精品解析：陕西省安康市汉阴县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末学科素养检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共6页，总分120分。考试时间120分钟。 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号。 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列博物馆标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若的周长为，则的长为（ ） A. 7 B. 9 C. 5 D. 14 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图，在中，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 6. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，例如图中所示的蝴蝶剪纸就是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，点E关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 7. 如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5.5 8. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：_________． 10. 猕猴桃富含多种人体必需的微量元素．每100克猕猴桃含铁约克，将数据用科学记数法表示为________． 11. 笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________． 12. 如图，垂直平分线段，连接，若，则四边形的周长为________． 13. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 14. 如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在等边中，分别以为边向外作和，若．求证：． 20. 如图1是2026年1月的日历牌，图2是“十字型”框架，用该框架框住日历中任意5个数字（如图1所示），设“十字型”框中的5个数字分别． （1）用含a的代数式表示：________，________； （2）判断是否为定值，若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，点的对应点分别为点； （2）画出关于x轴对称的图形，点的对应点分别为点． 22. 周末，几位同学想利用所学知识测量一条河某段的宽度，测量方案如下：如图，在河对岸寻找一棵树，记作点A，在保证安全的前提下，与点A相对的另一侧岸边寻找点，使垂直于河岸，点C在的延长线上，且，测得，在的延长线上取一点E，使，此时测得的长就是该段河流的宽度．请你判断这几位同学的测量方案是否可行，并说明理由． 23. 随着新能源汽车的普及，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向．据测试数据显示，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用过去的充电技术提高了50%，使用新的快速充电技术续航里程300千米的充电时间比采用过去的充电技术续航里程240千米的充电时间节省1分钟，则采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少千米? 24. 如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求证：． 25. 材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： （1）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （2）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （3）若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 26. 【提出问题】 （1）如图1，是的中线，是的中线，若的面积为2，则的面积为________； 【探究问题】 （2）如图2，在和中，．连接，试判断和的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （3）某中学为打造绿色校园，计划在教学楼旁的四边形空地（如图3）上铺设草坪．已知米，为方便师生通行，计划在空地内部修建两条宽度忽略不计的步道和，两条步道交于点．施工前，后勤人员需精准计算草坪采购面积以节约采购成本，请求出草坪采购面积（即四边形面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末学科素养检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共6页，总分120分。考试时间120分钟。 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号。 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：∵ 分式 有意义， ∴ 分母 ， 故选：C． 2. 下列博物馆标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义“平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，找出对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，若的周长为，则的长为（ ） A. 7 B. 9 C. 5 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， ∵， ∴， 答选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，熟练掌握积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，负指数幂性质，是解题的关键． 运用积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，负指数幂逐一判断，即可． 【详解】 选项A： ， ∴ A错误； 选项B： ， ∴ B错误； 选项C： ， ∴ C正确； 选项D： ， ∴ D错误． 故选：C． 5. 如图是折叠凳及其侧面示意图，在中，若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据，则，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 观察四个选项，只有D选项符合上述范围， 故选：D． 6. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，例如图中所示的蝴蝶剪纸就是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，点E关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点F的坐标为， ∴， ∴， 故选A． 7. 如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2； 故选A． 8. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解求参数的取值范围，求不等式的解集，以及分式有意义的条件． 先求解分式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零，得到m的取值范围． 【详解】解：∵， 两边同乘， ∴， 化简：， 移项：， ∴， ∴， ∵解为正数，即， ∴，即， ∵分母不为零：， ∴，即， 综上，且， 故选C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 猕猴桃富含多种人体必需的微量元素．每100克猕猴桃含铁约克，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据负整数指数幂，科学记数法的要求解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设B型号毛笔单价为x元/支，则A型号毛笔单价为元/支；根据总花费和单价，可求出A、B型号毛笔的数量，再根据总数量为500支列方程． 【详解】解：A型号毛笔数量为，B型号毛笔数量为，总数量为500支， 故列分式方程为． 故答案为：． 12. 如图，垂直平分线段，连接，若，则四边形的周长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段，， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 13. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． 观察可知把看成常数，从左往右数，的第三项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，把b看成常数， ∴从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第三项的系数为， 而中， 第三项的系数是10， 故答案为：10． 14. 如图，在四边形中，，点分别为上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】126 【解析】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值，非零数的零次幂和负整数次幂的运算，正确掌握运算方法是解题的关键． 根据绝对值，非零数的零次幂和负整数次幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得， 解得：， 经检验，为原方程解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算括号里的减法，再计算除法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点即为所求； 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图法作角平分线的性质，掌握基本的尺规作图成为解答本题的关键．如图，用尺规作的角平分线，交于点，即为所求． 【详解】如图，点即为所求； 作的角平分线， ， ， ， ， 19. 如图，在等边中，分别以为边向外作和，若．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．在等边中，，证明，推出，进而即可证明． 【详解】证明：为等边三角形， ． 在和中， ， ， ，即． 20. 如图1是2026年1月的日历牌，图2是“十字型”框架，用该框架框住日历中任意5个数字（如图1所示），设“十字型”框中的5个数字分别． （1）用含a的代数式表示：________，________； （2）判断是否为定值，若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查月历中数的规律和代数式的运算、整式的加减，运用了归纳推理思想和代数化简方法．解题关键是准确判断月历中“十字型”框内各数的位置关系，用含的代数式表示各数后，通过整式运算分析定值；易错点是对“十字型”框内数字的位置关系判断错误，导致代数式列错，或化简时符号、项的运算失误． (1)根据月历数的相邻规律，结合“十字型”框的位置，确定、的表达式化简即可； (2)先表示出、、，将、、、代入，通过整式乘法和合并同类项化简，根据结果是否含判断是否为定值． 【小问1详解】 解：根据月历数的相邻规律，结合“十字型”框的位置，得， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是定值．理由如下： ． ． 是定值，定值为48． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，点的对应点分别为点； （2）画出关于x轴对称的图形，点的对应点分别为点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形． （1）先找出点关于y轴对称的点，再连线即可； （2）先找出点关于x轴对称的点，再连线即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 22. 周末，几位同学想利用所学知识测量一条河某段的宽度，测量方案如下：如图，在河对岸寻找一棵树，记作点A，在保证安全的前提下，与点A相对的另一侧岸边寻找点，使垂直于河岸，点C在的延长线上，且，测得，在的延长线上取一点E，使，此时测得的长就是该段河流的宽度．请你判断这几位同学的测量方案是否可行，并说明理由． 【答案】这几位同学的测量方案可行，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由三角形内角和定理可得，从而可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：这几位同学的测量方案可行． 理由：， ， ∵， ， 又， ， ， ， ． 因此这几名同学的测量方案可行． 23. 随着新能源汽车的普及，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向．据测试数据显示，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用过去的充电技术提高了50%，使用新的快速充电技术续航里程300千米的充电时间比采用过去的充电技术续航里程240千米的充电时间节省1分钟，则采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少千米? 【答案】60千米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为千米，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为为千米，根据使用新的快速充电技术续航里程300千米的充电时间比采用过去的充电技术续航里程240千米的充电时间节省1分钟，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为千米，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为为千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为60千米． 24. 如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据已知，结合角平分线的定义和三角形内角和定理，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据三线合一可得，进而证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：，平分， ． ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 证明：，， ． ，， ． 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， ． 25. 材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： （1）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （2）用十字相乘法将分解因式的结果为________； （3）若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解：由题意得， 均为整数， ， ． 26. 【提出问题】 （1）如图1，是的中线，是的中线，若的面积为2，则的面积为________； 【探究问题】 （2）如图2，在和中，．连接，试判断和的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （3）某中学为打造绿色校园，计划在教学楼旁的四边形空地（如图3）上铺设草坪．已知米，为方便师生通行，计划在空地内部修建两条宽度忽略不计的步道和，两条步道交于点．施工前，后勤人员需精准计算草坪采购面积以节约采购成本，请求出草坪采购面积（即四边形面积）． 【答案】（1）4；（2），见解析；（3）草坪采购面积为90平方米． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据三角形中线平分三角形的面积计算即可； （2）证明，即可得到结论； （3）以点B为直角顶点作等腰直角三角形，连接，证明，则米，，得到，求出，，得到四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的中线，的面积为2， ∴的面积和的面积相等，即为4， ∵是的中线， ∴的面积和的面积相等，即为4， 故答案为：4 （2）， 理由：∵， ∴都是等腰三角形， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ （3）如图，以点B为直角顶点作等腰直角三角形，连接， 则， ∵， ∴点在线段上， ∴，即， ∵， ∴， ∴米，， ∴， ∴（平方米）， ∵ ∴， ∴（平方米）， ∴四边形的面积（平方米）， ∴草坪采购面积为平方米 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $