精品解析：江西省九江六校协作体2025-2026学年高二上学期期末数学试题

江西省九江六校协作体高二期末检测 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角. 【详解】由，可得，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的减法和数量积的坐标运算化简求出. 【详解】由题意得，则，解得. 故选：B 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解. 【详解】由题，展开式的通项为， 令，所以展开式中常数项为. 故选：C. 4. 在四面体中，为的中点，为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算求解. 【详解】由题意得，因为为的中点，为的中点， 所以，即. 故选：D. 5. 具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则下列选项错误的是（ ） 1 2 3 4 5 16 12 11 10 6 A. B. 与具有负相关关系 C. 当时，的预测值为0 D. 去掉其中某对样本数据，与的样本相关系数可能不变 【答案】C 【解析】 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入计算可判断A；由正负可判断B；代入计算可判断C；根据样本点的性质可判断D. 【详解】对于A，根据表中数据计算可得，， 代入线性回归方程得，得，故A正确； 对于B，因为，所以与具有负相关关系，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，样本点为样本中心点，去掉这个样本点，与的样本相关系数不变，故D正确. 故选：C 6. 已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用得出相似关系，求出，即可求出离心率. 【详解】由题意易得， 因为，所以，即，化简得， 故，所以. 故选：A 7. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆相减先求出公共弦方程，再设出圆心到直线的距离并结合弦长公式得到在直线上，最后将代入直线方程求解出即可. 【详解】由题意得圆，圆， 两圆相减可得， 故直线的方程为，由题意得， 设到直线的距离为，由弦长公式得， 解得，则在直线上，可得，解得，故C正确. 故选：C 8. 甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件，根据得出，再利用全概率公式求出即可. 【详解】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件， 由题意知，，，即， 所以， 又因为，所以. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设双曲线：，则（ ） A. 的虚轴长为1 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据虚轴、焦距、离心率、渐近线的定义逐一求出. 【详解】双曲线的标准方程为，则，，， 对于A， 虚轴长为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，离心率为，故C错误； 对于D，的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 10. 现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（ ） A. 若数字可以重复使用，则共有256种填法 B. 若4个数字均使用，则共有18种填法 C. 若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法 D. 若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，每个位置的数字均有4种选法； 对于B，四个空格1、2、3、4四个数字都要填一次，即全排列； 对于C，列出满足条件的数字组合分别讨论； 对于D，根据数字可重复、相邻不同按位置分类计算. 【详解】对于A，若数字可以重复使用，则共有种填法，故A正确； 对于B，若4个数字均使用，则共有种填法，故B错误； 对于C，若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和， 则可以1，2在第1行，3，4在第2行，或1，3在第1行，2，4在第2行， 共有种填法，故C正确； 对于D，分4步，设四宫格4个位置如下： ①（左上）、②（右上）、③（左下）、④（右下）， 第1步，填①，有1，2，3，4共4种选法； 第2步，填②，由于和①相邻，所以不能与①相同，故有3种选法； 第3步，填③，因其与①相邻，所以不能与①相同，故又分2种情况， 情况1，③与②数字相同，此时只限制③与①不同，而②本身就与①不同， 故仅1种选法（和②一致）， 情况2，③与②数字不同，此时③需同时满足与①不同、与②不同，所以有2种选法； 第4步，填④，因④与②、③都相邻，所以必须和②、③都不同， 所以选法由②和③是否相同决定， 情况1，②与③相同时，④只需与②（即③）不同，此时有3种选法， 情况2，②与③不同时，④需同时与②不同、与③不同，此时有2种选法 所以利用分步乘法与分类加法计数原理（种），故D正确 故选：ACD 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点到平面的距离为 C. 若二面角的正弦值为，则 D. 直线与所成的角没有最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项：通过建立空间直角坐标系确定关键点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得出结论；B选项：先求得平面法向量并验证，再代入点到平面距离的向量公式计算，最终通过数值比较判断命题真伪；C选项：分别求出两个平面的法向量并计算其夹角余弦值，结合已知正弦值建立关于的方程，检验解是否具有唯一性；D选项：建立异面直线夹角余弦关于参数λ的函数关系，分析该函数在区间内的单调性，从而确定夹角是否存在最小值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，. 对于A，当时，是的中点，则， 平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，当时，，故，而， 设平面的法向量为，则 即取，得，又， 故点到平面的距离为，故B错误； 对于C，由题可知，故，而， 设平面的一个法向量为，则， 即，取,则,， 故平面一个法向量， 平面即平面，其一个法向量为， 故， 化简得，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，而， 设直线与所成的角为，则， 易知该式在时单调递减，所以， 则的取值范围为，没有最小值，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高二学生的数学期末考试成绩近似服从正态分布，若，则______. 【答案】0.22## 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，为坐标原点，若，且的面积是面积的5倍，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得，即，结合椭圆定义可得，，过点作于点，求得，在中，由余弦定理可得关系，得解. 【详解】由已知得，所以，即， 所以，因为，所以，， 所以，， 如图所示，过点作于点，则点为的中点，则， 在中，由余弦定理，得， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为响应国家“提升全民数字素养与技能”的号召，某市对高中生的网络信息辨别能力开展调研.研究者随机抽取了该市200名学生，按是否接受过“媒介素养”校本课程培训分为两组，并测试他们能否准确识别一些典型的网络谣言（如“某种食物含致癌物”等）.测试结果如下表： 能准确识别谣言 不能准确识别谣言 接受过培训 68 32 未接受过培训 42 58 （1）分别求接受过培训和未接受过培训的学生能准确识别谣言的概率； （2）在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为学生识别谣言的能力与培训有关？ 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）运用概率的计算公式即可得解； （2）先提出零假设，再计算得，与临界值比较，即可判断. 【小问1详解】 接受过培训的学生能准确识别谣言的概率为. 未接受过培训的学生能准确识别谣言的概率为. 【小问2详解】 零假设：学生识别网络谣言的能力与培训无关. 根据列联表的数据可得. 因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为不成立， 即认为学生识别谣言的能力与培训有关. 16. 设抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交于，两点. （1）若点到直线的距离为1，求直线的斜率； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合（1）的结论、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 依题意得，，即. 所以：. 设直线：，，. 由，得， 则，得， 由点到直线的距离为， 解得，满足. 故直线的斜率为. 【小问2详解】 ，， 结合（1），得，所以， 故的面积为. 17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 方法一：以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，，，，，， 故，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 因为，故， 又平面，所以平面. 方法二：如图，连接与相交于点，取的中点，连接，. 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又是的中点，所以，且. 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）方法1，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解证明； 方法2，连接，与相交于点，取的中点，证明四边形是平行四边形，得，利用线面平行的判定定理证明； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以，则，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 所以. 故二面角的正弦值为. 18. 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. （1）求在一局比赛中，甲得2分的概率； （2）若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； （3）若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件乘法公式求概率； （2）根据对立事件的概率关系求得每局比赛有人得分的概率，可得服从二项分布，进而求出的分布列和期望； （3）由题先求出乙得2分的概率，两人分差为0的概率，乙最终获胜可分为三种情况，①乙3局都得2分；②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0；③乙有1局得2分，另外2局分差为0；依次求出概率得解. 【小问1详解】 在一局比赛中，甲得2分的概率为. 【小问2详解】 每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为. 因为每局比赛相互独立，故服从二项分布. ，， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为. 【小问3详解】 每局比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 乙最终获胜可分为以下三种情况： ①乙3局都得2分，其概率为； ②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0，其概率为； ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为. 综上，乙最终获胜的概率为. 19. 已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线方程为. （1）求的方程； （2）动直线与交于，两点，直线与轴交于点，与线段交于点，若，求证：过定点； （3）过点的直线与的右支交于，两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ∵，∴. 由题可知的斜率存在且不为0，且， 设，，直线， 代入，整理得. ∴且， ，（*） ∴， 即，整理得， 将（*）代入，得， ∴. ∴的方程为，即， ∴过定点. （3）5. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）由题可知的斜率存在且不为0，设直线，与双曲线方程联立得韦达定理，由坐标化求得，得证； （3）设，，直线的方程为，由，将直线与双曲线方程联立得，代入运算得解. 【小问1详解】 由题知半焦距，， ∴，， ∴，∴， ∴的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，直线的方程为， 代入，整理得， ∴，. ∵直线与该双曲线的右支交于两点， ∴，∴， ∴ . 设，则，故， ∴， ∴面积的最小值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江六校协作体高二期末检测 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 15 B. 40 C. 60 D. 80 4. 在四面体中，为的中点，为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 具有相关关系的变量与的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为，则下列选项错误的是（ ） 1 2 3 4 5 16 12 11 10 6 A. B. 与具有负相关关系 C. 当时，的预测值为0 D. 去掉其中某对样本数据，与的样本相关系数可能不变 6. 已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设双曲线：，则（ ） A. 的虚轴长为1 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为 10. 现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（ ） A. 若数字可以重复使用，则共有256种填法 B. 若4个数字均使用，则共有18种填法 C. 若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法 D. 若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点到平面的距离为 C. 若二面角的正弦值为，则 D. 直线与所成的角没有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高二学生的数学期末考试成绩近似服从正态分布，若，则______. 13. 在平行六面体中，若，，，则______. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，为坐标原点，若，且的面积是面积的5倍，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为响应国家“提升全民数字素养与技能”的号召，某市对高中生的网络信息辨别能力开展调研.研究者随机抽取了该市200名学生，按是否接受过“媒介素养”校本课程培训分为两组，并测试他们能否准确识别一些典型的网络谣言（如“某种食物含致癌物”等）.测试结果如下表： 能准确识别谣言 不能准确识别谣言 接受过培训 68 32 未接受过培训 42 58 （1）分别求接受过培训和未接受过培训的学生能准确识别谣言的概率； （2）在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为学生识别谣言的能力与培训有关？ 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 设抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交于，两点. （1）若点到直线的距离为1，求直线的斜率； （2）若，求的面积. 17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. （1）求在一局比赛中，甲得2分的概率； （2）若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； （3）若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 19. 已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线方程为. （1）求的方程； （2）动直线与交于，两点，直线与轴交于点，与线段交于点，若，求证：过定点； （3）过点的直线与的右支交于，两点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $