精品解析：上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

上海南汇中学2025学年第一学期期末考试 高二数学 命题人：高一数学命题组 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1. 直线的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】，则，斜率为 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 2. 过点，且法向量是的直线的点法式方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据点法式方程可直接求解. 【详解】过点且法向量是的直线的点法式方程为：. 故答案为： 3. 若，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 由，解得. 故答案为：7 4. 计算_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算. 【详解】由无穷等比数列的求和公式可得. 故答案为：. 5. a，b，c三个数成等比数列，其中，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求b即可. 【详解】由题设，则， 当时，数列的公比为；当时，数列的公比为. 所以. 故答案为： 6. 的展开式中的系数为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】写出展开式的通项，得，再代入计算可得； 【详解】二项式展开式的通项为， 令，则，则，即的系数为. 故答案为：12. 7. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于的等式和不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线相互平行， 则，解得. 故答案为：. 8. 若等差数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 9. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 10. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果. 【详解】由题知，又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 12. 已知数列，，，，并且前n项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数k和m，都有. 则满足以上条件的数列共有______个. 【答案】 【解析】 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】由，，得的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 知为奇数，即， 令，则，得或， 令，则，可得或， 因此对任意的正整数，，且，得，， 即确定，不相等，有2种可能，此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又存在小于的正整数，使得， 则对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 所以符合题意的数列共有个. 故答案为： 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式可求. 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 14. 行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全排列列式即得. 【详解】依题意，10位同学排成两排，每排5人拍照，相当于10个人到10个位置就坐， 所以不同排法种数是. 故选：B 15. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 16. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则， 直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动.活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）.已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据. （1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第百分位数； （2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率. 【答案】（1）甲组、乙组； （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义计算即可； （2）根据古典概型的概率公式和分步乘法计数原理计算即可. 【小问1详解】 甲组数据从小到大排列为， 因为，所以甲组学生服务时长的第百分位数为； 乙组数据从小到大排列为， 因为，所以乙组学生服务时长的第百分位数为； 【小问2详解】 因为甲组有9名学生，乙组有10名学生， 根据分步乘法计数原理，从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，有种选取方法， 又甲、乙两组学生中各有3人的服务时长超过30小时， 所以抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时有种选取方法， 记事件“抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时”，则， 故从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率为； 19. 在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设点的坐标为， 由已知点在直线上，所以， 又线段的中点为， 点在直线上，所以， 解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 由已知点关于直线的对称点在直线上， 所以，解得，， 所以点的坐标为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 20. 已知函数，为正整数. （1）当，且时，求的值； （2）当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； （3）当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合二项式展开式条件转化为，根据组合数性质可求； （2）由条件，结合二项式展开式的通项公式可求，，，，，根据古典概型概率公式求结论； （3）根据二项式展开式求，分析的单调性，由此确定的最大值，由此确定结论. 【小问1详解】 当，， 又，， 所以，所以； 【小问2详解】 当，时，， 又， 所以，， ，， ，， ，，， 所以，，，，为有理数， 所以从，，，，中任取一个数，取到有理数的概率为， 【小问3详解】 当，且时，， 又二项式的展开式的通项公式为，， 所以，，， 当时，， 令，可得，即，所以（舍去）， 令，可得，即，所以， 令，可得，即，所以， 所以， 因为对任意的，，都有， 所以. 21. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不存在．理由如下： 假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）不是，理由如下： 设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案； （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得，且，解得， 所以实数m的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件，分析数列满足的关系式再进行列式分析，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2025学年第一学期期末考试 高二数学 命题人：高一数学命题组 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1. 直线的倾斜角为_________． 2. 过点，且法向量是的直线的点法式方程为____. 3. 若，则______. 4. 计算_____. 5. a，b，c三个数成等比数列，其中，，则___________ 6. 的展开式中的系数为___________． 7. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 8. 若等差数列满足，，则__________． 9. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 10. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是_______． 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 12. 已知数列，，，，并且前n项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数k和m，都有. 则满足以上条件的数列共有______个. 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 0 14. 行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 16. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 18. 为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动.活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）.已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据. （1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第百分位数； （2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率. 19. 在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 20. 已知函数，为正整数. （1）当，且时，求的值； （2）当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； （3）当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 21. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $