精品解析：广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题

2025-2026学年第一学期高二期末质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3 6. 在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（ ） A. 点的纵坐标为 B. △的周长为 C. △的内切圆半径为 D. 大于 11. 记各项为正数的数列的前项积为，，（），则（ ） A. 若，则 B. 当时， C. 可能为等比数列，亦可能为等差数列 D. 若数列为等差数列，则，或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：，：，若与外切，则_____________. 13. 已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和________________. 14. 记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在平面直角坐标系中点与点均在圆上. （1）求线段的垂直平分线方程； （2）若圆心在直线上，且过点的直线被圆截得的弦长为，求的方程. 16. 已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 17. 如图，三棱柱中，是等边三角形，，，. （1）证明：平面平面； （2）点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知，，且，且． （1）若数列为等比数列，求的值； （2）当时， （i）求数列的通项公式； （ii）设，记数列的前项和为，证明：． 19. 已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点. （1）求的值及的准线方程； （2）设直线分别与直线，轴的交于点，（，不重合），且. （i）证明：存在定点，使得为定值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二期末质量监测 高二数学 本试卷共4页，19小题．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，根据空间直角坐标系，可得点关于轴对称的点的坐标是，故选D． 考点：空间直角坐标系． 2. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程． 【详解】由直线的一个方向向量，得的斜率， 又在y轴上的截距为，所以的方程为，即． 故选：C． 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】空间向量共面的充要条件：若三个向量共面，则存在实数，使得（或其中一个向量可由另外两个线性表示），已知不共面，逐一分析选项. 【详解】选项A：，存在线性组合，共面； 选项B：，存在线性组合，共面； 选项C：假设，则， 由不共面得：，无解，故不存在线性组合，不共面； 选项D：，存在线性组合，共面. 故选：C 4. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据离心率得出，再根据关系得出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的离心率为， 所以， 则它的渐近线方程为. 故选：D. 5. 若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 6. 在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥放置于长方体中，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线，所成角的余弦值为 故选：B 7. 已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先找出椭圆的上顶点和右焦点，求直线的斜率与直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离条件，联立直线与椭圆方程，利用判别式求参数，进而确定直线的方程； 【详解】椭圆：，， 所以椭圆的上顶点为，右焦点为， 直线的斜率为, 因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同， 设直线的方程为，即 因为上有且仅有三个点到的距离为，说明椭圆与直线的距离为的平行线中， 一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况） 设与平行且距离为的直线为，根据两平行线距离公式： ，化简得，即， 联立，消元整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，解得， 当时，结合，有，解得（取号）， 此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号） 此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意； 故或满足题意； 故选：D. 8. 已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合向量模公式，即可求解；对于C，结合向量垂直的性质，即可求解；对于D，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以向量与不共线，故选项A不正确； 因为，，所以，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C正确； 因为，故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（ ） A. 点的纵坐标为 B. △的周长为 C. △的内切圆半径为 D. 大于 【答案】BC 【解析】 【分析】由双曲线方程求出及焦距，再通过三角形面积公式求出点的坐标，最后结合双曲线定义、三角形面积与内切圆半径的关系、余弦定理等，逐一判断各选项． 【详解】因为双曲线，所以，，； 则，，故． 因为，代入，， 所以，解得，故选项A错误； 将代入双曲线方程中，解得，故； 因为，，所以， 则△的周长为，故选项B正确； 因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，得，所以，解得，故选项C正确； 根据余弦定理，， 因为，，且余弦在单调递减， 所以，故选项D错误． 故选：BC． 11. 记各项为正数的数列的前项积为，，（），则（ ） A. 若，则 B. 当时， C. 可能为等比数列，亦可能为等差数列 D. 若数列为等差数列，则，或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题设结合的关系得到，进而求解判断即可；对于选项B，根据题设结合的关系得到，，可得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，进而求得，再求出判断即可；对于选项C，举例，即可判断；对于选项D，根据题设结合的关系得到，进而结合为等差数列分类讨论求解即可判断. 【详解】对于选项A：由，，当时，，即； 当时，，即， ∵，即，即，故A正确； 对于选项B：当时，， 当时，，则，即； 当时，，则，即， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 则，即，则，故B错误； 对于选项C，当，时，，此时满足，， 此时数列既是等比数列，也是等差数列，故C正确； 对于选项D：由，，得， 当时，， 则，即，， 则， 若数列为等差数列，则为常数， 若，则恒成立，即恒成立，则； 若，则，解得， 综上所述，，或，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆化为标准式，算出圆心距，再利用两圆外切时圆心距等于半径之和的条件，解方程求出. 【详解】圆：，配方得：，圆心为，半径为 ； 圆：，圆心为，半径为； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆心距为，所以， 解得. 故答案为： 13. 已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出数列，项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列， 依次为， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， 依次为， 这两个数列的公共项所构成的新数列依次为， 可知数列是以首项为0，公差为1的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 14. 记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即， ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在平面直角坐标系中点与点均在圆上. （1）求线段的垂直平分线方程； （2）若圆心在直线上，且过点的直线被圆截得的弦长为，求的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出的中点为，，可得线段的垂直平分线的斜率为，进而根据点斜式求解即可； （2）先求出圆心的坐标，进而求得，再利用几何法得到圆心到直线的距离，进而分直线斜率不存在、存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由，， 则的中点为，， 则线段的垂直平分线的斜率为， ∴的垂直平分线方程为：，即. 【小问2详解】 由题可知圆的圆心为两条直线：，的交点， 联立，解得，即， 则， 又直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离， ①当直线斜率不存在时，此时直线方程为， 此时圆心与直线的距离为，符合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 则，解得， ∴此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列中项性质建立关于公比的方程，求解得到等比数列的通项公式； (2)拆分为奇数项等比数列和偶数项等差数列，分别求和再相加得到前项和. 【小问1详解】 ∵，，成等差数列， ∴， 又为等比数列，设公比为， ∴， 解得，或， 当时，； 当时，； 综上所述，，或. 【小问2详解】 由题意，可知， ∴ ∴ ， ， . 17. 如图，三棱柱中，是等边三角形，，，. （1）证明：平面平面； （2）点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证平面，可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）建系并标点，设，根据线面夹角可得，进而可求面面夹角. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 在中，，，则，， 因为，，平面，可得平面， 且平面，则， 在中，， 在中，，可知， 且平面，，可得平面， 且平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知：，，， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设，，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为， 则， 解得，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知，，且，且． （1）若数列为等比数列，求的值； （2）当时， （i）求数列的通项公式； （ii）设，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：直接分析k为何值时，何时为常数即可；方法二：分析前三项，并以此求出k的值，验证即可； （2）（i）当时，直接根据题中等式可得，n项与项作差后即可得到关于的等式，解出即可；（ii）求出的通项公式，利用裂项相消法求出的表达式，并根据的单调性求出的范围． 【小问1详解】 方法一：∵为等比数列， ∴，， ∴． 方法二：∵为等比数列，∴，，成等比数列， ∴，∴， 即， ∴，∵，∴， 检验如下，若，则有，∴． 【小问2详解】 （i）当时，得， ∴，也即， 当时，易知； 当时，， 即，也即， 又，不满足上式，∴的通项公式为． （ii）由（i）可知，， ∴， ∴ ， 又 ， ∴是递增数列，即， 又∵，∴， 且n趋向于无穷大时，趋向于0，趋向于1，所以， 综上所述，． 19. 已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点. （1）求的值及的准线方程； （2）设直线分别与直线，轴的交于点，（，不重合），且. （i）证明：存在定点，使得为定值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）， （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可求出，进而得到准线方程； （2）（i）设，求出切点弦的方程，利用，求出点在定直线上，联立直线方程与方程，求出，进而求出点的轨迹即可证明，或者根据，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半也可证明；（ii）求出和，利用基本不等式即可求出最小值. 【小问1详解】 因为过点，所以，解得， 所以的准线方程为. 【小问2详解】 （i）设，，所以，， 由题可知，直线的斜率不为，设切线的方程为， 联立方程， 整理得， 令，得， 即，所以， 则切线的方程为 ，整理得切线， 同理可得切线， 设两切线交于点，则， 所以切点弦的方程为， 直线方程为，由，且，不重合可知， 因为直线斜率为，直线斜率为，， 所以，解得， 故点在定直线上，设， 则直线的方程为，则， （方法一）易知直线的方程为，直线的方程为， 联立解得交点的坐标为， 又直线与轴交于点， 由的坐标得，， 所以，即，即， 所以点在圆上(除去点)， 取定点，则，为定值， 所以存在定点，使得为定值. （方法二），取点为的中点，则， 所以存在定点，使得为定值. （ii）， 所以， 因为， 所以， 于是，， 由均值不等式， 当且仅当，即时取等号，此时，不重合，满足条件， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $