湖北省咸宁市崇阳一中2025-2026学年度上学期高三数学限时训练（十五）

2025-2026学年度上学期高三数学限时训练（十五) 一、单选题（每小题5分，共30分） 1.已知a=(1,2,3),万=(x2,-1),若a1i,则5=() A.6 B.2√6 C.3√6 D.14 2.若圆锥底面半径为1，高为2√5，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是() A号 B君 C.2 D.3 3.在空间中，下列命题正确的是() A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D.若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 4.若平面&截球O所得截面圆的直径为2，球心O到的距离为1，则球O的表面积为() A.2π B. C.8π D.8V2nt 3 5.己知正方体ABCD-ABCD,过点A且与AC垂直的平面为a,则AC,与平面a所成 角的余弦值为() A号 B.3 c. D. 2W2 3 3 3 6.在四面体P-ABC中，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，则直线PA与平面PBC所成角的 正弦值等于(). A.6 B.3 C. D. 2 3 3 二、多选题（每小题6分，共12分） 7.关于空间向量，以下说法正确的是() A.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则a+b,a+b+c,c必共面 B.若空间向量a,b满足a.b<0,则a与b的夹角为钝角 C.点M(3,2,1)关于平面xOz对称的点的坐标是(3，-2,1) D.若直线l的方向向量为而，平面的法向量为，则“⊥”是“1∥”的充要条件 试卷第1页，共2页 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC1D中，点E在正方形BB,CC内运动（含边界） 且AE⊥BC,则下列结论正确的有() A.点E的轨迹长度大小为√2 D C B.三棱锥A-CD,E的体积随着E的位置变化而变化 C.当点E位于点B时，异面直线AE与BD所成角最小， 且最小值为等 D.F为直线8A上一点，则En的最小值为 3 三、填空题（每小题5分，共10分） D 9.在平行六面体ABCD-ABCD中，各棱长均为2， A B AMB=∠BAD=A4D-号则AC两- 10.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC,AB=BC=4, 32 B AB L BC,且三棱锥P-ABC的体积为了，则该三枝锥外接 球的表面积为 四、解答题（共15分） 11.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AB⊥BC,AC=2,BC=1,点M满足 PM=PB(0<1<1),N是PC的中点. (1)请写出的一个值使得BC∥平面AMN,并给予证明： (2诺二面角P-BC-A大小为号且A-号求点M到平面PAC的距离。 M N 、B 试卷第2页，共2页 《限时训练(15)》参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 答案 A C C 0 AC ACD 1.A【详解】a=(1,2,3),6=(x,2,-1),若a⊥i,则a.i=x+4-3=0, 解得x=-1,则=V1+4+1=√6】 2.A【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为，P+2=3, 圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为2元x1=2π， 所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是 2兀 4.C【详解】如图所示，由题可得截面圆的半径为OA=1, 因为球心O到的距离为1，所以OO=1, 球0的半径r=√002+0A=√2+12=√2，所以球0的表面积为 D 42=8π. B 5.D【详解】设正方体棱长为1，以A为原点，AB、AD、A4分 别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),A(0,0,1), C(1,1,0),C(1,1,1) 所以AC=(1,1,-1),AC=(1,1,1).因为平面&过点A且与AC垂直，所以 AC=(1,1,-1)就是平面a的法向量，设AC,与平面&所成角为0，所以 AC·AC sin0= cos AC AC 1×1+1×1+1×(1 +1+1.+1°+-Bg3 所以cos0=V1-sim20 13) ⑧_22 3 6.A【详解】如图，过A作AE⊥PC,AF⊥PB,作A点在 平面PBC的投影为O,连接OE,OF,设PA=2a,因 ∠APB=∠CPA=60°，则PE=PF=PA.cos60°=a, AE=AF=PA:$in60=√Ea,因为AO⊥平面PBC,PE, 0 PFC平面PBC,所以AO⊥PE,AO⊥PF,且∠APO为PA与 答案第1页，共4页 平面PBC所成角.又AE⊥PE,AF⊥PF,OA∩AE=OA∩AF=A, OA,AEC平面AOE,OA,AFC平面AOF,所以PE⊥平面AOE,PF⊥平面AOF. 又OEc平面AOE,OFc平面AOF,则OE⊥PE,OF⊥PF. 又PO=PO,PE=PF,∠OEP=∠OFP=90°，则△POE≌△POF, 故∠OPB=∠OPF=30°，结合PE=Pr=a,得PO=PB=2 2a.又PA=2a,则 c0s30°3 2W6 A0=VP-P0-26a,故A与平面P5C所成角的正弦值等于40=号 a 6. 3 PA 2a 3 8.ACD【详解】以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标 系，则A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,0),C(0,1,1),D(0,0,1),B(1,1,0) 对于A,设E(x1,=),A正=(x-1,1z),BC=（1,0,-1), 因为AE⊥B,C,所以AE⊥BC,即AE·B,C=(x-1)(1)-z=0, 因此点E的轨迹为正方形BB,CC内满足x+二=1的线段，即线段BC, 长度大小为BC=V1-0+1-1)+(0-1=2,A正确： 对于B,因为BC //AD,BC文平面ACD,ADC平面ACD, 所以BC/I平面ACD,且BC到平面ACD,的距离固定，设为h, 由上分析可知点E在线段BC上运动时，E到平面ACD,的距离为定值h, 所以三校锥-CD8的休积为，ea-8,为定值，B信误： 对于C,设E(1-t,1,t)(t∈[0,1])，AE=(-t,1,t),B,D=(-1,-1,0), 设异面直线AE与B,D所成角日的余弦值为 AF.BD t-1 1-t AEBD vP+1+t2V5√22+1√J2 令f02r7 1-1(E[0) -1-2t (22H)2r2+H, t∈[0，].-1-2t(0.(22+1)V22+1)0, 所以∫'(t)<0,f(t)在[0，]上单调递减，最大值f(0)=1,最小值f()=0, 答案第2页，共4页 当t=0,异面直线AE与BD所成角的余弦值最大，异面直线AE与BD,所成角最小， 则EL10,即当点E位于点8时，cos0= 2 异面直线业与马A所成角最小为于，C正确： 对于D,F为直线BD上一点， 则EF的最小值为线段BC1上的点到直线B,D,的距离的最小值， 即异面直线BC与B,D,之间的距离， BB1=(0,0,1),BD=(-1,-1,0,BC=(-1,0,0, ii.BD=-a-b=0 设公垂向量为i=(a,b,c),则 i.BC=-a+c=0 解得a=1,b=-1,c=1,则i=(1,-1,1), 计算异面直线距离d= 丽月斗_百，则的最小值为5，D正确 园33 3 9.0【详解】设向量亚-a,D=五，4=c,则=回==2(a)=(ac=a,c)-=5, 所以ab=a:c=i.c=2x2cosL2,又由AC=AB+BC+CC=a+b+c, 3 BA=AA-AB=c-a, 所以ACB4=(a+b+c)-(c-0=c-a+b-c-ab+c-a-c=2-22+2-2+2-2=0. 10.36π【详解】如图：在△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=4, 所以AC=4v2.取AC中点O,则O为△ABC外接圆的圆心， 且△ABC外接圆半径为1C=2√2连接PQ,因为PA=PC,所 2 PA=PB 以PO⊥AC.又{PO=PO →△POA=△PO,B(SSS). OA=0B=2V2 所以∠PO,B=∠POA=90,即PO⊥OB.又OB,ACC平面ABC,O,BAC=O,所以 P0L平面ABC.所以.cP0→2× =5×-×4×4.P0→P0=4. 3 332 所以三棱锥P-ABC外接球的球心在线段PO,上，设为O,再设三棱锥P-ABC外接球的半 答案第3页，共4页 径为R,在△00，C中，0C=R,00,=4-R,OC=2W2,由R2=(4-R)+(22→R=3. 所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=4元×32=36元. 12【详解】(1)当2=号时.BCW平面N,-…1分 证明如下：丽-号历，为B中点，又N为PC中点，NWBC, :MNc平面AMN,BC文平面AMN,.BC∥平面AN5分 (2)AB⊥BC,AC=2,BC=1,AB=√5； :PA⊥平面ABC,BC平面ABC,PA⊥BC,又AB⊥BC,AB∩PA=A,AB,PAC平 面PAB,∴.BC⊥平面PAB,又PBC平面PAB,.PB⊥BC, .∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，8分 即∠PBA=平PA=AB-V 以B为坐标原点，BA,BC正方向为x,y轴正方向，作z轴平行于AP, M 可建立如图所示空间直角坐标系，9分 则A5,0,0）,C(0,1,0),P(5,0,3),B(0,0,0), C pA=(0,0,-V3,Ac=(-5,1,0）,PB=(-5,0,-5), m-所-〔s43 11分 设平面PAC的法向量i=(x,y,), PA.ii=3z=0 则 AC.n=-√3r+y=01 令x=1,解得：y=3,二=0，i=(1,5,0）,13分 点M到平面PAC的距离/7边的 -5-33…15分 园2-10 答案第4页，共4页 2025-2026 学年度上学期高三数学限时训练（十五） 一、单选题（每小题 5 分，共 30 分） 1. 已知 = (1, 2, 3) ， = (x, 2, -1) ，若 丄 ，则 = ( ) A. B. C. D. 2. 若圆锥底面半径为 1 ，高为 ，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是 ( ) A ． B ． C ．2 D ．3 3. 在空间中，下列命题正确的是 ( ) A ．垂直于同一直线的两条直线平行 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D ．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 4. 若平面 α 截球 O 所得截面圆的直径为 2，球心 O 到 α 的距离为 1，则球 O 的表面积为( ) A ． 2π B ． C ． 8π D ． 5. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1D1 ，过点 A 且与 A1C 垂直的平面为 α , 则 AC1 与平面 α 所成 角的余弦值为 ( ) A ． B ． C ． D ． 6. 在四面体P - ABC 中，APB = APC = BPC = ，则直线PA 与平面PBC 所成角 的正弦值等于 ( ) . A ． B ． C ． D ． 二、多选题（每小题 6 分，共 12 分) 7. 关于空间向量，以下说法正确的是 ( ) A ．若 构成空间的一个基底，则 , , 必共面 B ．若空间向量 满足< 0 ，则 与 的夹角为钝角 C ．点M (3, 2, 1) 关于平面xOz 对称的点的坐标是(3, -2, 1) D ．若直线l 的方向向量为，平面α的法向量为 ，则“ 丄”是“ l ∥α ”的充要条件 试卷第 1页，共 2页 学科网（北京）股份有限公司 8. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1 B1 C1D1 中，点E 在正方形BB1C1C 内运动（含边界） 且 AE 丄 B1C ，则下列结论正确的有 ( ) A ．点E 的轨迹长度为 B ．三棱锥 A — CD1E 的体积随着E 的位置变化而变化 C ．当点E 位于点B 时，异面直线 AE 与B1D1 所成角最小，且最小值为 D ． F 为直线B1D1 上一点，则EF 的最小值为 三、填空题（每小题 5 分，共 10 分） 9. 在平行六面体 ABCD — A1 B1 C1D1 中，各棱长均为 2， A1AB = BAD = A1AD 则 = . 10. 在三棱锥P — ABC 中， PA = PB = PC ， AB = BC = 4 ， AB 丄 BC ，且三棱锥P — ABC 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题（共 15 分） 11. 如图，三棱锥P — ABC 中， PA 丄 底面 ABC ， AB 丄 BC ， AC = 2 ， BC = 1 ，点M 满足 = (0 < < 1) ， N 是PC 的中点． (1)请写出λ 的一个值使得BC// 平面 AMN ，并给予证明； (2)若二面角P — BC — A 大小为 ，且 ，求点M 到平面 PAC 的距离． 试卷第 2页，共 2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $