第06讲 二倍角的三角函数（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）讲义【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第06讲二倍角的三角函数 ♪ 内容预览 知识清单 知识点01：二倍角公式及其应用 知识点02：利用二倍角公式化简求值 知识点O3:辅助角公式及其应用 题型讲解 题型1：二倍角公式及其应用 题型2：利用二倍角公式化简求值 (举三反三) 题型3：辅助角公式的应用 强化训练 一、单选题(8) 二、多选题(3) 三、填空题(3) 四、解答题(5) 知识清单 知识点1二倍角公式及其应用 l、二倍角的正弦(S2a）:sin2a=2 sina cosa;变形sina cosa=,sin2a 2、二倍角的余弦(C,g）:cos2a=cos2-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. 3、二倍角的正t切(Ta):tan2a=,2tang 1-tan a 4、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：1+c0s2a=2c0s2a,1-c0s2a=2sin2a 降幂公式：c0s2a=1+c0s2a sin'a=1-cos2a 2 2 知识点2利用二倍角公式化简求值 1、给角求值的解题策略： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊 角； (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑 1 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。 2、三角函数化简“三看”原则 一看 !通过看三角函数式中各角之间的差别与联系， 式中各角 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 0 二看 看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式， 函数名称 常见的有“切化弦” b 三看 分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇 到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配 结构特征 {方”等 知识点3辅助角公式及其应用 l、辅助角公式推导：对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下： asinx+bcosx=va2+b2 a 6 sinx.- +CoSx· a"+b √a2+b b b 由于上式中 和 的平方和为1，故令c0sp= Va2+b2 va2+b2 Va2+b2 sin= va2+b2 asinx+bcosx=a2+b2(sinxcoso+cosxsino)=a2+b2 sin(x+o) 其中p角所在象限由a,b的符号确定，p角的值由an0=确定， a a 或由sinp= 和C0s0= 共同确定， Va2+b2 va2+b2 2、辅助角公式应用的解题思路 (I)将f(x)化为asinx+bcosx的形式； (2)构造f(x)=Va2+b2(a b ·Slnx+ ·C0Sx) va2+b2 Va2+b2 (3)和角公式逆用，得f(x)=Va2+b2sin(x+p)其中o为辅助角)： (4)利用f(x)=√a2+b2sin(x+p)研究三角函数的性质； (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 888 题型讲解 题型1：二倍角公式及其应用 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【例1-1】(24-25高一下·江苏南京月考)已知cosa π）1 +44,则sin2a的值为() 7 3 A. 7 3 8 B.- C. D. 8 4 4 【答案】A 【分析】先利用两角和公式对已知等式整理求得cosa-sinu的值，使之平方即可求得sin2a的值. sina=4' 【详解】s云4到上cosa-2T 2 ∴.cosa-sina= 4 (cosa-sina)=1-2sina cosa=1-sin 2a=1 8 ∴.sin2a > 8 故选：A. 【例1-2】(24-25高一下.江苏南京月考)已知√2sin0-cos0=0,则tan20= 【答案】22 【分析】由题意求出tan0,再根据二倍角的正切公式即可得解 【详解】由2sin0-cos6=0,得an0=y5 2 2x2 故tan20 2tan0 2=22 1-tan2-1- 2 故答案为：2√2 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 【例131(2425商一下江苏宿迁期中)已知ae引，B侵，ma-片ae-=8-55 (1)求cos2a的值； (2)求2a-B的值 3 【答案】0 @-号 【分析】(1)利用同角三角函数的关系以及二倍角的余弦公式即可求值； (2)先求出2a-B∈(-π，0)，再利用tan(2a-B)=tan[a+(a-β)]即可求解. 【详解】(1)因为ae(0牙，tana= 2,所以sina、1 cosa 2 ’cosa=25 又因为sin2a+cos2a=1,所以sina=5, 5 所以cos2a=1-2sin'a=1-2-3 55 (2)因为ae0孕，B∈兮x,所以-Be(--孕，所以a-Be(x0) 又因为tan(a-B)=-8-5√3， 所以a-Be(受0,2a-Be(2, 因为tan(a-B)=-8-5V5 所以tan(2a-B)=taa+a-B]=ana+ana-_2 8-5W5-15-55 2 1-tan a tan(a-B) 2 2 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为2a-B∈(77，所以2a-B=- 2’2 3 【变式1-1】(25-26高一上江苏南通·月考)已知an(π-)=3， 则c0s2x=() A. 3-5 3 B.- 4 C. D.-4 5 【答案】C 【分析】利用诱导公式得出tanx的值，再利用二倍角公式和弦化切可得出cos2x的值. 【详解】由an(π-刘=-tanx= 得anxr= 1 3 1 cos 2x=cosx-sin'x=cos'x-sinx1-tanx 1- = 94 cos2x+sin2x 1+tan'x 1+ 9 故选：C 【变式1-2】(24-25高一下江苏南京·期中)若5sin2a=-8sina,a∈ 2则cos的值是 π 【答案】 10 10 【分析】根据正弦的二倍角公式计算可得©0sQ=一手，再由半角公式计算并结合角的范围可得结果 【详解】由5sin2a=-8sina可得10 sina cosa=-8sina, 又a∈ 2， 所以sina≠0，因此可得cosa=-4, 又2cos2g-1=-4,所以cosg=, 5 210 因此cos 10 易引 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 即cos 10 10 故答案为： V10 10 【变式131已知ae0孕.Be@对，amp=报8sa=5n2a. (1)求tan2β的值； (2)求cos(2a-β)的值. 120 【答案】(1) 1199 36 (2) 325 【分析】(1)利用同角公式及二倍角的正切公式求解； (2)根据给定的等式求出cosa,sina,再利用二倍角公式及差角的余弦公式求解即可 【t】由Be0m9-是得9--骨名mB-g-吾 cos B 12 5 2×(- 所以tan2B 2tan B 12 120 1-tan2β 5 1-(- 12 119 12 （2)由ae02,8sna=5sin2a,得sina=5x2 2sina co5a, sin 2a=2sina cosa= 25cos2a-cos'a-sina= 2 25 所以cos(2a=B=cos2 acos9+sin2 asin B-7X-号+24,3-3 72513325 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 题型2：利用二倍角公式化简求值 【例2-1】(24-25高一下·江苏南京·月考)若x∈ 工，元，则2-2sin2x+1+cos2x=（） 4’2 A.√2sinx B.√2cosx C.sinx D.cosx 【答案】A 【分析】利用倍角公式结合区间内三角函数的符号，化简得√2-2sin2x=√2(sinx-cosx),√+cos2x=√2cosx,据此即可 求解 【详解】√2-2sin2x=√2-4 sin xcosx=√2l-2 sin xcos x)=√2V(sinx-cosx)2, 因为xe导，所以snr-os20, 所以√2V(sinx-cosx)2=√2(sinx-cosx), 因为V+cos2x=V1+2cos2x-1=V2cos2x=√2cosx, 原式=√2(sinx-cosx)+√2cosx=√2sinx. 故答案为：A 【例2-2】(24-25高一下江苏苏州月考)已知0<x<,c0sx=2,则 cos2x 2'1-sinx 1-sin 2x 【答案】7 【分析】由题意结合平方关系求出sinx=3 5c0x三{，利用倍角公式化简所求式子代入即可求 【详解】因为0sx=2, 1-sinx 所以cosx=2-2sinx,又因为sin2x+cos'2x=1,0<x< 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 3 4 所以sinx=亏cosx= 所以C0s2x cos2x-sin2x =7 1-sin 2x 1-2sin xcos x 43 1-2× 55 故答案为：7 【例2-3】(24-25高一江苏·假期作业)化简与求值： (①cos75°-sin750 c0s75°+sin75o 2sma-没+sma+没-5sma 【答案】（①- 3 ②25 2 【分析】(1)由同角三角函数的商数关系和两角差的正切公式化简即可得出答案； (2)由二倍角的余弦公式和两角和与差的余弦公式化简即可得出答案 【详解】(1)原式=1-tan75°=tan45-tan75° 1+tan75°1+tan45°tan75° =tan(450-759)=tan(-30°)=-tan30e-5 3 (2)由倍角公式cos2a=1-2sin'au,得sin'a=1-cos2a 2 所以sina-没+sina+7-v5sna 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 1-c0s(2a-乃)1-c0s(2a+ 6 6-5.1-cos2a 2 2 2 cos()+co(2-J3co2u 2-51「 =2-51 (cos 2a cos+sin 2a sin+cos 2a cos-sin 2a sin3 cos 2a) 22 6 6 6 6 2-1(2cos2acos-cos2a) 22 6 2-13cos2a-Vicos2a)=2-v3 2 2 【变式2-1】(24-25高一下江苏南通月考)已知tanccos sin2a 4cos'a+sin2a A.2V5-2 B.2V5+2 C.3+2√2 D.3-2√2 【答案】C 【分析】由tanaco (任-a一0任+e小-0，道过化解汁常可得ana,然后利用齐次式可计学 【详解】因为tangcos 又a∈ 经小所以o任a上0，所以ma-m任e小=0， 即tana -tana=0,解得tana=V反-1或tana=-V2-l, 1+tand 因为a∈ 所以tana=-√2-l, sin2a 所以 2sinacosa ama=-2-1-2+1-3+25. 4cos'a +sin2a 4cos'a+2sinacosa 2+tana 2-2-1 2-1 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 故选：C 【变式2-2】已知向量a=(3sin,-2),b=(1,1-cosa),若a·b=-2,则sin2a+c0s2a= 【答案】13 【分析】根据数量积的坐标运算得tana=- 了，然后利用二倍角公式及弦切互化代入计算即可 2 【详解】因为向量d=(3sina,-2),b=(1,1-cosa),a-b=-2, 所以3sina+(-2)×(1-cosa)=3sina+2cosa-2=-2,所以3sina=-2cosa, 2 所以tana=-3' sin 2a+cos 2a =2sina cosa+cosa-sin?a-2sina cosa+cosa-sina2tana +1-tan'a sin2a+cos2a tan2a+1 2-2 13 3+1 故答案为：子 【变式23】2425有-下江苏泰州期米)已红m口-哥引； 求下列各式的值 (1)tana 1+sin2a (②)1+sin2a+cos2a 【答案】(1)tana=2 【分析】(1)直接使用两角差的正切公式展开己知等式后计算即可； 10 第06讲 二倍角的三角函数 知识清单 知识点01：二倍角公式及其应用 知识点02：利用二倍角公式化简求值 知识点03：辅助角公式及其应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：二倍角公式及其应用 题型2：利用二倍角公式化简求值 题型3：辅助角公式的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 二倍角公式及其应用 1、二倍角的正弦（）：；变形 2、二倍角的余弦（）：. 3、二倍角的正切（）： 4、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点2 利用二倍角公式化简求值 1、给角求值的解题策略： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。 2、三角函数化简“三看”原则 知识点3 辅助角公式及其应用 1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 2、辅助角公式应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 题型1：二倍角公式及其应用 【例1-1】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则 . 【例1-3】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式1-1】（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）若，，则的值是 ． 【变式1-3】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 题型2：利用二倍角公式化简求值 【例2-1】（24-25高一下·江苏南京·月考）若（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，则 ． 【例2-3】（24-25高一·江苏·假期作业）化简与求值： (1)； (2)． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知向量，若，则 . 【变式2-3】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 题型3：辅助角公式的应用 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，则 ． 【例3-3】证明：． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则 . 【变式3-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若，求的值． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏·月考）化简（   ） A． B． C． D． 2．已知是角α终边上一点，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南京·月考）设全集，集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏·月考）设是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏南通·期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南通·月考）在中，内角的对边分别是.若，则是 13．（24-25高一下·江苏南通·月考）计算: 14．（24-25高一下·江苏扬州·月考）在中，已知，则 ． 四、解答题 15．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值. (1); (2); (3); (4). 16．（22-23高一下·江苏扬州·月考）化简求值： (1)； (2). 17．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知 ， (1)求tanα的值; (2)若在角终边上，求的值. 18．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 19．（24-25高一下·江苏徐州·期中）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示； (2)求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为且，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $