上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

上海南汇中学2025学年第一学期期末考试 高二数学 命题人：高一数学命题组 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 1. 直线的倾斜角为_________． 2. 过点，且法向量是的直线的点法式方程为____. 3. 若，则______. 4. 计算_____. 5. a，b，c三个数成等比数列，其中，，则___________ 6. 的展开式中的系数为___________． 7. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________. 8. 若等差数列满足，，则__________． 9. 若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 10. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是_______． 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 12. 已知数列，，，，并且前n项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数k和m，都有. 则满足以上条件的数列共有______个. 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 0 14. 行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 16. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 18. 为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动.活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）.已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据. （1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第百分位数； （2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率. 19. 在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 20. 已知函数，为正整数. （1）当，且时，求的值； （2）当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； （3）当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 21. 对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． （1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 上海南汇中学2025学年第一学期期末考试 高二数学 命题人：高一数学命题组 一、填空题：（本大题满分36分，每小题3分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】7 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】12 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】或 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】9 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 【18题答案】 【答案】（1）甲组、乙组； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 不存在．理由如下： 假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）不是，理由如下： 设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $