1.1.1空间向量及其线性运算导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

麻城一中高二年级数学导学稿 1.1.1空间向量及其线性运算（2课时） 撰稿人：高二数学备课组 [课标解读]1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律.3.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律． [素养目标] 水平一：1.空间向量加减运算及其几何意义．(数学运算)2.应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．(数学抽象) 水平二：1.向量加减运算由平面向空间的推广．(直观想象)2.证明线面平行与面面平行．(数学建模) 1、 “导”环节设计 师生活动：阅读章前引言，章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？ 二、“思”环节设计 知识点一　空间向量 (1)定义：在空间，我们把 叫做空间向量． (2)长度： 叫做空间向量的长度或模． (3)表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为 或 (4)几类特殊的空间向量 ①零向量： 叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，＝ . ②单位向量： 叫做单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为 . ④相等向量： 叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示 ． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： ＝＋＝； ＝－＝. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝ ； ②结合律：(a＋b)＋c＝ ． 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 λ>0 方向 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ<0 方向 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝ .分配律：(λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ . 知识点四　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 定义 ，那么 叫做 或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 (2)共面向量 定义 ，叫做共面向量 充要 条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 三、展”环节设计 问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？ 问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？ 问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？ 追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ 四、“评”环节设计 1．在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如－，误写成，应为. 4．四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 5．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线． 五、“用”环节设计 例1、如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面． 类型一：空间向量的有关概念 例2、下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ [变式训练2]　(1) 已知A，B，C，D为四个不同点，且＋＋＋＝0，则(　　) A．A，B，C，D四点必共面 B．A，B，C，D四点构成一个空间四边形 C．A，B，C，D四点必共线 D．A，B，C，D四点的位置无法确定 (2)(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b| B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 类型二：空间向量的线性运算 例3、(1)如下图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值． ①＝x＋y＋z；②＝x＋y＋z. (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简－＋－＋－. [变式训练3]　(1)如图，在三棱锥O­ABC中，D是BC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．－a＋b＋c B．－a＋b－c C．－a＋b＋c D．－a－b－c (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＋－＝(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 类型三：空间向量的共线问题 例4、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． [变式训练4]　已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　) A.　　　　　　　　　B．－ C. D．－ 类型四：空间向量的共面问题 例5、已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：(1)＋2＝6－3；(2)＋＝4－. 试判断点P是否与点A，B，C共面． [变式训练5]　(1)在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若，，共面，则λ＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)如图所示，空间四面体ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝，求证：四边形EFGH为梯形． 课本练习： 1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例． 2. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 3. 在图中，用，，表示，及． 4. 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）； （2）； （3）． 5. 如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1） （2） （3） 思考题： 1． 如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 2． 如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上 的点，四点共面，若，则 . 3. 如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 课题 1.1.1空间向量及其线性运算 撰稿人：高二数学备课组 [课标解读]1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律.3.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律． [素养目标] 水平一：1.空间向量加减运算及其几何意义．(数学运算)2.应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．(数学抽象) 水平二：1.向量加减运算由平面向空间的推广．(直观想象)2.证明线面平行与面面平行．(数学建模) 2、 “导”环节设计 师生活动：阅读章前引言，章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？ 设计意图：图1中的引入情境于学生而言，非常熟悉。课堂上追问学生，飞行员收到来自不同方向的力又该如何表示，用图示法表示这些力吗?既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）. 二、“思”环节设计 知识点一　空间向量 (1)定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0. ②单位向量：模为1的向量叫做单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a. ④相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： a＋b＝＋＝；a－b＝－＝. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 λ>0 方向相同 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ<0 方向相反 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a. ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点四　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要 条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 三、展”环节设计 问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？ 追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 追问（2）：如何表示平面向量？？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 与平面向量一样，在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.与平面向量一样，空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模。空间向量可以用字母a,b,c,…表示.如图，若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量AB,其模记为向量a的模或向量AB的模.如图所示，对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时，这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了. 问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？ 追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？ 答：平面向量有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律； 追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定义或法则吗？ 追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律. 数学结论是需要严格证明的, 由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明. 追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？ 除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内. 追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？ 如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体. 我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律. 一般地，对于三个不共面的向量a，b， c，以任意点O为起点， a，b， c为邻边作平行六面体，则a，b， c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？ 由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题. 追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 答：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面. 追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ 四、“评”环节设计 1．在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如－，误写成，应为. 4．四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 5．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线． 五、“用”环节设计 例1、如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面． 图11-9 分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式． 证明：因为．所以 ，，，． 因为四边形是平行四边形，所以 ． 因此 由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． 类型一：空间向量的有关概念 例2、下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ [思路分析]　利用空间向量的有关概念进行判断． [解析]　|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B. [答案]　B 理解空间向量相关概念的注意点 1单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向.需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. 2和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. 3向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等. [变式训练2]　(1) 已知A，B，C，D为四个不同点，且＋＋＋＝0，则(　D　) A．A，B，C，D四点必共面 B．A，B，C，D四点构成一个空间四边形 C．A，B，C，D四点必共线 D．A，B，C，D四点的位置无法确定 (2)(多选题)下列命题中正确的是(　ACD　) A．如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b| B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 解析：(1)∵＋＋＋＝0＝0， ∴＋＋＋＝0＝(＋)＋(＋)＝＋＝0， ∴A，B，C，D四点的位置无法确定，故选D. (2)对于A：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故A正确；对于B：共线不一定同向，故B错；对于C：显然正确；对于D：在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，所以D正确．故选ACD. 类型二：空间向量的线性运算 例3、(1)如下图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值． ①＝x＋y＋z； ②＝x＋y＋z. (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简－＋－＋－. [解]　(1)①∵＝＋＝＋＋＝－＋＋， 又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1. ②∵＝＋＝＋＝ ＋(＋)＝＋＋＝＋＋， 又＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝1. (2)如图所示，－＋－＋－＝(－)＋(－)＋(－)＝＋＋＝＋＝. 解决空间向量线性运算问题的方法及技巧 进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中. [变式训练3]　(1)如图，在三棱锥O­ABC中，D是BC的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　C　) A．－a＋b＋c B．－a＋b－c C．－a＋b＋c D．－a－b－c (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＋－＝(　A　) A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：(1)因为D为BC的中点，所以＝(＋)，又＝－，＝－，所以＝[(－)＋(－)]＝－＋＋＝－a＋b＋c. 故选C. (2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＋－＝－＋＝＋＝.故选A. 类型三：空间向量的共线问题 例4、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． [证明]　设＝a，＝b，＝c. ∵＝2，＝，∴＝，＝. ∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c. ∴＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，∴＝，所以E，F，B三点共线． 判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b. [变式训练4]　已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　B　) A.　　　　　　　　　B．－ C. D．－ 解析：∵P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 且＝－x＋，∴＝－x＋＝ －x＋，∴－x＋＝1，解得实数x＝－. 类型四：空间向量的共面问题 例5、已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系： (1)＋2＝6－3；(2)＋＝4－. 试判断点P是否与点A，B，C共面． [思路分析]　先将条件式变形，用共面向量定理进行判断；也可以化成＝x＋y＋z的形式，再判断是否共面． [解]　方法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，∴3＝＋2，即＝－2－3.故，，共面， 又，，过同一点P，从而P与点A，B，C共面． (2)设＝＋x＋y(x，y∈R)， 则＋x＋y＋＝4－， ∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－， ∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0， 由题意知，，不共面，所以x，y满足： 显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面． 方法二：(1)由题意知，＝＋＋， ∵＋＋＝1，故点P与点A，B，C共面． (2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1，故点P与点A，B，C不共面． 1．证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明． 2．共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)． [变式训练5]　(1)在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若，，共面，则λ＝(　B　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)如图所示，空间四面体ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝，求证：四边形EFGH为梯形． 解析：(1)由，，共面知：＋＋λ＝1，解得λ＝，故选B. (2)证明：∵＝－，＝－， 又＝，＝，∴＝，① ∵＝－，＝－，又＝，＝， ∴＝(－)＝.② 由①②得，＝，∴∥，且||≠||， ∵点F不在直线EH上，∴EH∥FG且EH≠FG，∴四边形EFGH为梯形. 课本练习： 1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例． 【答案】实例见解析； 【解析】 【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可. 【详解】在三棱锥中，，，不同在一个平面内； 长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，，不同在一个平面内. 2. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 3. 在图中，用，，表示，及． 【答案】；；. 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化. 【详解】， ， . 4. 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 5. 如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）化简即得解； （2）化简即得解； （3）化简即得解. 【详解】（1），所以； （2）， 所以； （3） , 所以. 思考题： 1． 如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】 【详解】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 2．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上 的点，四点共面，若，则 . 【答案】. 【详解】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线 上分别存在点，点和点， 则四面体体积之比. 事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而 . 设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得 ，则， ，则， 所以； 同理可得. 所以，解得，即，从而.故答案为：. 3. 如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【详解】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点，所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 1 学科网（北京）股份有限公司 $