湖南永州市2026届高三上学期第二次模拟考试数学试卷

永州市2026年高考第二次模拟考试 数学 命题人：陈诗跃（永州一中） 陈志飞（祁阳一中） 周海洋（双牌二中） 蒋昌龙（道县一中) 审题人：席俊雄（永州市教科院) 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效 3.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1. 已知集合A={xx2-4x≤0)，B={xENx<3},则AnB= A.{1,2 B.{x0<x≤2 C.{0,1,2 D.{0≤x≤2} 2. 已知复数z满足(1-√3i)z=4,则z的虚部为 A.1 B./3 C.i D.3i 3.(1-2x)的展开式中x的系数为 A.-80 B.-40 C.40 D.80 4.已知m,n是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，且m∥a,n∥B,则 “a⊥B”是“m⊥n”的 A.充分不必要条件 B.必要不充条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E是BC的中点，则A正.AD= A.1 B.2 C.4 D.6 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点E在x轴上且位于F右侧，点P在C上，若 △PEF为等边三角形，则PF= A.2 B.2W2 C.25 D.4 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学第1页（共4页) 7.己知函数f(x)=n(e2“+e4)-x,若x>x且f(x)>f(x),则 A.+x2<4 B.x+x2>4 C.x+x2<8 D.x+x2>8 8。在△ABC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a+4asin24+B=0,则 2 A.角C为锐角 B.2a2+2b2-c2=0 C.2tan 4+tan C=0 D.amB的最大值为 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知某地近一周的最高气温如下：9,11,14,11,10,7,8（单位：℃)，则 A.这组数据的极差为7 B.这组数据的第40百分位数为8.5 C.这组数据的众数为11 D.这组数据的方差为 32 10.己知函数fn(x)=sin”x+cos"x(nEN),则 A.(x)在区间[0，π]上有1个零点 B。()的周期为 C.3(x)的值域为[-1，刂 D.要得到f(2x)的图象，可将函数y=V2cos2x图象向左平移兀个单位长度 P 已知双曲线C:二-名1a>0,b>0)的左、右焦点分别为，乃，点P是C的流 线上一点（P在x轴上方)，直线PF与圆O:x2+y2=a2相切，且与C的左、右两支分 别交于M,N两点，若OP=OE,则 A.以NF,为直径的圆与圆O相切 B.C的离心率e=2 5+10b2 C.线段MN的中点在直线y=3x上 D.△WFF的面积为 2 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.从1,2,3,4四个整数中依次随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的 数的概率为 已知函数f(x)= [x2-2ax,x<0 13. 2-1x20 若f(x)≥a恒成立，则实数a= 14.在直四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB=4,BC=BB,=2,∠ABC=120°，M,N,2 分别是棱AB,BC,CC的中点，P是底面ABCD内一动点.若直线DP∥平面MNO, 则三棱锥A-PBB,外接球表面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分1B分)已知数列{a,}满是4=方2na-(a+1a=0, (1)求{an}的通项公式an; (2)求{an}的前n项和Sn: 16.(本题满分15分)如图，AD是半圆O的直径，B,C是AD上的两个三等分点，点S 在底面ABCD上的射影为AD的中点O,AD=8,SA=4N2,CP=AC(2eR) (1)当1=时，求点O到平面PBD的距离： (2)当元=1时，求平面SMD与平面PBD的夹角的余弦值， C (第16题图) 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学第3页（共4页) 17.(本题满分15分)为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛，已知足球 联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.球队甲2025年 11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛根据前期比赛成绩，球队甲主场 与球队乙比赛：匠利的概率为子，平的颜率为行，负的概率为。：球认甲客场与球队 丙比：胜利的概率为分，平的概率为负的概率为言：且每场比赛结果相互独立 (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为X,客场与球队丙比赛获得积分为Y, 求X>Y的概率； (2)用Z表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求Z的分布列与期望. 18.(本题满分17分)已知椭圆C:·乏+上、 +=1a>b>0)经过点r-1 F(1,0)为C的右 焦点 (1)求C的标准方程； (2)过点F(1,0)的直线1与C交于A,B两点(1的斜率存在且不为0)，设点B关于x轴 的对称点为D,△ADF的外接圆圆心为E. (i)求△ADF面积的最大值； (ⅱ)直线EF与直线AD的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是， 请说明理由。 19.(本题满分17分)已知函数f(x)=si血x-axcosx+bx. (1)当a=1,6=0时，当xe0习引 求f(x)的最小值： (2)当a=0,b=1时，证明：存在唯一实数1e0,究 使得曲线y=f(x)在点(t,f() 处的切线与f(x)的图象有3个交点： (3)当a=1,b=0时，将f(x)在区间(0，+o)上的零点从小到大依次排列，记第m个 零点为x,a=x+,证明： (a+}<a,<a+} 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学第4页（共4页)永州市2026年高考第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 单项选择题 题号 1 2 4 6 个 8 答案 C B A D C D B D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ACD ABC ABD 三、填空题 12.方 13.-1 14.20元 8,解析：因为A+B+C=元，所以2sin24+B-1-cos(4+B）=1+cosC 2 所以6-2a+4asin24+B=b-2a+2a1+cosC)=0 2 所以c0sC=-6<0,故角C为钝角： 2a 因为cosC= b2+a2-c2 2—,所以b+a一C=B,即a2+2b2一G2=0； 2ab 2a 由角C为钝角，且b+2 acosC=0 sin(A+C)+2sin AcosC=0,3sin AcosC+cos Asin C=0 又因为cosC<0,cos4>0,所以3sin4cosC+cos4siC=0,即3tanA+tanC=0: cos AcosC 因为tanB=-tan(4+C)=-,tanA+tanC, 3tan A+tanC=0 1-tan AtanC 所以tanB=、一 2tan A 1+3tan2 A 3tan 1V3 2 233 tan A 当且仅当3tanA=1时取等号，故选项D正确。 tan A 1.解析：设N5,的中点为点G,则oG=N9=(3+2a)=号N:+a 以NE,为直径的圆与圆O的圆心距为两圆的半径之和，故NE,为直径的圆与圆O相切： 因为点P是C的渐近线上一点，OP=OE,所以PE⊥PF,设直线PE与圆O的切点 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第1页（共9页） 为T,则OT∥P5,OT=a,阳=b,故直线OT的斜率为-b,即直线OT为双曲线 0 的另一条渐近线，由对称性知，∠T0R=∠T0P=∠P0B=60°，即b=tan60°=5 a 所以C的离心率e b2 设M,N的中点为Q,由点差法可得：直线Og与直线MW斜率之积为 3 义因为直线MN斜率为am∠PF飞=，所以直线OQ斜率为3 所以M,N的中点在直线y=3N3x上： 设∠PW5为0，因为P5=2a,P5=2b,所以PwN=2a 2a tan sin 所以由双曲线定义可得：5-N5=PR+PW-N5=26+2a。-2a2=2a tan sin 因为6=5a,解得m号5-1，因为55 b2 tan- 2 3+1b2 所以△NFE,的面积为 所以选择ABD, 2 14.解析：连接AC,AD,CD,易知平面ACD∥平面MNQ,则点P的轨迹为线段AC 在三棱锥A-PBB,中，易知B,B⊥平面APB,要使三棱锥A-PBB,外接球表面积最小 BP 则只需△ABP外接圆的半径r最小，在△ABP中，由正弦定理得：2r= sin∠PAB 又因为∠PAB为定值，只需BP最小，显然当BP⊥AC时，r有最小值 r的最小值为)4B=2 D B 所以三棱锥A-PBB外接球半径的最小值为 D =√4+1=√5 A 三棱锥A-PBB,外接球表面积的最小值为4πR2=20π， 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第2页（共9页） 四、解答题 15.（本题满分13分) 解析： (1)因为2na1-(n+1)a.=0,所以4=a× n+l n 2 2分 所以{侣}是以导一为首项，公比为的等比数列 4分 所似县传”=) 5分 即a,是 6分 2)由加双=宁+层+是+会 ① 7分 1.23 S=22241…大 27 ② 9分 ①-②得：2，=2+2+2+2+ 1 1111 2”2-1-n+2 n 2+.12分 所以S。=2-n+2 2 13分 16.(本题满分15分) 解析： (1)如图，连接OB,OC,BD,OC与BD相交于点9，再连接P91分 因为B,C依次是AD上的两个三等分点 所以∠BOC=∠COD=60° 2分 又OB=OC=OD=4 所以△BOC与△COD都是边长为4的正三角形 3分 所以BC=CD=OB=OD 即四边形OBCD是菱形 所以OC⊥BD 4分 又因为点S在平面ABCD上的射影为AD的中点 所以SO⊥平面ABCD 由2=乎=知P=P,而00=c0 所以PQ∥SO 5分 所以PQ⊥平面ABCD 而OCc平面ABCD 所以PQ⊥OC 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第3页（共9页） 所以OC⊥平面PBD,垂足为Q 6分 即点O到平面PBD的距离为OQ 而1og-20c-2x4=2 所以点O到平面PBD的距离为2. 7分 (2)作BC的中点E,连接OE,由(1)可知OE,OD,SO两两垂直，故以O为坐标 原点，O正，OD,O下的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系D-)z .8分 当-，65.2小c4i20jpo40j.s0o4.9 m-(a.s.r（9-2 .…10分 nBD-0, 6y-2W3x=0 设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z),则 即 n.BP=0 2 令x=√3，则y=1,z=-2,故n=(3,1-2) .12分 因为平面SAD1x轴，所以取平面SAD的一个法向量为m=(1,0,0).13分 所以cos<m,n>= 2W56 √12+4+164 14分 所以平面SAD与平面PBD的夹角的余弦值为V6 15分 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第4页（共9页） 17.(本题满分15分) 解析： (1)设事件A,=“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”，A,=“甲队主场与乙队比赛 获得积分为1分”，A,=“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”，事件B,=“甲 队主场与丙队比赛获得积分为3分”，B2=“甲队主场与丙队比赛获得积分为1 分”，B?=“甲队主场与丙队比赛获得积分为0分”.记球队甲11月主场与乙队比 赛获得积分为X,客场与丙队比赛获得积分为Y,事件X≥Y+1为C.1分 由题意知A与B2,A与B2,A2与B2互相独立，AB2,AB,,A,B,互斥…2分 则4a)号对号 3分 4a)号名号 4分 B)x11 6^636 5分 所以P(C)=P(4B,)+P(4B,)+P(4B,)-号+g+3636 2.1,113 6分 故事件X>Y的概率为 6 .7分 (2)由题意可知Z的所有可能取值为0,1,2,3,4,6.8分 z-0-6mx-0-g合名写品 9分 Pz=-名5g2=-r名5名名 10分 21,1111 PZ=)=行×3十2X636 11分 P2=6-5x2月 2.11 12分 所以Z的分布列为： Z 0 1 3 3 4 6 P 1 7 11 1 36 12 18 36 36 3 13分 所以E(Z)=0× 1+1× +2× 1 11 1 +3× +4× +6×5=4.15分 3612 18 36 36 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第5页（共9页） 18.(本题满分17分) 解析： (1)因为F(1,0)为C的右焦点，所以c=1,且椭圆C的左焦点为F(-1,0) 1分 所以m+p=1-+G-j+1-(-侣- =4..2分 所以a=2,b=√a2-c2=√5 所以椭圆C的标准方程为+ -=1. .3分 43 (2)(i)设直线AD方程为x=my+n，,A(x,y),D(x2,y),B(x2,-y2) 联立 3x+4y=12得：(4+3m2)y2+6mw+3m-12=0 x=my+n 4分 △=36m2n2-12(4+3m2)(n2-4=48(3m2+4-n2）>0,即3m2+4>n2 -6mn 4+2三4+3m2’=4+3 6分 因为点B与点D关于x轴对称，则直线AF与直线DF的斜率和为07分 所以”，+必=乃+⅓ 6-1'为-1+m-+m网，十n0 即2m%+儿0+2）=0，即2m3n2-12-6m- =0 (my+n-1)(my2+n-1) 4+3m2 8分 即6mn-24m=0,即n=4,所以直线AD过定点G(4,0) 9分 所以5m=Gk-对=-小30+为-4w 所以S△ADF三 18Wm2-4 m2-4 =18× 4+3m2 (4+3m2)2 令t=m2-4>0…10分 1 SAADF=18 =18× =18× s33 V(3t+16)2 V9t2+96t+256 256 +96 4 9t+ 当且仅当9g=256时，即m=±22时，△4DF面积的最大值为35 .11分 )因为4的垂直平分线方程为：y-分-一x-2 即y=1x+3当 ①. 12分 42y6 同理DF的垂直平分线方程为：y=-二x+克-冬②.…13分 一x+ y22y26 ①+②得：2y×-+2=3 64+3m2 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第6页（共9页） 故yE -3m3 14分 24+3m2） ①-②得： 122+60 33+-2 所以3(3-. -XE yiy2 ,之，即+微 2y1y2 6 18 所以x= 8+3m2 2(4+3m2） 15分 -3m3 所以=丝-0三 2(4+3m2) -=m xg-18+3m2 16分 2(4+3m2) 又因为ko=。,所以直线EF与直线4D的斜率之积是否为定值1.…1了分 m 19.(（本题满分17分) 解析： (1)当a=l,b=0时，f(x)=sinx-xcosx,f'(x)=xsinx 1分 当x[0,引了≥0，所以f在xe0到单调递推 2 2分 所以f(x)的最小值为f(0)=0. 3分 (2)当a=0,b=1时，f(x)=sinx+x,f'(x)=cosx+1 f"(t)=cost+1,f(t)=sint+t 4分 所以f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为：y-sint-t=(cost+1)(x-t) 整理得y=(cost+1)x-tcost-+sint 5分 g(x)=sinx+x-(cost+1)x+tcost-sint 则g'6)=cosx+1-(ost+1)=osx-cost,因为1e07 cost∈(0,1) 当x∈(2km-t,2km+t)(keZ)时，g(x)=cosx-cost>0,g(x)为单调递增函数 当x∈(2km+t,2km+2π-t)(k∈Z)时，g(x)=cosx-cost<0,g(x)为单调递减函数 函数g(x)所有的极大值为g(2km+t)=-2 kncost(k∈Z)… ..6分 当k=0时，极大值等于0，即g()=0 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第7页（共9页） 极小值g(-t)=2tc0st-2sint=2c0st(t-tant）<07分 当k为正整数时，极大值全部小于0，即g(x)在(，+∞)无零点，x=t为一个零点 8分 当k为负整数时，极大值全部大于O,函数g(x)所有的极小值为 g(2km-t)=(2t-2km)cost-2sint,且随着k的增大，极小值(2t-2km)cost-2sint越 来越小 9分 因此y=f(x)在点(6，f(t)处的切线与y=f(x)有3个交点，只需k=-1时，极小值 g(-2π-t)=0,即(2t+2π)cost-2sint=0,即tant-t-元=0有解.10分 令A0=m-t,0=,1=ar1>0,y=0为0写 上的严格增函数 又(0)=-<0,1→受0→+0，故存在唯一实数10，习)，满是amt-1-元=0 故存在唯一的1e0引， 使得曲线y=f(x)在点(6，f()处的切线与y=f(x)有3个 交点. 11分 (3)当a=l,b=0时，f(x)=sinx-xcosx零点即为p(x)=tanx-x零点 1mx0,内在区间a受+号 aeN)上单调递拍 又因为&(x)=-m<0,当x→m+时，g()→+切 12分 由1知，当e0到}时，f(>fo)=0,即mrx >m+7-x tanx, 13分 又因为tanx=x, 所>+经，即+片-m+号+》 .14分 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第8页（共9页） 又因为+，名ma+a+r+》neN) 又anG+=anx,三x<=amv故无+元<v故0<aPX元< 15分 =tan-tan=七-x<1-1 因为anx>x,戈-X一元<am(化-名。-风列1+tan,tan+xx戈i 散+<，+上+，因此x+上<++- x. 又》y-上 所以x+ 1<3+23,元_19m x23π21212 .16分 受是-0语动 综L+》<a+r 17分 永州市2026年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准第9页（共9页)