精品解析：宁夏银川市永宁县2025-2026学年高二上学期期末学业水平质量监测数学试题

永宁县2025-2026学年第一学期期末高中学业水平 质量监测卷（高二数学） （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题（每题5分，共40分） 1. 等差数列中，，则的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解． 【详解】由得，， 故选：A． 2. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列，所以. 故选：B. 3. 已知实数m是1和5的等差中项，则m＝（ ） A. B. ± C. 3 D. ±3 【答案】C 【解析】 【详解】由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3. 4. 已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 5. 在平行六面体中，为与的交点，若以为基底，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断点的位置，再利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】在平行六面体中，底面为平行四边形，所以为和的中点， 所以 ， 故选：A 6. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可. 【详解】由题意知，所以， 所以离心率． 故选：D． 7. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 8. 在数列中，若，则的值为（ ） A. 90 B. 110 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的递推公式利用累加法求出数列的通项公式，进而求出的值. 【详解】. 当时，；当时，；；用替换可得，， 将上述式子累加得：， 即，其中 由，， 当时，依然成立， 故 . 故选：A 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ） A. C关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A、B， 通过坐标替换法（用换、换），判断曲线方程是否不变，进而确定曲线的对称性.选项C， 根据曲线方程中、的非负性，推导得、的取值范围.选项D， 将表示为关于的函数，通过配方求二次函数的最值，判断其最大值是否为2. 【详解】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称， 同理可得，关于轴对称，故AB均正确； 由，得，解得，同理可得，故C正确； 在曲线上，所以， 所以， 当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 取得最大值时，或 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出公差，即可得到通项公式与前项和公式，从而判断A、B、C，再由二次函数的性质判断D. 【详解】因为，， 所以，故A正确， 所以，则，故B错误； 又，则， 所以，故C正确； 因为， 所以当或时取得最大值，故D正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等比数列，且，则 C. 若是等差数列，则 D. 若，则是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的定义和性质逐项判定即可求解. 【详解】对于A，当时，，所以，当时，， 又，所以，所以是等差数列，故A正确； 对于B，若是等比数列，且，所以，故B错误； 对于C，若等差数列，所以，故C正确； 对于D，若，所以，所以是等比数列，故D正确； 故选：ACD. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 椭圆焦距为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程确定长半轴的平方，短半轴的平方，根据椭圆中、、的关系求出半焦距的平方，从而得到半焦距，由椭圆的焦距为计算焦距. 【详解】由椭圆方程可知，椭圆的焦点在轴上因为， 其中长半轴的平方，短半轴的平方. 根据椭圆中、、的关系，计算得：， 故.椭圆的焦距为，因此焦距为. 故答案为：. 13. 在等比数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】 分析】直接利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】，故，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了等比数列求值，属于简单题. 14. 等差数列前n项和为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】根据等差数列前项和的片段和性质可知：也构成等差数列，也即构成等差数列， 则，解得. 故答案为：. 四､解答题（共77分） 15. 正项数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义可得为等差数列，即可根据等差数列的通项公式求解， （2）根据等差数列求和公式求解. 【小问1详解】 由可得为等差数列，且公差，又 故. 【小问2详解】 由为等差数列，可得 16. 已知圆的方程为， （1）求圆C的圆心和半径； （2）过点的直线与圆C相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）圆心，半径为2； （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方成标准方程，求得答案； （2）设圆心到直线的距离，由弦长公式，可得的值，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设出直线方程，由圆心到直线的距离可得参数的值，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 将圆的方程变形为， 所以圆的圆心为，半径. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得， 当过点的直线斜率不存在时，则直线的方程为，则圆心到直线的距离为1，符合条件； 当过点的直线斜率存在时，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或. 17. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. （1）求等差数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求数列的前10项和. 【答案】（1）或 （2）105 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差，由已知建立方程组进行基本量计算即可； （2）根据条件确定通项，将含绝对值的数列分段表示，再转化为等差数列求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，， 由题意得，解得或， 所以或. 故或； 【小问2详解】 当时，分别为，不成等比数列； 当时，分别为成等比数列，满足条件. 故， 记数列的前项和为，. . 故数列的前10项和为. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面为PC中点，为BC中点. （1）证明：平面PBD； （2）证明：平面平面ABCD； （3）求直线PC与平面MDN所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行； （2）由中位线得到线线平行，然后得到线面垂直，即可证明面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，写出点坐标，然后得到向量坐标，由空间向量的数量积求得平面MDN的一个法向量，再由空间向量的数量积求得直线PC与平面MDN所成角的正弦值. 【小问1详解】 由中位线可知， 由平面平面PBD，可知平面PBD. 【小问2详解】 记AC与BD交于点， 连接， 平面ABCD， 因为M，O分别为PC，AC的中点，由中位线性质知， 故平面ABCD， 而平面MBD，于是平面平面ABCD. 【小问3详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz. 不妨设，则， 于是， 设平面MDN的一个法向量为， 即， 可取. 设直线PC与平面MDN所成角为， 则. 所以直线PC与平面MDN所成角的正弦值为. 19. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于M，N两点，且，求l的方程； （3）设C的焦点为是C上不同的三点，若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定焦点和准线方程即可求解； （2）设，通过点差法即可求解； （3）设，由，得到，①，②，通过①②得到，即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到其准线的距离为， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 设，因为M，N两点在抛物线上， 所以，两式相减可得：， 即， 因为，所以点为M，N的中点， 所以，又， 所以， 所以直线得方程为， 即； 【小问3详解】 因为， 所以， 设，其中互不相等， 则， 由， 得：，又，所以，① ，又，所以，② ①②得： ， 即， 又，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁县2025-2026学年第一学期期末高中学业水平 质量监测卷（高二数学） （时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题（每题5分，共40分） 1. 等差数列中，，则的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 11 3. 已知实数m是1和5的等差中项，则m＝（ ） A. B. ± C. 3 D. ±3 4. 已知双曲线两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 14 5. 在平行六面体中，为与交点，若以为基底，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 8. 在数列中，若，则的值为（ ） A. 90 B. 110 C. 18 D. 20 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ） A. C关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，则下列说法中正确的是（ ） A B. C. D. 取得最大值时，或 11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等比数列，且，则 C. 若是等差数列，则 D. 若，则是等比数列 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 椭圆的焦距为__________． 13. 在等比数列中，，，则__________． 14. 等差数列的前n项和为，，，则______． 四､解答题（共77分） 15. 正项数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知圆的方程为， （1）求圆C圆心和半径； （2）过点的直线与圆C相交于两点，且，求直线的方程. 17. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. （1）求等差数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求数列的前10项和. 18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面为PC中点，为BC中点. （1）证明：平面PBD； （2）证明：平面平面ABCD； （3）求直线PC与平面MDN所成角的正弦值. 19. 已知抛物线焦点到其准线的距离为2. （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于M，N两点，且，求l的方程； （3）设C的焦点为是C上不同的三点，若，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $