浙江省温州市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题A

2025学年第一学期高二期末质量评价题库 数学(A类) 本题库共4页，19小题.建议做题时间120分钟. 答题须知： 1.答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、题库答题卡号填写在答题卡上.将 条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2、作答进择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效 4、必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知空间向量a=AB,b=CB,c=CD,则AD=(▲) A.a+b+c B.a+b-c C.a-b+c D.a-b-c 平面直角坐标系中，已知直线4B的斜率为，则直线B的方向向量是( A.(2,-1) B.(1,-2) C.(2,1) D.(1,2) 3.下列函数求导正确的是（▲） A.y=π2，y'=2m B.y=lgx,y=1 C.y=cos 3’y'=-sin 3 D.y=tanx,y'=-1 cos2x 4.己知椭圆父+ m 兰=0m>0与双曲线号-号=10a>0有共同的焦点，则m-m=《A) A.2 B.4 C.6 D.8 5.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，O为平面AABB,的中心，则点O到直线AC的距 离为（▲） A.1 B. 6 2 C.2 D.√6 数学第1页（共4页） 6.设双曲线C: -y=1的右焦点为F,过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A, MF交另一条渐近线于点B,则 FA A等 B. C.2 D.3 3 7.己知函数f(x)=x-3sinx的极小值点为a,亿=1,2,3，)，且点(a,f(a,》(=1,2,3,)落在 同一条直线上，则该直线的方程为（▲） A.y=x-22 B.y=x+22 C.y=-x-2√2 D.y=-x+2W2 8.无穷数列{an}满足a+1-a。=an+1a.,有且仅有2025个正整数n,使得a42+a243+…+ana1>0, 记[x]是不大于实数x的最大整数， 1 的值为（▲) A.-2026 B.-2025 C.2025 D.2026 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知直线1：mx+y-2=0和圆0：x2+y2=1,下列说法正确的有（▲） A.直线1过定点(0,2) B.圆O上存在两个点关于I对称 C.圆心O到1的最大距离为2 D.圆O上至少存在三个点到1的距离相等 10.己知数列{an}，b}满足b。=ana+1，且{他}为递增数列，下列说法正确的有（▲) A.若{an}为等比数列，则公比可能大于1 B.若{an}为等比数列，则公比可能小于-1 C.若{an}为等差数列且41>0，则公差可能小于0 D.若{an}为等差数列且a2>0,则公差一定大于0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1交C于A(x1,y),B(x2,y2)两点，AP⊥x 轴，垂足为P,Q是P关于原点的对称点，∠AF2的平分线交y轴于点E,则（▲) A.1y2=-4 B.直线QB与抛物线始终有两个公共点 C.Og,OE,oF成等比数列 D.存在直线l使得S四边形APFE=2S△EF2 数学第2页（共4页） 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分，把答案填在题中的横线上· 12.已知等比数列{a}满足a2=-4=2,则{an}的前8项和为▲一 13.若函数f)=c*-mln(x+2)在[-l,]上单调递增，则m的最大值 是▲· 14.已知四楼锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,CD∥AB,BC⊥AB, PC=BC=CD=AB,点G为△PMD内都一点，ec=Vac' 点M为直线BC上一点，则直线MG与PC所成角的正弦值的最 第14题图 小值为▲一· 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，△ABC为等腰直角三角形， 4C=BC=方4=1，<C4=号平面ABcL平面4CC. (1)证明：AC⊥平面ABC; (2)求平面AB,C与平面ABC所成角的余弦值. 第15题图 16.(本小题满分15分)已知圆C的圆心在直线1：3x-y-5=0上，直线2：x-y+1=0与圆C 相切于点P(-1,0). (1)求圆C的方程； (2)若直线1与直线2交于点2，求△CP2的外接圆与圆C的公共弦长. 数学第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)已知数列{a,}的前n项和为Sn,满足an+Sn=2. (1)求{a,}的通项公式： (2)若a,是关于x的方程x2-x+b,=0的根，求{化，}的前n项和T,. 18.(本小题满分17分)将上下底面都为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.已知 椭圆柱O0,的母线长为3，在下底面建立如图所示的平面直角坐标系，椭圆0的离心率为， 短轴长为2√，焦点在x轴上. (1)求椭圆O的标准方程； (2)已知P为椭圆O上任意一点，OP的中点为M,AB是以点M为中点的弦，设直线AB 的方程为y=a+m. (i)求m与k的等量关系； 01 ()求点O到平面ABO的距离的最小值， B 第18题图 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e1，g()=上x,其中常数keR,a≥1. (1)当a=1时，y=g(x)是y=f(x)图象的一条切线，求k; (2)当k=1时，x>0,有f(x)≥g(x),求a的最大值： （3)3>1,使得o=g0,且08) 请判断s与t的大小。 数学第4页（共4页）1-4CADB 5-8BBAC 9.AC 10.ACD 11.ACD 12.0 13.1 1425 5 15.(1) aC=24=1,2C4=背，4C14c :平面ABC⊥平面A4CC，,平面ABC∩平面A4,CC=AC,ACc平面A4CC, .AC⊥平面ABC (2)(坐标法)如图，建立空间直角坐标系 40,0.0),B(01,0).4(0,0,5).B(-1,15),C(-1,05). 设平面AB,C的法向量n=(x,y,z), 平面4BC的法向量m=(X,y,z),显然m=(L,0,0), 8=(-21)孤n=0n=50,2) CB=(0,10) CB..n=0 设（平面B,G,平面4BC=0,cos6-os(m,= m.n 5√2 √行 7 16. 16解：(1)设圆心C(a,3a-5),由cP1{得，kp=30-5-1,求出a=l,圆心c0,-2) a+1 r=CP=V1+1)2+(-2-0)2=22, 得圆的方程(x-1)2+(（y+2)2=8或x2+y2-2x+4y-3=0) (2) 3x-y-5=0 解：联立直线 x-y+1=0, 得2(3,4) △CP?的外接圆以C2为直径，圆心(2,1)，片=0，外接圆方程(x-2)2+(y-1)2-10 (x-2)2+(y-1)2=10 ,两圆相减得两圆公共弦方程即为x+3y+1=0, (x-1)2+(y+2)2=8 圆心c到公共弦的距离d-2,1=2P-d=2,8 8 -2 328N10 5 15 5 17, (1)因为4+S=2a=2,所以4=1，…2 1 因为an+Sn=an1+Sn1,所以a41 20,…2(有两式相减S。-S出现2分就给》 即a=”42 （2)bn=n2-=2m-,1 1 1+t+11 441 4 41 1-1334时…3( 4求和错误但有分组求和的意识得2分) 4. 记S=1+2+3++n-1n +2+…+ 124 22 则25=2++2+++2”，…1（有乘2或乘号的行为即得1分） 2.34. 124 两式相减得S=2+二+ 124 224 22 …2(有错位相减的结果即得2分，不管对错) 所工，三S专+34=氵+34-2子2(G最终结果正确2分)一 18 (1)由题意得：2b=2V3 C 又e= b21 a 12a=2,6=5 ∴.椭圆的方程为 -+=1 43 (2) (i)设A(x,)、B(x2,y2)、M(,0)∴.+x2=2,片+y2=2g v=kx+m 设I4By=Gx+m,联立 +少-1得6+4k)r2+8kmx+4m-12=01上（有联立，不管对错都给1分） 43 3+4k25-4m2-12 8km .x1+x2= 3+4.4=484-m+3》 2 3m +2=k(x+x2)+2m= 3+4k2 xM= 4k1 3m 3+4kM=3+4k .3 (识将点P代入方程滑'01-5（点坐标分，代方程分》 64k2m2,36m2 化简得12m2+16k2m2=(3+4k2)2,由于3+4k2>0 .4m2=3+4k2为所求 6 (i)法一：（几何法） ∴，当d取到最小值时.OW也取得最小值 过O作OH⊥AB于点H,连接QH,作ON⊥OH于点N 在椭圆而内，d=一 m 由OQ⊥平面4B0∴.OQ⊥AB 1+k2 .4 由(i)得：4m2=3+4k2≥3 .AB⊥平面HOO,AB⊥ON 5(m的范围】 ∴.OW⊥平面ABO d=则 1 1 1 1 m+4+m 1-2 6 ∴ON即点O到平面ABO的距离2 1+3 设on=d,则oN=3d 3 313 ,此时k=0,m=± V9+d.1 .3 :O州的最小值为13 2 d +1 .313 :.O到平面AB0,的最小值为13 .7 19. (1)当a=1时，g()=x是f(x)=e的切线，设切点(o,o) f'(x)=e- (有出现求导式子，不管正确与否，都给1分) 由ke1=l 得k=1 (过程1分+答案2分，共3分) (2) 由题意得e1≥ 二x对x>0恒成立， 两边取对数，得-l≥anx-na 一（取对数变形，1分） 令F(x)=x-a血x+na-1(x>0),则F(x)≥0对x>0恒成立 F'(y=1-0-x-a xx 当x∈(0，a)时，F'(x)<0,F(x)递减： 当x∈(a,+oo)时，F'(x)>0,F(x)递增. ..F(x)min F(a) a-a血a+ma-1=(a-1)1-na)≥0一（单调性分析+最值，3分） .a≥1 .∴1-na≥0 解得a≤e,即a的最大值是e☐ (答案2分) eks-1 [f(s)=g() (3) a ks-1=alnt-In a k6+马)=2-2na 两边取对数， s2+11-na 得 -1=-alnt-Ina ks-马=2an1 s2-1 alnt (取对数变形思想，1分) nt= .，1-lha<1 s2-1 .tss--1 (*) s2+1 .nrs22-1) s2+1 (得到s和t正确的关系式，2分】 令h(y=nr- 2(x-1) (x>1) x+1 则h(=1 xc+x+1>0,÷h)在(L,+)上递增， (x-102、 4 .'>1 hs)>h=0,即ns22s2-D s2+1 一（不等式证明，3分） 再结合(*)式，得血s2>血，故>可一（答案正确1分，无过程猜对也给分）