精品解析：广东东莞市石龙第三中学等校2025-2026学年度第一学期期末教学质量自查九年级数学科试卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量自查九年级数学科试卷 说明：1．全卷共6页，考试时间共120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答案卡科目，需用2B铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. “明天连云港会下雨”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的相关概念可进行排除选项． 【详解】解：“明天连云港会下雨”，这个事件属于随机事件； 故选B． 【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键． 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式得出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 4. 平面内，已知的半径是，线段，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与半径的大小关系判断． 【详解】解：∵的半径，，且， ∴， ∴点P在外， 故选：A． 5. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒米内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了样本估算总体，设这批米内夹谷约有石，由题意得，求出解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设这批米内夹谷约有石， 由题意得：， 解得：， 故选：． 6. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心5月份的参观人数=该展览中心3月份的参观人数×（1+参观人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 7. 如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，首先根据直径得到，然后求出，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据题意先求得的半径，进而得到，然后利用勾股定理求得，根据垂径定理可知，据此即可求得答案． 【详解】解：∵为的直径，为的弦，于点E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故选B． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④对任意m，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题，逐一分析判断各个说法并选出正确的说法即可． 【详解】解：由抛物线开口向下可得， 根据抛物线的对称轴在y轴右侧可得a，b异号，∴， 根据抛物线与y轴的交点在其正半轴上可得， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴，可得， 由图象可知，当时，，即， ∴， 即，故③正确； ∵当时，函数取得最大值，即为最大， 故， 即，故④错误， ∴结论正确的是②③，共2个， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：2． 12. 已知两个相似三角形对应边之比为，那么这两个三角形的面积之比__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边之比为，即相似比为， 设相似比为k，则面积比为 ∴面积比为，即， 故答案为：． 13. 如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，包括弧长公式，设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 则有， ， 解得， 即这个圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 14. 如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 15. 如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先提取公因式x，得到，根据“若两个数的乘积为零，则至少其中一个数为零”，可得或，因此求解x的值； （2）先将常数项移到等号右边，得到，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即，得到，根据完全平方公式可得，对两边同时开平方，得到，当时，解得；当时，解得． 【小问1详解】 解：， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴或， 解得：，． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出绕点顺时针旋转后得到的； （2）求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ． 18. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积： （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）12 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，三角形的面积及一次函数与反比例函数的图象等知识点． （1）把A的坐标代入一次函数解析式即可求出b的值，进而得到一次函数解析式；再将A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式； （2）设直线与y轴的交点为C，先求出点B的坐标，再求出点C的坐标进而分别求出和的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数交A，B两点， ∴将点代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， 将点代入反比例函数得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴的交点为C， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于E，F，是的切线，为切点，连接． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵于D， ∴，∵ ， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∵是半径， ∴直线为的切线． （2） 证明：由（1）可知，直线为的切线． 即， ， ， =90， ， ， ， 即， 是直径，是半径 ， ， ， 整理得； 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1）连接，由，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，，再由，，利用得出，由为圆的切线，得到，利用全等三角形的对应角相等得到，即为圆O的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出，由相似得比例，列出关系式，由为的一半，等量代换即可得证． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 21. 综合与实践 ［问题情境］小莹妈妈的花卉超市以18元／盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 30 40 B 25 50 C 20 60 D 40 20 E 35 30 （1）请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 20 __________ __________ __________ 40 日销售量（盆） 60 __________ __________ __________ 20 [模型建立] （2）设日销售量为y，售价为x，根据数据的变化规律，估计x与y之间的函数关系，求解析式； ［拓广应用］ （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润，并求出最大利润？ 【答案】（1）25，30，35；50，40，30； （2）； （3）售价定为34元时，每天能够获得最大利润512元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数表达式求解及二次函数的实际应用． （1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）观察（1）中表格可知日销售量是售价的一次函数，设日销售量为y盆，售价为x元/盆，一次函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （3）设每天获得的利润为w元，列出二次函数表达式，利用二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表： 售价（元/盆） 20 25 30 35 40 日销售量（盆） 60 50 40 30 20 故答案为：25，30，35；50，40，30； （2）观察（1）中表格可知日销售量是售价的一次函数，设日销售量为y盆，售价为x元/盆，一次函数解析式为， 把，代入，得，解得， ∴； （3）设每天获得的利润为w元， 根据题意得， ∵， ∴当时，w取最大值512， ∴售价定为34元/盆时，每天能够获得最大利润512元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 湖北姑娘郑钦文在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破，网球运动在国内受到欢迎．于是某数学兴趣小组的同学们对研究网球运动产生了浓厚的兴趣，他们利用课余时间完成了实践调查，搜集了相关素材．请根据素材完成相关任务． 素材搜集 素材1 如图1所示，经过测量发现网球比赛场地为矩形，A，B分别为球场宽的中点（其中为边界点），的长为24米，球场中心的球网高度为1米． 素材2 如图2所示，为上一点，米，运动员站在处发球，经过多次试验发现网球飞行路线呈抛物线形状，以所在直线为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系． 素材3 如图2所示，在某一次发球后测得击球点距离地面米，球在点处达到最高，为球网的高，球沿直线的正上方运动后落在上． 问题解决 任务1 研究球运动轨迹 （1）求此次击球后球运动路线所呈抛物线的解析式； 任务2 研究球是否过网 （2）判定此次击球后球是否能越过球网，并说明理由； 任务3 研究球是否出界 （3）如果此次击球球能过网，判断球是否出界？并求落地点距离边界点的距离． 【答案】任务1，； 任务2，此次击球后球能越过球网，理由如下： ∵的长为24米，点E为的中点， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，当时，， ∵， ∴此次击球后球能越过球网； 任务3，球不会出界，落地点距离边界点的距离为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 任务1，由题意该抛物线顶点坐标为，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 任务2，求出的长，得到点E的横坐标，进而求出点E的横坐标情况下，抛物线对应的函数值即可得到答案； 任务3，求出抛物线函数值为0时，x的值即可得到结论． 【详解】解：任务1，由题意该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 任务2，略 任务3，在中，当时， 解得或， ∵米，且， ∴球不会出界，落地点距离边界点的距离为米． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点F在对角线上，过F点分别作和的垂线，垂足为E，G，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为__________，线段与的数量关系为__________． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边向外作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，求出的长． 【答案】【问题发现】，； 【拓展探究】仍然成立，理由如下： 在图1中，，， ∴， ∴， 在图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 【解决问题】的长为或 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质． 【问题发现】先证明，推出，从而利用等比的性质可得出，； 【拓展探究】由旋转的性质可得：，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 【解决问题】分“点E在线段上”和“点E在线段的延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【问题发现】在矩形中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，； 【拓展探究】略； 【解决问题】①如图，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当点E在线段的延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量自查九年级数学科试卷 说明：1．全卷共6页，考试时间共120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答案卡科目，需用2B铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “明天连云港会下雨”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 平面内，已知的半径是，线段，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 5. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒米内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 6. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 9. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 10. 如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④对任意m，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为____________． 12. 已知两个相似三角形对应边之比为，那么这两个三角形的面积之比__________． 13. 如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为__________． 14. 如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 15. 如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）． （2） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出绕点顺时针旋转后得到的； （2）求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 18. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积： （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于E，F，是的切线，为切点，连接． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； 21. 综合与实践 ［问题情境］小莹妈妈的花卉超市以18元／盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 30 40 B 25 50 C 20 60 D 40 20 E 35 30 （1）请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 20 __________ __________ __________ 40 日销售量（盆） 60 __________ __________ __________ 20 [模型建立] （2）设日销售量为y，售价为x，根据数据的变化规律，估计x与y之间的函数关系，求解析式； ［拓广应用］ （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润，并求出最大利润？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 湖北姑娘郑钦文在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破，网球运动在国内受到欢迎．于是某数学兴趣小组的同学们对研究网球运动产生了浓厚的兴趣，他们利用课余时间完成了实践调查，搜集了相关素材．请根据素材完成相关任务． 素材搜集 素材1 如图1所示，经过测量发现网球比赛场地为矩形，A，B分别为球场宽的中点（其中为边界点），的长为24米，球场中心的球网高度为1米． 素材2 如图2所示，为上一点，米，运动员站在处发球，经过多次试验发现网球飞行路线呈抛物线形状，以所在直线为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系． 素材3 如图2所示，在某一次发球后测得击球点距离地面米，球在点处达到最高，为球网的高，球沿直线的正上方运动后落在上． 问题解决 任务1 研究球运动轨迹 （1）求此次击球后球运动路线所呈抛物线的解析式； 任务2 研究球是否过网 （2）判定此次击球后球是否能越过球网，并说明理由； 任务3 研究球是否出界 （3）如果此次击球球能过网，判断球是否出界？并求落地点距离边界点的距离． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点F在对角线上，过F点分别作和的垂线，垂足为E，G，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为__________，线段与的数量关系为__________． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边向外作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $