径问题 知识点2 ：平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 1.如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】D 2．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 3．如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（   ） A．小于12.5米 B．大于12.5米 C．等于12.5米 D．大于等于12.5米 【答案】C 4.如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB的长为2.5米，梯子的底部离墙的距离BC为0.7米．若梯子的顶部向下滑0.4米到D处，此时梯子的底部向外滑到E处，求梯子的底部向外滑出多少米？ 【答案】0.8米． 【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝＝2.4（米）， ∴CD＝AC﹣AD＝2.4﹣0.4＝2（米）， ∵DE＝AB＝2.5米， ∴CE＝＝1.5（米）， ∴BE＝CE﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（米）， ∴梯子的底部向外滑出0.8米． 题型二：应用勾股定理解决旗杆高度 1.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 【答案】8 3.如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】（1）3米； （2）6米． 【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， 又∵AB＝4米， ∴AC＝3（米），BC＝5（米）， 故旗杆距地面3米处折断； （2）如图， ∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米）， ∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米）， ∴AB′＝（米）， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 题型三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离 1.如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．8米 B．10米 C．12米 D．16米 【答案】B 2.如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 题型四：应用勾股定理解决大树折断前的高度 1.如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 【答案】B 2．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（    ） A．尺 B．尺 C．5尺 D．4尺 【答案】A 题型五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题 1.如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C． 2.如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 【答案】 【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，最大，此时 当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，如图， 在中，根据勾股定理得 的范围是：． 题型六：应用勾股定理解决航海问题 1.如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】16 3.如图，两艘轮船M和N分别从港口A出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，MN两船的距离多少海里？ 【答案】25海里． 【解答】解：连接MN如图， ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠MAN＝90°， 在Rt△AMN中，AM＝4×5＝20（海里），AN＝3×5＝15（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 答：两船的距离是25海里． 题型七：应用勾股定理解决“走捷径”问题 1.如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB．某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 　 　米． 【答案】4． 2.如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　） A．（16﹣8）m B．（16）m C．（16﹣4）m D．（8﹣8）m 【答案】A． 3.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（　　） A．6 B．8 C．10 D．11 【答案】A． 题型八：应用勾股定理解决是否受台风影响问题 1.如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 2.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 3.据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】解：会受到台风的影响． 理由：如图，过点作，垂足为． 在中， ，，， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴农场会受到台风的影响． 题型九：应用勾股定理解决几何图形中折叠问题 1.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 2.如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 3.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米． （1）求BF与FC的长． （2）求EC的长． 【答案】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE， ∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF． ∵AD＝BC＝10cm， ∴AF＝AD＝10cm． 又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2 ∴82+BF2＝102， ∴BF＝6cm， ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm． （2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm． 在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 即16+x2＝64﹣16x+x2， 化简，得16x＝48， ∴x＝3， 故EC的长为3cm 题型十：平面展开图-最短路径问题 1.如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 2.一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 4.如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $