解锁“高考数学学科素养”专题系列——6函数三要素的考察方式讲义-2026届高三数学一轮复习

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——6函数三要素的考察形式 高考的目的就是要将有素质的考生考出来，因此出题常常会在试题的立意上做文章，因此问题的给出尽量含蓄，但万变不离其中，函数的三要素也如此. 解锁一：函数定义域常见的表示形式: 1.求函数的定义域; 2.若，变量是定义在---上的函数; 3.若，变量在上有意义; 4.若，.求变量的取值范围; 探点1.当时，式子总有意义，求实数的取值范围. 探究：由式子有意义知,因为,所以,所以 探点2.已知是定义在上的函数，且满足，当时，，解不等式. ， 研究1：由得 , 已知不等式可变为，由已知知 ，所以，故所求不等式的解集为. 探究2:因为，，所以可变为，即，所以，即.因为当时，，所以 ，解得，故所求不等式的解集为 解锁二：求函数定义域的原则 依据函数的所给形式待定 1.若函数是由图示、表格、图象给出的，求函数的定义域实质就是“写出”定义域； 2.若函数是由解析式给出的，则求定义域就是求使函数有意义（各部函数均有意义的）的自变量的取值范围； 3.若函数是由复合形式给出的，则求定义域就要按复合函数的要求求解； (1)已知（单）函数的定义域为，则求复合函数的定义域，就是求不等式的解集； (2)已知复合函数的定义域为，求（单）函数的定义域，就是求在上的值域； (3)已知复合函数的定义域为，求复合函数的定义域，就是先求在上的值域，再求不等式的解集. 4.若函数是由实际问题或几何问题确定的，则求函数的定义域既要确保函数式有意义，还要考虑问题的实际意义或几何意义的要求. 探点1.(1)若函数的定义域为，则函数的定义域为 . (2)若函数的定义域为，则函数的定义域为 . (3) 若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 诡辩: 中的与中的是否是相同的？为什么？求函数的定义域是求的取值范围？还是求的取值范围？ 探究： (1)由题意知，即，即，故函数定义域为. (2)由题意知，所以，所以函数定义域为. 变式:已知函数的定义域为,则函数的定义域为 . 探究:由题意知,即(两区间长度相同).因为是函数，所以不等式组有解.若，则；若，则.综上所述，当时所求函数的定义域为；当时，所求函数的定义域为. 探点.已知周长为的扇形半径为，则扇形面积关于的函数为 . 探究 ：由题意知,且，所以，故所求函数为（） （注意自变量的取值条件！）. 解锁三：函数值域常见的表示形式: 1.求函数的值域； 2.若，求函数值的集合； 3.若，求的取值范围. 探点.若不等式的一个解为，则函数的取值范围为 . 探究：因为不等式 的一个解为 ，所以，解得，函数，所以，所以，即,且 探点.在中，，，则中线的取值范围为 . 探究1(函数法)：设，由知且. ,由可求得的取值范围为. 探究2(不等式法)由三角形中线性质知，,当且仅当时取等号,而所以,将补成,则 ，所以，综上得的取值范围为. 探究3(几何法)：由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆除去长轴的两个顶点，为此椭圆的中心.由椭圆的几何性质知，故中线的取值范围为 解锁四：求函数值域的的解题原则 先定(函数定义)域，后选法(单调性法、因型而异代数几何法)； 先定(函数性)质，后(因型而异)求解. 最后回答 探点1.若函数，则的取值范围为 . 探究:由题意知，解得，此时，函数 在上单调递增，所以，故所求函数的取值范围为. 探点2.函数的取值范围为 . 探究:已知函数的定义域为,且是奇函数.当时,,此时, 由奇函数的性质知,当时,,综上,故所求的取值范围为. 解锁五：求函数值域的常见类型及其求解基本策略 类型1：已知型——已知函数图象与已知或可求出函数的解析式. (1)已知函数图象求值域的基本解题策略：将图象向轴投影，投影所覆盖轴部分即为所求的值域； (2)已知或可求出函数的解析式求值域得基本策略：先考虑函数性质，后因型而异. ①常见的单调函数 ❶; ❷; ❸; ②根式函数常见单调性的类型: ❶； ❷ ❸； ❹ 悟惑.的取值范围为 . (3)无函数性质的基本类型 ①基本函数的局部或简单复合或分段函数 解题基本策略是观察法 ❶观察解析式； ❷观察图象. 如:的取值范围为 . ②整式函数 代数变形：利用公式或换元使其化归基本函数或基本函数的局部；几何意义：函数图象、距离的平方、面积等等. 探点1.回答下列问题 (Ⅰ)函数的取值范围为 ； (Ⅱ)函数的取值范围为 ； (Ⅲ)函数的取值范围为 . 探究: (Ⅰ)，所以所求函数的取值范围为; (Ⅱ)的几何意义是与距离的平方.距离的最小值为二次函数的切线与切点和的连线垂直.设切点为，则即解得 (或函数).故所求取值范围为; (Ⅲ)，可求. 感悟:整式运算：要注意相关公式的灵活运用. 探点2.函数的取值范围为 . 探究: 感悟:三角整式函数的值域的求解策略 ❶化成三角函数式；如：; ❷化成以三角函数（式）为变量的复合函数; ❸导数法. 探点.若是函数的一条对轴，则 探究1(三角法):略； 探究2(导数法):，解得. 悟惑：整式求值域的基本解题策略 ❶函数性质； ❷化归基本函数，即经过变形或换元使其划归基本函数或其局部； ❸利用几何意义，利用基本函数的图象或基本曲线的图形或基本几何量(常见的有距离或距离的平方、数学规划、面积等)； ❹利用导数. ③分式函数 代数变形：先一个分式要约分，两个分式要通分；后拆项化归反比例或化归对钩函数；几何意义：直线的斜率. 变形的根基： ❶的值域为; ❷.若，则函数在，若，则函数在. 如1: . 法一(拆项)： ； 法二(判别式法)：由得.若，则;若，则，而恒成立，所以函数的取值范围为. 如2:的值域为 拆项的基本型： 一次分式函数: 二次分式函数:(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) ,分母是关于的一元二次函数. (Ⅴ) (Ⅵ) (Ⅶ) (Ⅷ) (Ⅸ) 可令或的非前面的形式,可用法.或拆项法:设,则,所以,或. 几何意义只要运用于拆项繁琐的情况. 探点.的取值范围为 . 变式:的取值范围为 . 探点:，所求的取值范围为: 说明:注意一次分式的条件 探点:数在上单调递减，则的取值为 探究:,解得为所求. ④根式（无理式）函数 变形手段: ❶配方开方; ❷根式有理化; ❸平方再开方; ❹换元；❺导数法. 几何意义：圆锥曲线一部分，两点间距离或距离的和与差. 探点1.函数的取值范围为 . 探究：,所以所求的取值范围为 . 探点2.函数的取值范围为 . 探究:，所以所求的取值范围为 . 探点3.函数的取值范围为 . 探究:，设，则,所以所求的取值范围为 . ⑤绝对值函数 几何意义；； 代数变形：去绝对值(符号讨论、划分数轴)，化归为分段函数；利用绝对值的性质. 探点.函数的取值范围为 . 探究1(去绝对值):，故所求的取值范围为. 探究2(几何意义)：如图，即得所求的取值范围为. 探点2.函数的取值范围为 . 探究1:.故所求的取值范围为. 探究2：由几何意义知所求的取值范围为. 探究3：，当且仅当，即时，上式取等号，所以当时，所求的取值范围为. 探点3. ，表示点到点和直线距离之和，所以的取值范围为. ⑥合成型函数 代数变形：求导数； 几何意义：函数图象的走向. 说明：多个同类基本函数合成的解题基本策略 ❶整体利用基本函数的单调性； ❷划归为一个基本函数； ❸利用导数. 探点1.是在上有意义的函数，则实数的取值范围为 . 探点:由题意知对恒成立，即 对恒成立.而函数，所以，故实数的取值范围为. 探点2.是在上有意义的函数，则实数的取值范围为 . 探点：对恒成立，而函数在上单调递增，所以，实数的取值范围为 探点3.当 时，最小？ 探究1(函数法):，由一元二次函数性质知，当时，最小. 探点2(方差法):当，即时，所求最小. ⑦复合函数 解题基本策略: 先里后外，转化为基本函数的局部问题. 探点.函数的取值范围为 . 探究：因为，所以，所以，故所求函数的取值范围为. ⑧综合或混合型 ❶一般值域问题均需先变形后化归基本型. 探点1.函数的取值范围为 . 探究:，所以，所以，所以，故所求函数的取值范围为. 探点2. 函数的取值范围为 . 探究： ❷先想函数性质后直求 主要性质：单调性、奇偶性、对称性、周期性. 但单调性是整体求值域，而其它三条性质是化整为 零. 探点.函数的取值范围为 . 探究:因为函数是奇函数，所以函数值域关于原点对称，当时， ，所以所求函数的值域为. ❸ 注意混合型 探点. 探究： . ⑨函数值域的逆向问题 解题策略：按解逆向题的三种方法求解. 探点1.已知是定义在上，且值域为的函数，则 . 探究1:复合函数逆向题.解决问题的关键根据在真数，即研究真数这个二次方式值域的逆向问题.设 ，则由定义域为知恒成立，因为，所以，所以.又值域为，所以的值域，由得，若即，则成立，若则，综上总有，即，所以是是关于的方程的两个实根，由韦达定理知，经检验函数的定义域是，故所求为. 探究2（定义法）因为值域为. 探点3.若，数均为非负实数,则函数的取值范围为 . 探究： 探点4.已知函数的定义域为，值域为，则函数的取值范围为. 探究.当时，所求函数的取值范围为；当时，所求函数的取值范围 ；当时，所求函数的取值范围为. ⑩与值域有关的基本型 ❶使得的含义是； ❷使得且使得的含义是； ❸使得的含义是； ❹使得的含义是，使得. 类型二：未知型 不能求出解析式的函，解题策略:转移法. 其一是利用函数性质，如：单调性法奇偶性或周期性转移求解；其二是利用已知条件转移求解. 探点.设定义在上的连续函数对任意的都有且当时，求在上的取值范围. 探究:利用函数的单调性和奇偶性.设，则，所以，所以，所以在单调递减,可证是奇函数,所以，故在上的取值范围为. 变式：且，当时，,则在上的取值范围为 . 探究:，，因为所以，所以，故所求范围为 解锁三：求函数解析式常见的出题形式 2.求函数（解析式）的常见类型与方法 (1)已知型: ①已知名称或已知图象求解析式； ❶已知函数的名称或可求函数； 求法:待定系数法或公式法. ❷隐含函数的名称. 已知给出的运算关系蕴藏基本函数特征或运算性质，尤其在自变量位置上的量在运算时出现在函数值外面,这时就要考虑是否是函数的隐含问题. 探点1.整式函数满足，则 . 探点: 探究1（函数法）：由题意知，将其代入已知比较系数得，所以. 探究2（方程法）：在已知等式中令，则，所以. 探点2.已知定义在上的函数对和，都有，且，则 . 探究:令,则,又,所以;当时,;当时所以 悟惑:求函数要先定性，后定量. 探点3.的定义域为,并满足以下条件:①对,有; ②对,有;③ (I)求的值; (II)求证:在上是单调增函数; (III)若,且按此顺序成等比数列,求证 探究: (I)由①,②知,当; (Ⅱ); (III)因所以 . 题思:以上都是已知函数的隐形问题，它与函数方程不同.解这种隐形问题，只需模仿规定的运算即可. 探点4定义在上的函数满足，对，都有，且，则的的取值范围 . 探究：由已知，因为，，所以，所以，解得，故的取值范围为. 探点5定义，若存在实数使曲线在点处的切线与直线垂直，且，求实数的取值范围. 探究:先求出函数的解析式，再列式求量. ，，所以，又，所以，即，因为，所以，将代入得,即，因为，所以，而函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围. ②已知不等式求解析式 ❶通过条件可推出; ❷通过条件可推出且，从而推出. 探点1.已知函数的图象过点，且对一切都有成立，则函数的增区间为 . 探究：先求出函数的解析式.三个参数，需三个条件.令,得，所以，即①，又，即②，由①②得，再由对一切都有 即成立，所以，所以 ，而由 及知，所以解得,故.从而,所以所求的增区间为. 探点2.已知是定义在上的函数且，对都有：，若，则 . 探究:，知，又 ，所以.所以 . 2 已知图象求解析式：直接写出或待定系数法求出函数解析式 探点.已知的图象是以为线段端点坐标分别为和顶点为的抛物线的一部分，且，则 . 探究:，由于，所以或，所以或. (2)未知型： ①已知复合函数求解析式 函数式的结构（其中是已知具体对应关系，是抽象法则），求函数解析式的常用方法： ❶“拼凑法”,其步骤为: (ⅰ)将已知式的右边构造出的表达式; (ⅱ)求的取值范围(左思右想); (ⅲ)将换成,并注上“”. ❷“换元法”,其步骤是: (ⅰ)设解出,并代入已知式的右边; (ⅱ)求的取值范围(左思右想); (ⅲ)将换成,并注上“”. 探点.已知，则 . 探究:利用拼凑法.可求得. ②特殊函数方程： 以函数为变量的方程（至少有两个“”的等式） ❶变量赋变值消元法，基本模型：（Ⅰ）“”与“”；(Ⅱ) “”与“”； (Ⅲ) “”与“”的等式； 探点.已知，则 . 探究:造基本模型，设，则，所以，解得 ，故. ❷变量赋特值消元，对象：已知一个函数方程和特殊函数值;目标：造出特殊函数值和函数表达式的方程. 探点.已知，则 . 探究:利用特征消法则. 探究1：在已知等式中取，则. 探究2：令. 说明：注意取值的可行性，主要有：取值要确保有意义、可求处解析式.如本题中取，则有；另外还要注意答案的不唯一性. ❸数列通项法，对象：定义在正整数集或其真子集上函数方程.目标：构造数列递推式. 探点.已知是定义在上的函数，且对，都有 ，且，则 . 探究:取,则,即,当时,，当时，前式也成立，故，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $